Сетка перекрывающихся кругов

Вид геометрического узора

Пример перекрывающихся круглых фигур
квадратная круговая сетка
1+
4
9
Центрированные квадратные решетчатые формы
5
13

сетка из треугольных кругов
1+
3
4
7
19

Сетка перекрывающихся кругов — это геометрический рисунок повторяющихся перекрывающихся кругов одинакового радиуса в двумерном пространстве . Обычно рисунки основаны на кругах, центрированных на треугольниках (с простой формой из двух кругов, называемой vesica piscis ) или на квадратной решетке точек.

Узоры из семи перекрывающихся кругов появляются в исторических артефактах с VII века до н. э. и далее; они стали часто используемым орнаментом в период Римской империи и сохранились в средневековых художественных традициях как в исламском искусстве ( украшения гирих ), так и в готическом искусстве . Название «Цветок жизни» дано узору перекрывающихся кругов в публикациях New Age .

Особый интерес представляет шестилепестковая розетка, происходящая от узора «семь перекрывающихся кругов», также известного как « Солнце Альп » из-за его частого использования в альпийском народном искусстве XVII и XVIII веков.

Треугольная сетка из перекрывающихся кругов

Треугольная решетчатая форма с радиусами окружностей, равными их разделению, называется сеткой из семи перекрывающихся окружностей . ^[1] Она содержит 6 окружностей, пересекающихся в точке, с седьмым кругом, центрированным на этом пересечении.

Перекрывающиеся круги с похожими геометрическими конструкциями использовались нечасто в различных видах декоративно-прикладного искусства с древних времен. Узор нашел широкое применение в популярной культуре, в моде , ювелирных изделиях , татуировках и декоративных изделиях.

Культурное значение

Ближний Восток

Древнейшее известное появление узора «перекрывающихся кругов» датируется VII или VI в. до н. э. и было обнаружено на пороге дворца ассирийского царя Ашшур-бани-апли в Дур-Шаррукине (ныне в Лувре ). ^[2]

Дизайн становится более распространенным в первые века нашей эры. Одним из ранних примеров являются пять узоров из 19 перекрывающихся кругов, нарисованных на гранитных колоннах в храме Осириса в Абидосе , Египет , ^[3] и еще пять на колонне напротив здания. Они нарисованы красной охрой , и некоторые из них очень тусклые и их трудно различить. ^[4] Узоры представляют собой граффити и не встречаются в исконно египетских орнаментах. Они в основном датируются ранними веками христианской эры ^[5], хотя средневековое или даже современное (начало 20 века) происхождение нельзя исключить с уверенностью, поскольку рисунки не упоминаются в обширных списках граффити в храме, составленных Маргарет Мюррей в 1904 году. ^[6]

Похожие узоры иногда использовались в Англии в качестве апотропеических знаков , чтобы не дать ведьмам войти в здания. ^[7] Кресты освящения, указывающие на точки в церквях, помазанные святой водой во время освящения церкви, также имеют форму перекрывающихся кругов.

В исламском искусстве этот узор представляет собой одно из нескольких расположений кругов (другие используются для четырех- или пятикратных дизайнов), используемых для построения сеток для исламских геометрических узоров . Он используется для проектирования узоров с 6- и 12-конечными звездами, а также шестиугольниками в стиле, называемом гирих . Однако полученные узоры характерно скрывают строительную сетку, представляя вместо этого дизайн переплетенных полос . ^[8]

Европа

Узоры из семи перекрывающихся кругов можно найти на римских мозаиках, например, во дворце Ирода в I веке до нашей эры. ^[9]

Рисунок найден на одной из серебряных пластин позднеримского клада Кайзераугста (обнаружен в 1961 году). ^[10] Позднее он был обнаружен как орнамент в готической архитектуре , а еще позже — в европейском народном искусстве раннего Нового времени.

