Vesica piscis

Vesica piscis — это тип линзы , математическая форма, образованная пересечением двух дисков с одинаковым радиусом, пересекающихся таким образом, что центр каждого диска лежит на периметре другого. ^[1] На латыни « vesica piscis » буквально означает «пузырь рыбы», что отражает сходство формы с соединенными двумя воздушными пузырями ( плавательный пузырь ), обнаруженными у большинства рыб. ^[2] На итальянском языке название формы — mandorla (« миндаль »). ^[3] Похожая форма в трех измерениях — лимон .

Эта фигура появляется в первом предложении « Начал » Евклида , где она образует первый шаг в построении равностороннего треугольника с использованием циркуля и линейки . Треугольник имеет в качестве своих вершин два центра диска и один из двух острых углов vesica piscis. ^[4]

С математической точки зрения vesica piscis представляет собой частный случай линзы — фигуры, образованной пересечением двух дисков.

Математическое отношение высоты vesica piscis к ширине через его центр равно квадратному корню из 3 , или 1,7320508... (поскольку если провести прямые линии, соединяющие центры двух окружностей друг с другом и с двумя точками пересечения окружностей, то два равносторонних треугольника соединятся по краю). Отношения 265:153 = 1,7320261... и 1351:780 = 1,7320513... являются двумя из серии приближений к этому значению, каждое из которых обладает тем свойством, что лучшее приближение не может быть получено с меньшими целыми числами. Архимед из Сиракуз в своем «Измерении круга » использует эти отношения в качестве верхней и нижней границ: ^[5]

${\displaystyle {\frac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\frac {265}{153}}\,.}$

Площадь vesica piscis образована двумя равносторонними треугольниками и четырьмя равными круговыми сегментами . На рисунке один треугольник и один сегмент показаны синим цветом.

Один треугольник и один сегмент образуют сектор размером в одну шестую часть круга (60°). Площадь сектора тогда равна: .${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}}$

Так как сторона равностороннего треугольника имеет длину r , то его площадь равна .${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

Площадь сегмента равна разнице между этими двумя площадями:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

Суммируя площади двух треугольников и четырех сегментов, получаем площадь vesica piscis:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(4\pi -3{\sqrt {3}}\right)r^{2}\approx 1.2284r^{2}}$

Два круга vesica piscis, или три круга, образующие попарно три vesicae, обычно используются в диаграммах Венна . Дуги тех же трех кругов также могут быть использованы для формирования символа трикветра и треугольника Рёло . ^[3]

В христианском искусстве некоторые ореолы имеют форму вертикально ориентированного vesica piscis, а печати церковных организаций могут быть заключены в вертикально ориентированный vesica piscis (вместо более обычного круглого ограждения). Кроме того, символ ихтиса включает в себя форму vesica piscis. Церковная геральдика католической церкви впервые появилась в печатях, почти все в форме vesica. ^{[6] [7]} vesica piscis использовалась в масонстве , особенно в форме воротников, которые носили служители масонских ритуалов. ^[8] Она также считалась подходящей формой для ограждения печатей масонских лож. ^{[9] [10]}

Vesica piscis также используется как система пропорций в архитектуре, в частности в готической архитектуре . Система была проиллюстрирована в версии De architectura Витрувия Чезаре Чезариано 1521 года , которую он назвал «правилом немецких архитекторов». Vesica piscis была лейтмотивом архитектора Карло Скарпы и используется как «смотровое устройство» в Tomba Brion ( кладбище Брион ) в Сан-Вито-д'Альтиволе , Италия. ^[11]

Эта форма также использовалась в нескольких других произведениях искусства и дизайнах:

• На крышке Колодца Чаши в Гластонбери (Великобритания) изображена стилизованная версия рисунка Vesica Piscis.
• Несколько математических скульптур Сьюзан Лэтэм используют трехмерную форму, полученную из плоскостного изображения двух окружностей, образующих vesica piscis, деформированных в изогнутую поверхность со складками вдоль внутренних дуг vesica и с двумя внешними дугами, встречающимися в одной кривой. Ее форму можно проанализировать с помощью математики развертывающихся поверхностей . ^[12]

С Vesica Piscis связаны различные символические значения:

• Когда линза расположена горизонтально, а два ее наложенных друг на друга круга размещены один над другим, она символизирует интерфейс между духовным и физическим мирами, представленный двумя кругами. ^{[13] [14]} В таком расположении она также напоминает ихтис (рыбу), символ Христа , ^[14] и также считается символом жизни, «материализации духа», посредничества Христа между небом и землей и евхаристии . [ ^15]
• Если расположить линзу вертикально и использовать ее для изображения нимба или ореола, она символизирует божественную славу . ^[16]
• Если расположить линзу вертикально, то она также будет изображать вульву и , следовательно, станет символом женственности и плодовитости. ^{[3] [17]}
• Диаграмма использования Евклидом этой диаграммы для построения равностороннего треугольника, появляющаяся с вертикальным расположением линзы в « Поминках по Финнегану » Джеймса Джойса , считается «символом рационального человека», но наложенной на вагинальный треугольник, снова символизирующий женственность. ^[18]

• 
  Христос в величестве в мандорлеобразном нимбе в средневековой иллюминированной рукописи
• 
  Герб Гуама
• 
  Два изогонических центра треугольника являются пересечениями трех vesicae piscis, парные вершины которых являются вершинами треугольника.

• Цветок Жизни , фигура, основанная на этом принципе
• Окружности Вилларсо — пара конгруэнтных окружностей, полученных из тора, которые, однако, обычно не центрированы на периметре друг друга.
• Лимон (геометрия) , похожая трехмерная фигура

Викискладе есть медиафайлы по теме Vesica piscis .

• Вайсштейн, Эрик В. , «Vesica Piscis», MathWorld