Неполная гамма-функция

В математике верхняя и нижняя неполные гамма-функции являются типами специальных функций , которые возникают как решения различных математических задач, таких как определенные интегралы .

Их соответствующие названия происходят от их интегральных определений, которые определяются аналогично гамма-функции , но с другими или «неполными» интегральными пределами. Гамма-функция определяется как интеграл от нуля до бесконечности. Это контрастирует с нижней неполной гамма-функцией, которая определяется как интеграл от нуля до переменного верхнего предела. Аналогично, верхняя неполная гамма-функция определяется как интеграл от переменного нижнего предела до бесконечности.

Верхняя неполная гамма-функция определяется как: тогда как нижняя неполная гамма-функция определяется как: В обоих случаях s является комплексным параметром, таким образом, что действительная часть s положительна.$${\displaystyle \Гамма (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,}$$$${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.}$$

Интегрируя по частям, находим рекуррентные соотношения и Поскольку обычная гамма-функция определяется как, то имеем и$${\displaystyle \Гамма (s+1,x)=s\Гамма (s,x)+x^{s}e^{-x}}$$$${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.}$$$${\displaystyle \Гамма (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle \Гамма (s)=\Гамма (s,0)=\lim _{x\to \infty }\гамма (s,x)}$$$${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}$$

Нижняя неполная гамма-функция и верхняя неполная гамма-функция, определенные выше для действительных положительных s и x , могут быть развиты в голоморфные функции относительно как x, так и s , определенные почти для всех комбинаций комплексных x и s . ^[1] Комплексный анализ показывает, как свойства действительных неполных гамма-функций распространяются на их голоморфные аналоги.

Повторное применение рекуррентного соотношения для нижней неполной гамма- функции приводит к разложению в степенной ряд : ^[2] Учитывая быстрый рост абсолютного значения Γ ( z + k ) при k → ∞ , и тот факт, что обратная величина Γ( z ) является целой функцией , коэффициенты в самой правой сумме хорошо определены, и локально сумма сходится равномерно для всех комплексных s и x . По теореме Вейерштрасса ^[3] предельная функция, иногда обозначаемая как , ^[4] является целой относительно как z (для фиксированного s ), так и s (для фиксированного z ), ^[1] и, таким образом, голоморфна на C × C по теореме Хартога . ^[5] Следовательно, следующее разложение ^[1] расширяет действительную нижнюю неполную гамма-функцию до голоморфной функции , как совместно, так и по отдельности по z и s . Из свойств и Γ-функции следует , что первые два множителя отражают особенности ( при z = 0 или s — неположительное целое число), тогда как последний множитель вносит вклад в ее нули.$${\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.}$$${\displaystyle \gamma ^{*}}$$${\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$$$${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),}$$${\displaystyle z^{s}}$${\displaystyle \gamma (s,z)}$

Комплексный логарифм log z = log | z | + i arg z определяется с точностью до кратного 2 πi , что делает его многозначным . Функции, включающие комплексный логарифм, обычно наследуют это свойство. Среди них — комплексная степень , и, поскольку z ^s появляется в ее разложении, γ -функция тоже.

Неопределенность многозначных функций вносит осложнения, поскольку необходимо указать, как выбрать значение. Стратегии для решения этой проблемы:

• (самый общий способ) заменить область C многозначных функций подходящим многообразием в C × C, называемым поверхностью Римана . Хотя это устраняет многозначность, необходимо знать теорию, лежащую в ее основе; ^[6]
• ограничить область определения таким образом, чтобы многозначная функция разлагалась на отдельные однозначные ветви , с которыми можно работать по отдельности.

Следующий набор правил может быть использован для правильной интерпретации формул в этом разделе. Если не указано иное, предполагается следующее:

Сектора в C, имеющие вершину в z = 0, часто оказываются подходящими областями для сложных выражений. Сектор D состоит из всех комплексных z, удовлетворяющих z ≠ 0 и α − δ < arg z < α + δ с некоторыми α и 0 < δ ≤ π . Часто α может быть выбрано произвольно и тогда не указывается. Если δ не указано, предполагается, что оно равно π , и сектор фактически является всей плоскостью C , за исключением полупрямой, начинающейся в z = 0 и указывающей в направлении − α , обычно служащей в качестве разреза ветви . Примечание: во многих приложениях и текстах α молчаливо принимается равным 0, что центрирует сектор вокруг положительной действительной оси.