Примерами высокого средневековья являются мостовые Космати в Вестминстерском аббатстве (13 век). ^[11]Леонардо да Винчи открыто обсуждал математические пропорции дизайна. ^[12]

Современное использование

Название «Цветок Жизни» современное, связано с движением Нью Эйдж и обычно приписывается Друнвало Мельхиседеку в его книге «Древняя тайна Цветка Жизни» (1999). ^[13]^[14]

Узор и современное название получили широкое распространение в популярной культуре, моде, ювелирных изделиях, татуировках и декоративных изделиях. Узор в стеганом шитье называли бриллиантовым обручальным кольцом или треугольным обручальным кольцом , чтобы противопоставить его квадратному узору. Помимо случайного использования в моде, ^[15] он также используется в декоративном искусстве. Например, альбом Sempiternal (2013) группы Bring Me the Horizon использует сетку из 61 перекрывающихся кругов в качестве основной детали обложки альбома, ^[16] тогда как альбом A Head Full of Dreams (2015) группы Coldplay имеет сетку из 19 перекрывающихся кругов в качестве центральной части обложки альбома. Тизер-плакаты, иллюстрирующие обложку A Head Full of Dreams, широко демонстрировались в лондонском метро в последнюю неделю октября 2015 года. ^[17]

Символ «Солнце Альп» ( итал. Sole delle Alpi ) использовался в качестве эмблемы падийского национализма на севере Италии с 1990-х годов. ^[18] Он напоминает узор, часто встречающийся в этом регионе на зданиях. ^[19]

Семикруговый «Цветок Жизни» также используется в гербе Асгардии, космической державы.

Галерея

Шестиугольный вариант с 1, 7 и 19 кругами

В примерах ниже узор имеет шестиугольный контур и дополнительно ограничен.

Рисунок Леонардо да Винчи из «Атлантического кодекса» , между 1478 и 1519 годами.
Рисунок Леонардо да Винчи ( Codex Atlanticus , fol. 307v)
1-окружность с завершенными дугами
7-й круг: Мозаичный пол из бани во дворце Ирода , I в. до н.э.
Символ из 19 кругов с завершенными дугами, ограниченный большим кругом
19-круг: два символа, нарисованные красной охрой. Храм Осириса в Абидосе, Египет.
19-круг: Окно в южной апсиде церкви монастыря Превели (Moni Preveli), Крит.
19-круг: Из Эфеса , Турция

Похожие модели

В примерах ниже узор не имеет шестиугольного контура:

Чаша с мифологическими сценами, фризом сфинкса и изображением царя, побеждающего своих врагов. Кипро-архаический I (VIII–VII вв. до н. э.). Из Идалиона, Кипр .
Мяч, который держит самец императорского льва-хранителя у Врат Высшей Гармонии , Запретный город , Пекин , Китай, на поверхности которого виден геометрический узор.
Напольное украшение из дворца царя Ашшурбанапала на севере Ирака , представленное в Лувре, датируется 645 годом до нашей эры.
Чашка кофе (Германия, 2022)
Эмблема « Солнце Альп », используемая Lega Nord

Строительство

Марта Бартфельд, автор учебников по геометрическому искусству, описала свое независимое открытие дизайна в 1968 году. Ее первоначальное определение гласило: «Этот дизайн состоит из кругов, имеющих радиус 1-[дюйм; 25 мм], где каждая точка пересечения служит новым центром. Дизайн можно расширять до бесконечности в зависимости от того, сколько раз будут отмечены нечетные точки».

Фигуру узора можно нарисовать ручкой и циркулем , создав несколько серий взаимосвязанных окружностей одинакового диаметра, касающихся центра предыдущей окружности. Центр второй окружности находится в любой точке первой окружности. Все последующие окружности центрируются на пересечении двух других окружностей.

Прогрессии

Узор может быть расширен наружу в концентрических шестиугольных кольцах кругов, как показано. Первый ряд показывает кольца кругов. Второй ряд показывает трехмерную интерпретацию набора n × n × n кубов сфер, рассматриваемых с диагональной оси. Третий ряд показывает узор, завершенный частичными дугами кругов внутри набора завершенных кругов.

Расширяющиеся наборы имеют 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127 и т. д. кругов, и продолжающиеся все большие шестиугольные кольца кругов. Число кругов равно n ³ -( n -1) ³ =3 n ² -3 n +1=3 n ( n -1)+1.

Эти перекрывающиеся окружности также можно рассматривать как проекцию n -единичного куба сфер в трехмерном пространстве, рассматриваемого по диагональной оси. Сфер больше, чем окружностей, поскольку некоторые из них перекрываются в двух измерениях.

