Схема дифференциации против ветра для конвекции

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources. Find sources: "Upwind differencing scheme for convection" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2013)

Схема разностного анализа вверх по потоку — это метод, используемый в численных методах вычислительной гидродинамики для задач конвекции - диффузии . Эта схема специфична для числа Пекле больше 2 или меньше −2

Принимая во внимание направление потока , схема дифференциации вверх по потоку преодолевает эту неспособность схемы центральной дифференциации . Эта схема разработана для сильных конвективных потоков с подавленными эффектами диффузии. Также известная как схема дифференциации «донорной ячейки», конвективное значение свойства на поверхности ячейки принимается из узла вверх по потоку.${\displaystyle \phi }$

Его можно описать с помощью уравнения в частных производных устойчивой конвекции-диффузии: ^{[1] : 103  [2] [ круговая ссылка ]}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \phi )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }}$$

Уравнение непрерывности : ^{[1] : 104  [3] [ циклическая ссылка ]}${\displaystyle \left(\rho uA\right)_{e}-\left(\rho uA\right)_{w}=0\,}$

где — плотность, — коэффициент диффузии, — вектор скорости, — вычисляемое свойство, — исходный член, а индексы и относятся к «восточной» и «западной» граням ячейки (см. рис. 1 ниже).${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle S_{\phi }}$${\displaystyle e}$${\displaystyle w}$

После дискретизации , применения уравнения непрерывности и приравнивания исходного члена к нулю получаем ^{[4] [ циклическая ссылка ]}

Центральное разностное дискретизированное уравнение ^{[1] : 105}

$${\displaystyle F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _{w}\,=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P})-D_{w}(\phi _{P}-\phi _{W})}$$

( 1 )

$${\displaystyle F_{e}-F_{w}\,=0}$$

( 2 )

Строчные буквы обозначают грань, а заглавные — узел; , , и относятся к ячейкам «Восток», «Запад» и «Центр». (снова см. рис. 1 ниже).${\displaystyle E}$${\displaystyle W}$${\displaystyle P}$

Определим переменную F как поток массы конвекции , а переменную D как проводимость диффузии и$${\displaystyle F\,=\rho uA}$$$${\displaystyle D\,={\frac {\Gamma A}{\delta x}}}$$

Число Пекле (Pe) — безразмерный параметр, определяющий сравнительную силу конвекции и диффузии.

Число Пекле: $${\displaystyle Pe\,={\frac {F}{D}}\,={\frac {\rho u}{\Gamma /\delta x}}}$$

Для числа Пекле с меньшим значением (|Pe| < 2) диффузия является доминирующей, и для этого используется центральная разностная схема. Для других значений числа Пекле для потоков с преобладанием конвекции и числом Пекле (|Pe| > 2) используется схема upwind.

Для положительного направления потока

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{w}>0\\u_{e}>0\end{aligned}}}$$Соответствующее уравнение схемы против ветра: ^{[1] : 115}

$${\displaystyle F_{e}\phi _{P}-F_{w}\phi _{W}\,=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P})-D_{w}(\phi _{P}-\phi _{W})}$$

( 3 )

Из-за сильной конвекции и подавленной диффузии ^{[1] : 115}$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{e}\,=\phi _{P}\\\phi _{w}\,=\phi _{W}\end{aligned}}}$$

Перестановка уравнения (3) дает$${\displaystyle [(D_{w}+F_{w})+D_{e}+(F_{e}-F_{w})]\phi _{P}\,=(D_{w}+F_{w})\phi _{W}+D_{e}\phi _{E})}$$

Определение коэффициентов,$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{P}&=[(D_{w}+F_{w})+D_{e}+(F_{e}-F_{w})]\\a_{W}&=(D_{w}+F_{w})\\a_{E}&=D_{e}\end{aligned}}}$$

Для отрицательного направления потока$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{w}<0\\u_{e}<0\end{aligned}}}$$

Соответствующее уравнение схемы против ветра: ^{[1] : 115}

$${\displaystyle F_{e}\phi _{E}-F_{w}\phi _{P}\,=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P})-D_{w}(\phi _{P}-\phi _{W})}$$

( 4 )

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{w}=\phi _{P}\\\phi _{e}=\phi _{E}\end{aligned}}}$$

Перестановка уравнения (4) дает$${\displaystyle [(D_{e}-F_{e})+D_{w}+(F_{e}-F_{w})]\phi _{P}=D_{w}\phi _{W}+(D_{e}-F_{e})\phi _{E}}$$

Определение коэффициентов,$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{W}&=D_{w}\\a_{E}&=D_{e}-F_{e}\end{aligned}}}$$

Мы можем обобщить коэффициенты как ^{[1] : 116}$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{W}&=D_{w}+\max(F_{w},0)\\a_{E}&=D_{e}+\max(0,-F_{e})\end{aligned}}}$$

Решение в центральной разностной схеме не сходится для числа Пекле больше 2, что можно преодолеть, используя схему против потока, чтобы получить разумный результат. ^{[1] : Рис. 5.5, 5.13} Поэтому схема против потока применима для Pe > 2 для положительного потока и Pe < −2 для отрицательного потока. Для других значений Pe эта схема не дает эффективного решения.

Консервативность ^{[1] : 118(5.6.1.1)}

Формулировка схемы дифференциации против ветра является консервативной.

Ограниченность ^{[1] : 118 (5.6.1.2)}

Так как коэффициенты дискретизированного уравнения всегда положительны, следовательно, удовлетворяют требованиям ограниченности, а также матрица коэффициентов является диагонально доминирующей, то в решении не возникает никаких нерегулярностей.

Транспортабельность ^{[1] : 118. (5.6.1.3)}

Транспортабельность заложена в формулу, поскольку схема уже учитывает направление потока.

Точность

На основе формулы обратной разности точность составляет только первый порядок на основе ошибки усечения ряда Тейлора . Она дает ошибку, когда поток не выровнен с линиями сетки. Распределение переносимых свойств становится заметным, создавая диффузионно-подобный вид, называемый ложной диффузией . Уточнение сетки служит для преодоления проблемы ложной диффузии. С уменьшением размера сетки ложная диффузия уменьшается, тем самым увеличивая точность.

• Центральная схема разности
• Конечная разность
• Схема «против ветра»