В частности, однозначный и голоморфный логарифм существует на любом таком секторе D, мнимая часть которого ограничена диапазоном ( α − δ , α + δ ) . На основе такого ограниченного логарифма z ^s и неполные гамма-функции в свою очередь сворачиваются до однозначных голоморфных функций на D (или C × D ), называемых ветвями их многозначных аналогов на D. Добавление кратного 2 π к α дает другой набор коррелированных ветвей на том же множестве D . Однако в любом данном контексте здесь α предполагается фиксированным, и все вовлеченные ветви связаны с ним. Если | α | < δ , ветви называются главными , потому что они равны своим действительным аналогам на положительной действительной оси. Примечание: во многих приложениях и текстах формулы справедливы только для главных ветвей.

Значения различных ветвей как комплексной степенной функции, так и нижней неполной гамма-функции могут быть получены друг из друга путем умножения , ^[1] для k — подходящего целого числа.${\displaystyle e^{2\pi iks}}$

Приведенное выше разложение далее показывает, что γ ведет себя вблизи z = 0 асимптотически следующим образом:$${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$$

Для положительных действительных x , y и s , x ^y /y → 0 , когда ( x , y ) → (0, s ) . Это, по-видимому, оправдывает установку γ ( s , 0) = 0 для действительных s > 0. Однако в комплексной области дела обстоят несколько иначе. Только если (a) действительная часть s положительна, и (b) значения u ^v берутся только из конечного набора ветвей, они гарантированно сходятся к нулю при ( u , v ) → (0, s ) , и то же самое делает γ ( u , v ) . На одной ветви γ ( b ) выполняется естественным образом, поэтому γ ( s , 0) = 0 для s с положительной действительной частью является непрерывным пределом . Также следует отметить, что такое продолжение никоим образом не является аналитическим .

Все алгебраические соотношения и дифференциальные уравнения, наблюдаемые для действительной γ ( s , z ), справедливы и для ее голоморфного аналога. Это является следствием теоремы о тождестве, утверждающей, что уравнения между голоморфными функциями, действительными на действительном интервале, справедливы всюду. В частности, рекуррентное соотношение ^[2] и ∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{− z [2]} сохраняются на соответствующих ветвях.

Последнее соотношение говорит нам, что для фиксированного s , γ является примитивной или первообразной голоморфной функции z ^{s −1} e ^{− z} . Следовательно, для любого комплексного u , v ≠ 0 , выполняется до тех пор, пока путь интегрирования полностью содержится в области ветви подынтегральной функции. Если, кроме того, действительная часть s положительна, то применяется предел γ ( s , u ) → 0 при u → 0 , в конечном итоге придя к комплексному интегральному определению γ ^[1]$${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$$$${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}$$

Здесь справедлив любой путь интегрирования, содержащий 0 только в своем начале, в противном случае ограниченный областью ветви подынтегральной функции, например прямая линия, соединяющая 0 и z .

Учитывая интегральное представление главной ветви γ , следующее уравнение справедливо для всех положительных действительных s , x : ^[7]$${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

Этот результат распространяется на комплексные s . Предположим сначала 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 и 1 < a < b . Тогда где ^[8] было использовано в середине. Поскольку конечный интеграл становится произвольно малым, если только a достаточно велико, γ ( s , x ) сходится равномерно при x → ∞ на полосе 1 ≤ Re(s) ≤ 2 к голоморфной функции, ^[3] которая должна быть Γ(s) из-за теоремы о тождестве. Взяв предел в рекуррентном соотношении γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x ^{s − 1} e ^{− x} и заметив, что lim x ⁿ e ^{− x} = 0 для x → ∞ и всех n , мы видим, что γ ( s , x ) сходится и вне полосы к функции, подчиняющейся рекуррентному соотношению Γ-функции. Из этого следует, что для всех комплексных s не является неположительным целым числом, x — действительным, а γ — главным.$${\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

Теперь пусть u из сектора | arg z | < δ < π /2 с некоторым фиксированным δ ( α = 0 ), γ — главная ветвь в этом секторе, и рассмотрим$${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}$$

Как показано выше, первую разность можно сделать произвольно малой, если | u | достаточно велико. Вторая разность допускает следующую оценку: где мы использовали интегральное представление γ и формулу о | z ^s | выше. Если мы проинтегрируем по дуге с радиусом R = | u | вокруг 0, соединяющей u и | u | , то последний интеграл равен где M = δ (cos δ ) ^{− Re s} e ^{Im sδ} — константа, не зависящая от u или R . Снова обращаясь к поведению x ⁿ e ^{− x} для больших x , мы видим, что последнее выражение стремится к 0, когда R увеличивается к ∞ . В общей сложности теперь мы имеем: если s не является неотрицательным целым числом, 0 < ε < π /2 произвольно мало, но фиксировано, а γ обозначает главную ветвь в этой области.$${\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,}$$$${\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,}$$

${\displaystyle \gamma (s,z)}$является:

• целиком в z для фиксированного, положительного целого числа s ;
• многозначный голоморфный по z для фиксированного s, не являющегося целым числом, с точкой ветвления при z = 0 ;
• на каждой ветви мероморфной по s при фиксированном z ≠ 0 , с простыми полюсами при неположительных целых числах s.