Розеточные фигуры, включающие части окружностей
1-круг	7-круг (8-1)	19-круг (27-8)	37-круг (64-27)	61-круг (125-64)	91-круг (216-125)	127-круг... (343-216)

1-сфера (1×1×1)	8-сферный (2×2×2)	27-сфера (3×3×3)	64-сфера (4×4×4)	125-сфера (5×5×5)	216-сфера (6×6×6)	343-сфера (7×7×7)
			(изображение отсутствует)	(изображение отсутствует)	(изображение отсутствует)	(изображение отсутствует)
+12 дуг	+24 дуги	+36 дуг	+48 дуг	+60 дуг	+72 дуги	+84 дуги

Другие вариации

Другая форма треугольной решетки является распространенной, с разделением кругов как квадратный корень из 3, умноженных на их радиус. Ричард Кершнер показал в 1939 году, что никакое расположение кругов не может покрыть плоскость более эффективно, чем это расположение шестиугольной решетки. ^[20]

Две смещенные копии этого кругового узора образуют ромбический мозаичный узор, а три копии образуют исходный треугольный узор.

пример 19 кругов
Две смещенные копии минимального рисунка покрывающего круга (слева) образуют ромбический мозаичный рисунок, как в этой красно-синей версии.
Три смещенных копии минимального рисунка, покрывающего круг (самое левое изображение), образуют рисунок из 7 кругов, как в этой версии красного, зеленого и синего цветов.
Пример на керамической глазурованной банке эпохи Айюбидов в Ракке . Сирия, XII/XIII вв.
Черно-белая мозаичная плитка на вилле Адриана в Тиволи, II в. н.э.

Связанные концепции

Центральная линза фигуры из 2 кругов называется vesica piscis , от Евклида . Два круга также называются кругами Вилларсо как плоское пересечение тора. Области внутри одного круга и снаружи другого круга называются lune .

Фигура из 3 кругов напоминает изображение колец Борромео и используется в диаграммах Венна теории 3-множеств . Ее внутренняя часть образует уникурсальный путь, называемый трикветрой . Центр фигуры из 3 кругов называется треугольником Рело .

Vesica piscis	Кольца Борромео	Диаграмма Венна	Трикветра	треугольник Рело

Некоторые сферические многогранники с ребрами по большим окружностям можно стереографически спроецировать на плоскость как перекрывающиеся окружности.

Многогранники в стереографической проекции
Октаэдр	Кубооктаэдр	Икосододекаэдр

Узор из семи кругов также называют исламским узором из семи кругов из- за его использования в исламском искусстве .

Квадратная сетка из перекрывающихся кругов

Форма квадратной решетки
Радиус окружности — это величина, обратная квадратному корню из 2, умноженному на их расстояние (расстояние между их центрами).	Узор для лоскутного шитья, называемый узором «двойное обручальное кольцо».

Центрированная квадратная решетчатая форма
Его можно рассматривать как две наполовину смещенные квадратные сетки из касающихся окружностей.	Египетский дизайн, из книги Оуэна Джонса «Грамматика орнамента» (1856)

Форму квадратной решетки можно увидеть с кругами, которые выстраиваются горизонтально и вертикально, пересекаясь по своим диагоналям. Узор выглядит немного иначе, если его повернуть по диагонали, также называемой формой центрированной квадратной решетки , потому что ее можно увидеть как две квадратные решетки, каждая из которых центрирована на зазорах другой.

В индонезийском батике он называется мотивом кавунг и встречается на стенах индуистского храма Прамбанан VIII века на острове Ява .

Это называется Апсамиккум из древней месопотамской математики. ^[21]

Квадратную сетку можно увидеть в гранецентрированной кубической решетке , в которой вокруг каждой сферы соприкасаются 12 сфер.
Сетка из пяти перекрывающихся кругов построена из двух наборов перекрывающихся кругов, смещенных наполовину. ^[22]
Кавунг или саронг из батика «Кофейные зерна» (фрагмент), Ява, Индонезия.

Смотрите также

Теория узлов
Мутации симметрии равномерной мозаики – мутации узоров в трехмерном пространстве

