Фильтрация (теория вероятностей)

В теории случайных процессов , подразделе теории вероятностей , фильтрации представляют собой полностью упорядоченные наборы подмножеств, которые используются для моделирования информации, доступной в данной точке, и поэтому играют важную роль в формализации случайных (стохастических) процессов.

Пусть будет вероятностным пространством , а будет набором индексов с общим порядком (часто , или подмножеством ).${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle Я}$ ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Для каждого пусть будет под -σ -алгеброй . Тогда${\displaystyle я\в я}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

называется фильтрацией, если для всех . Таким образом, фильтрации — это семейства σ -алгебр, упорядоченные по неубывающему принципу. ^[1] Если — фильтрация, то называется фильтрованным вероятностным пространством .${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }}$${\displaystyle k\leq \ell }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$

Пусть — случайный процесс на вероятностном пространстве . Пусть обозначает σ -алгебру, порожденную случайными величинами . Тогда ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\точки ,X_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

является σ -алгеброй и является фильтрацией.${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \mathbb {F} }$на самом деле является фильтрацией, поскольку по определению все являются σ -алгебрами и${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).}$

Это известно как естественная фильтрация по отношению к .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Если — фильтрация, то соответствующая непрерывная справа фильтрация определяется как ^[2]${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},}$

с

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{z>i}{\mathcal {F}}_{z}.}$

Сама фильтрация называется непрерывна справа, если . ^[3]${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F} }$

Пусть будет вероятностным пространством, и пусть${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ для некоторых }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ с }}P(B)=0\}}$

быть набором всех наборов, содержащихся в нулевом наборе .${\displaystyle P}$

Фильтрация называется полной фильтрацией , если каждый содержит . Это подразумевает, что является полным пространством мер для каждого (обратное не обязательно верно.)${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}}$${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {F}}_{i},P)}$${\displaystyle i\in I.}$

Фильтрация называется расширенной фильтрацией, если она является полной и непрерывной справа. Для каждой фильтрации существует наименьшее расширенное фильтрующее уточнение .${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {F} }}}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Если фильтрация является расширенной фильтрацией, то говорят, что она удовлетворяет обычным гипотезам или обычным условиям . ^[3]

• Естественная фильтрация
• Фильтрация (математика)
• Фильтр (математика)