Что касается верхней неполной гамма-функции , голоморфное расширение относительно z или s дается формулой ^[1] в точках ( s , z ) , где правая часть существует. Поскольку является многозначной, то же самое справедливо и для , но ограничение главными значениями дает только однозначную главную ветвь .$${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

Когда s — неположительное целое число в приведенном выше уравнении, ни одна из частей разности не определена, и предельный процесс , здесь разработанный для s → 0 , заполняет пропущенные значения. Комплексный анализ гарантирует голоморфность , поскольку оказывается ограниченным в окрестности этого предела для фиксированного z .${\displaystyle \Gamma (s,z)}$

Для определения предела полезен степенной ряд при z = 0. При замене его степенным рядом в интегральном определении , получаем (предположим x , s положительные действительные числа на данный момент): или ^[4] который, как рядное представление всей функции, сходится для всех комплексных x (и всех комплексных s, не являющихся неположительными целыми числами).${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}}$$$${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},}$$${\displaystyle \gamma ^{*}}$

При снятии ограничения на действительные значения ряд допускает расширение:$${\displaystyle \gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.}$$

При s → 0 : ^[9] ( здесь — константа Эйлера–Маскерони ), следовательно, — предельная функция к верхней неполной гамма-функции при s → 0 , также известная как экспоненциальный интеграл . ^[10]$${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,}$$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \Gamma (0,z)=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!)}}}$$ ${\displaystyle E_{1}(z)}$

С помощью рекуррентного соотношения из этого результата можно вывести значения для положительных целых чисел n ^[11], так что верхняя неполная гамма-функция оказывается существующей и голоморфной как по z , так и по s для всех s и z ≠ 0 .${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$$${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$$

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$является:

• целая по z для фиксированного положительного интеграла s ;
• многозначный голоморфный по z для фиксированного s, отличного от нуля и не являющегося положительным целым числом, с точкой ветвления при z = 0 ;
• равно для s с положительной действительной частью и z = 0 (предел при ), но это непрерывное расширение, а не аналитическое ( не выполняется для действительных s < 0 !);${\displaystyle \Gamma (s)}$${\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)}$
• на каждой ветви целиком по s для фиксированного z ≠ 0 .

• ${\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}$если s — положительное целое число ,
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$если s — положительное целое число , ^[12]
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$для ,${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$,
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$.

Здесь — экспоненциальный интеграл , — обобщенный экспоненциальный интеграл , — функция ошибок , а — дополнительная функция ошибок , .${\displaystyle \operatorname {Ei} }$${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}}$как ,${\displaystyle x\to 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}}$как и (для действительных s ошибка Γ( s , x ) ~ − x ^s / s имеет порядок O ( x ^{min{ s + 1, 0}} ), если s ≠ −1 и O (ln( x )), если s = −1 ),${\displaystyle x\to 0}$${\displaystyle \Re (s)<0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}}$как асимптотический ряд , где и . ^[13]${\displaystyle x\to 0^{+}}$${\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }$
• ${\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}}$как асимптотический ряд , где и , где , где — константа Эйлера-Маскерони . ^[13]${\displaystyle x\to 0^{+}}$${\displaystyle N=1,2,\dots }$${\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}$${\displaystyle \gamma }$
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)}$как ,${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1}$как ,${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$как асимптотический ряд , где и . ^[14]${\displaystyle |z|\to \infty }$${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$

Нижнюю гамма-функцию можно оценить с помощью разложения в степенной ряд: ^[15] где — символ Похгаммера .$${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}}$$${\displaystyle s^{\overline {k+1}}}$

Альтернативное разложение — это разложение , где M — конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера .$${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$$

Когда действительная часть z положительна, имеет бесконечный радиус сходимости.$${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$$$${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$$

Снова с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями и применением тождества Куммера,$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}$$

Для фактического вычисления числовых значений цепная дробь Гаусса обеспечивает полезное расширение:$${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$$

Эта цепная дробь сходится для всех комплексных z , при условии, что s не является отрицательным целым числом.