Ссылки

^ Исламское искусство и геометрический дизайн: учебные занятия
^ Лувр, инв.-№. AO 19915. Жорж Перро, Шарль Чипьез, История искусства в Халдее и Ассирии , том. 1, Лондон, 1884 г., S. 240, (gutenberg.org)
^ Вайсштейн, Эрик В. «Цветок жизни». MathWorld .
^ Стюарт, Малкольм (2008). «Цветок Жизни» и Осирион — Факты интереснее Фантазии». Egyptian Tour (Дэвид Ферлонг) . Получено 8 ноября 2015 г.
^ Ферлонг, Дэвид. «Осирион и Цветок Жизни» . Получено 8 ноября 2015 г.Ферлонг утверждает, что эти гравюры могут датироваться не ранее 535 г. до н. э. и, вероятно, датируются 2-м и 4-м веками н. э. Его исследование основано на фотографических свидетельствах греческого текста, который еще предстоит полностью расшифровать. Текст виден рядом с рисунками и находится близко к верху колонн, высота которых превышает 4 метра. Ферлонг предполагает, что Осирион был наполовину заполнен песком до того, как были нарисованы круги, и, следовательно, вероятно, это произошло намного позже конца династии Птолемеев .
^ Мюррей, Маргарет Элис (1904). Осирион в Абидосе, Лондон. стр. 35. Получено 4 ноября 2015 г.
^ Кеннеди, Маев (31 октября 2016 г.). «Ведьмины знаки: общественность просят искать древние царапины на зданиях». The Guardian . Получено 31 октября 2016 г.
^ Броуг, Эрик (2008). Исламские геометрические узоры . Темза и Гудзон . С. 22–23 и везде. ISBN 978-0-500-28721-7.
^ Katz, Eugene A.; Jin, Bih-Yaw (август 2016 г.). Huylebrouck, Dirk (ред.). «Fullerenes, Polyhedra, and Chinese Guardian Lions». The Mathematical Tourist. The Mathematical Intelligencer . 38 (3): 61– 68. doi :10.1007/s00283-016-9663-0.
^ Ганс Ульрих Инстинский: Der spätrömische Silberschatzfund von Kaiseraugst. Майнц 1971 г., мемориальная доска 85.
↑ Мостовые Космати в Вестминстерском аббатстве. Получено 14 сентября 2013 г.
↑ Codex Atlanticus , листы 307r–309v, 459r (датируются 1478 и 1519 годами).
^ Бартфельд, Марта (2005). Как создавать мандалы сакральной геометрии . Санта-Фе, Нью-Мексико: Mandalart Creations. стр. 35. ISBN 9780966228526. OCLC 70293628.
^ Weisstein, Eric W. (12 декабря 2002 г.). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, второе издание. CRC Press (опубликовано в 2002 г.). стр. 1079. ISBN 1420035223.
^ Eg Zaman, Sana (14 мая 2013 г.). «Zaeem Jamal запускает новую коллекцию на борту частной яхты в Dubai Marina». Haute Living . Получено 9 ноября 2015 г.
↑ Купер, Эд (25 февраля 2013 г.). «Bring Me The Horizon: Этот альбом должен быть тем, который длится вечно». The Independent . Архивировано из оригинала 23 октября 2015 г. Получено 8 ноября 2015 г.
^ Денхэм, Джесс (6 ноября 2015 г.). "Новый альбом Coldplay: Бейонсе и Ноэль Галлахер примут участие в альбоме A Head Full of Dreams" . The Independent . Архивировано из оригинала 2022-05-24 . Получено 8 ноября 2015 г.
^ "Il Significato del Simbolo del Sole delle Alpi" (на итальянском языке). Лега Норд. Архивировано из оригинала 12 января 2014 года . Проверено 1 декабря 2014 г.
↑ Ивано Дорболо (6 июня 2010 г.). «Церковь Сан-Эджидио и символ Солнца Альп». Storia di Confine – Valli di Natisone . Проверено 9 ноября 2015 г.
^ Упаковки сфер, решетки и группы , Джон Конвей, Нил JA Слоан, Глава 2, раздел 1.1, Покрытие пространства перекрывающимися кругами. С. 31-32. Рисунок 2.1 Покрытие плоскости кругами (b) Более эффективное или более тонкое покрытие в гексагональной решетке. [1]
^ Месопотамская математика 2100-1600 до н.э.: Технические константы в бюрократии и образовании (Оксфордские издания клинописных текстов), Элеонора Робсон, Clarendon Press, 1999, ISBN 978-0198152460 [2] на books.google.com
^ Создание квадратных сеток из кругов

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Пересечение окружности с окружностью". MathWorld .
Секреты Цветка Жизни: Значение, История и как его нарисовать на Mystica

[1] Исламское искусство и геометрический дизайн: учебные занятия

[2] Лувр, инв.-№. AO 19915. Жорж Перро, Шарль Чипьез, История искусства в Халдее и Ассирии , том. 1, Лондон, 1884 г., S. 240, (gutenberg.org)

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Цветок жизни». MathWorld .

