Проблема с урной

В теории вероятности и статистики задача об урне — это идеализированное умственное упражнение , в котором некоторые объекты, представляющие реальный интерес (например, атомы, люди, автомобили и т. д.), представлены в виде цветных шариков в урне или другом контейнере. Игрок делает вид, что вынимает один или несколько шариков из урны; цель состоит в том, чтобы определить вероятность вытягивания того или иного цвета или некоторых других свойств. Ниже описан ряд важных вариаций.

Модель урны — это либо набор вероятностей, описывающих события в задаче с урнами, либо распределение вероятностей или семейство таких распределений случайных величин , связанных с задачами с урнами. ^[1]

В «Искусстве предположений» (1713) Якоб Бернулли рассмотрел задачу определения, по заданному числу камешков, вытащенных из урны, пропорций разноцветных камешков в урне. Эта задача была известна как задача обратной вероятности и была предметом исследований в восемнадцатом веке, привлекая внимание Авраама де Муавра и Томаса Байеса .

Бернулли использовал латинское слово urna , которое в первую очередь означает глиняный сосуд, но также это термин, используемый в Древнем Риме для любого вида сосуда для сбора бюллетеней или жребия; современное итальянское или испанское слово для урны для голосования по-прежнему urna . Вдохновение Бернулли, возможно, было лотереями , выборами или азартными играми , которые включали вытягивание шаров из контейнера, и утверждалось, что выборы в средневековой и ренессансной Венеции , включая выборы дожа , часто включали выбор избирателей по жребию , используя шары разных цветов, вытягиваемые из урны. ^[2]

В этой базовой модели урны в теории вероятностей урна содержит x белых и y черных шаров, хорошо перемешанных вместе. Один шар вытаскивается из урны случайным образом и его цвет наблюдается; затем он помещается обратно в урну (или нет), и процесс выбора повторяется. ^[3]

Возможные вопросы, на которые можно ответить в этой модели:

• Могу ли я вывести соотношение белых и черных шаров из n наблюдений? С какой степенью уверенности?
• Зная x и y , какова вероятность вытащить определенную последовательность (например, одну белую, а затем одну черную)?
• Если я наблюдаю только n шаров, насколько я могу быть уверен, что среди них нет черных шаров? (Вариант как первого, так и второго вопроса)

• бета-биномиальное распределение : как и выше, за исключением того, что каждый раз, когда наблюдается шар, в урну добавляется дополнительный шар того же цвета. Следовательно, общее количество шаров в урне растет. См. модель урны Пойя .
• Биномиальное распределение : распределение числа успешных извлечений (попыток), т.е. извлечений белых шаров, при n извлечениях с возвращением в урну с черными и белыми шарами. ^[3]
• Урна Хоппе : урна Пойя с дополнительным шаром, называемым мутатором . Когда мутатор вытаскивается, он заменяется вместе с дополнительным шаром совершенно нового цвета.
• гипергеометрическое распределение : шары не возвращаются в урну после извлечения. Следовательно, общее количество шариков в урне уменьшается. Это называется «извлечение без возвращения», в противоположность «извлечению с возвращением».
• многомерное гипергеометрическое распределение : шары не возвращаются в урну после извлечения, но шары бывают более чем двух цветов. ^[3]
• геометрическое распределение : количество розыгрышей до первого успешного (правильно окрашенного) розыгрыша. ^[3]
• Смешанная замена/незамена: урна содержит x белых и y черных шаров. В то время как черные шары откладываются после розыгрыша (незамена), белые шары возвращаются в урну после розыгрыша (замена). Вероятность P(m,k) того, что k черных шаров будут извлечены после m розыгрышей, можно вычислить рекурсивно с помощью формулы . ^[4]${\displaystyle P(m,k)={\frac {y+1-k}{x+y+1-k}}P(m-1,k-1)+{\frac {x}{x+yk}}P(m-1,k)}$

• мультиномиальное распределение : есть шары более чем двух цветов. Каждый раз, когда шар извлекается, он возвращается перед тем, как вытащить другой шар. ^[3] Это также известно как « шары в корзины ».
• отрицательное биномиальное распределение : количество розыгрышей до наступления определенного количества неудач (неправильно окрашенных розыгрышей).
• Задача о заполнении: распределение числа занятых урн после случайного распределения k шаров по n урнам, связанная с задачей коллекционера купонов и задачей о днях рождения .
• Полия урны : каждый раз, когда вынимается шар определенного цвета, он заменяется дополнительным шаром того же цвета.
• Статистическая физика : вывод распределений энергии и скорости.
• Парадокс Эллсберга .

• Мячи в корзины
• Задачи с подбрасыванием монеты
• Проблема коллекционера купонов
• Дирихле-мультиномиальное распределение
• Нецентральные гипергеометрические распределения

• Джонсон, Норман Л.; и Котц, Сэмюэл (1977); Модели урн и их применение: подход к современной дискретной теории вероятностей , Wiley ISBN 0-471-44630-0 
• Махмуд, Хосам М. (2008); Модели урн Полиа , Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-4200-5983-1