Верхняя гамма-функция имеет непрерывную дробь ^[16] и ^{[ требуется ссылка ]}$${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$$${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$$

Справедлива следующая теорема умножения :$${\displaystyle \Gamma (s,z)={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).}$$

Неполные гамма-функции доступны в различных системах компьютерной алгебры .

Однако, даже если они недоступны напрямую, неполные значения функции можно вычислить с помощью функций, обычно включаемых в электронные таблицы (и пакеты компьютерной алгебры). В Excel , например, их можно вычислить с помощью гамма-функции в сочетании с функцией гамма-распределения .

• Нижняя неполная функция: .${\displaystyle \gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)
• Верхняя неполная функция: .${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))

Они следуют из определения кумулятивной функции распределения гамма-распределения .

В Python библиотека Scipy предоставляет реализации неполных гамма-функций в соответствии с scipy.special, однако она не поддерживает отрицательные значения для первого аргумента. Функция gammaincиз библиотеки mpmath поддерживает все сложные аргументы.

Две связанные функции представляют собой регуляризованные гамма-функции: — кумулятивная функция распределения для гамма-случайных величин с параметром формы и параметром масштаба 1.$${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}$$${\displaystyle P(s,x)}$ ${\displaystyle s}$

Когда — целое число, — это кумулятивная функция распределения для случайных величин Пуассона : Если — случайная величина, то${\displaystyle s}$${\displaystyle Q(s+1,\lambda )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )}$$${\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}$$

Эту формулу можно вывести путем повторного интегрирования по частям.

В контексте устойчивого распределения количества событий параметр можно рассматривать как обратный параметру устойчивости Леви : где — стандартное устойчивое распределение количества событий формы .${\displaystyle s}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle Q(s,x)=\int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu ,\quad (s>1)}$$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$${\displaystyle \alpha =1/s<1}$

${\displaystyle P(s,x)}$и реализованы как ^[17] и ^[18] в scipy .${\displaystyle Q(s,x)}$gammaincgammaincc

Используя интегральное представление выше, производная верхней неполной гамма-функции по x равна Производная по ее первому аргументу задается выражением ^[19] , а вторая производная — выражением , где функция является частным случаем G-функции Мейера Этот частный частный случай обладает собственными внутренними свойствами замыкания , поскольку его можно использовать для выражения всех последовательных производных. В общем случае, где — перестановка, определяемая символом Похгаммера : Все такие производные могут быть получены последовательно из: и Эта функция может быть вычислена из ее представления в виде ряда, действительного для , с пониманием того, что s не является отрицательным целым числом или нулем. В таком случае необходимо использовать предел. Результаты для могут быть получены аналитическим продолжением . Некоторые частные случаи этой функции можно упростить. Например, , , где — экспоненциальный интеграл . Эти производные и функция дают точные решения ряда интегралов путем повторного дифференцирования интегрального определения верхней неполной гамма-функции. ^{[20] [21]} Например, эта формула может быть дополнительно расширена или обобщена до огромного класса преобразований Лапласа и Меллина . В сочетании с системой компьютерной алгебры использование специальных функций обеспечивает мощный метод решения определенных интегралов, в частности тех, которые встречаются в практических инженерных приложениях (см. Символическое интегрирование для более подробной информации).${\displaystyle \Gamma (s,x)}$$${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]}$$${\displaystyle T(m,s,x)}$$${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$$${\displaystyle P_{j}^{n}}$$${\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}}$$${\displaystyle T(m,s,x)}$${\displaystyle |z|<1}$$${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}}$$${\displaystyle |z|\geq 1}$${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$${\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)}$${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)}$${\displaystyle T(m,s,x)}$$${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$$

Следующие неопределенные интегралы легко получаются с помощью интегрирования по частям (с опущенной в обоих случаях константой интегрирования ): Нижняя и верхняя неполные гамма-функции связаны посредством преобразования Фурье : Это следует, например, из подходящей специализации (Градштейн и др. 2015, §7.642).$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$$

• ${\displaystyle P(a,x)}$— Калькулятор регуляризованной нижней неполной гамма-функции
• ${\displaystyle Q(a,x)}$— Калькулятор регуляризованной верхней неполной гамма-функции
• ${\displaystyle \gamma (a,x)}$— Калькулятор неполной нижней гамма-функции
• ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$— Калькулятор верхней неполной гамма-функции
• формулы и тождества неполной гамма-функции functions.wolfram.com