[furlong2-4] Стюарт, Малкольм (2008). «Цветок Жизни» и Осирион — Факты интереснее Фантазии». Egyptian Tour (Дэвид Ферлонг) . Получено 8 ноября 2015 г.

[furlong1-5] Ферлонг, Дэвид. «Осирион и Цветок Жизни» . Получено 8 ноября 2015 г.Ферлонг утверждает, что эти гравюры могут датироваться не ранее 535 г. до н. э. и, вероятно, датируются 2-м и 4-м веками н. э. Его исследование основано на фотографических свидетельствах греческого текста, который еще предстоит полностью расшифровать. Текст виден рядом с рисунками и находится близко к верху колонн, высота которых превышает 4 метра. Ферлонг предполагает, что Осирион был наполовину заполнен песком до того, как были нарисованы круги, и, следовательно, вероятно, это произошло намного позже конца династии Птолемеев .

[murray-6] Мюррей, Маргарет Элис (1904). Осирион в Абидосе, Лондон. стр. 35. Получено 4 ноября 2015 г.

[Kennedy2016-7] Кеннеди, Маев (31 октября 2016 г.). «Ведьмины знаки: общественность просят искать древние царапины на зданиях». The Guardian . Получено 31 октября 2016 г.

[8] Броуг, Эрик (2008). Исламские геометрические узоры . Темза и Гудзон . С. 22–23 и везде. ISBN 978-0-500-28721-7.

[9] Katz, Eugene A.; Jin, Bih-Yaw (август 2016 г.). Huylebrouck, Dirk (ред.). «Fullerenes, Polyhedra, and Chinese Guardian Lions». The Mathematical Tourist. The Mathematical Intelligencer . 38 (3): 61– 68. doi :10.1007/s00283-016-9663-0.

[10] Ганс Ульрих Инстинский: Der spätrömische Silberschatzfund von Kaiseraugst. Майнц 1971 г., мемориальная доска 85.

[11] Мостовые Космати в Вестминстерском аббатстве. Получено 14 сентября 2013 г.

[12] Codex Atlanticus , листы 307r–309v, 459r (датируются 1478 и 1519 годами).

[HTCSGM-13] Бартфельд, Марта (2005). Как создавать мандалы сакральной геометрии . Санта-Фе, Нью-Мексико: Mandalart Creations. стр. 35. ISBN 9780966228526. OCLC 70293628.

[14] Weisstein, Eric W. (12 декабря 2002 г.). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, второе издание. CRC Press (опубликовано в 2002 г.). стр. 1079. ISBN 1420035223.

[15] Eg Zaman, Sana (14 мая 2013 г.). «Zaeem Jamal запускает новую коллекцию на борту частной яхты в Dubai Marina». Haute Living . Получено 9 ноября 2015 г.

[16] Купер, Эд (25 февраля 2013 г.). «Bring Me The Horizon: Этот альбом должен быть тем, который длится вечно». The Independent . Архивировано из оригинала 23 октября 2015 г. Получено 8 ноября 2015 г.

[17] Денхэм, Джесс (6 ноября 2015 г.). "Новый альбом Coldplay: Бейонсе и Ноэль Галлахер примут участие в альбоме A Head Full of Dreams" . The Independent . Архивировано из оригинала 2022-05-24 . Получено 8 ноября 2015 г.

[18] "Il Significato del Simbolo del Sole delle Alpi" (на итальянском языке). Лега Норд. Архивировано из оригинала 12 января 2014 года . Проверено 1 декабря 2014 г.

[19] Ивано Дорболо (6 июня 2010 г.). «Церковь Сан-Эджидио и символ Солнца Альп». Storia di Confine – Valli di Natisone . Проверено 9 ноября 2015 г.

[20] Упаковки сфер, решетки и группы , Джон Конвей, Нил JA Слоан, Глава 2, раздел 1.1, Покрытие пространства перекрывающимися кругами. С. 31-32. Рисунок 2.1 Покрытие плоскости кругами (b) Более эффективное или более тонкое покрытие в гексагональной решетке. [1]

[21] Месопотамская математика 2100-1600 до н.э.: Технические константы в бюрократии и образовании (Оксфордские издания клинописных текстов), Элеонора Робсон, Clarendon Press, 1999, ISBN 978-0198152460 [2] на books.google.com

[22] Создание квадратных сеток из кругов