Unum (формат числа)

Unums ( универсальные числа ^[1] ) — это семейство числовых форматов и арифметики для реализации действительных чисел на компьютере, предложенное Джоном Л. Густафсоном в 2015 году . ^[2] Они разработаны как альтернатива повсеместному стандарту с плавающей точкой IEEE 754. Последняя версия известна как posit . ^[3]

Первая версия unums, официально известная как Type I unum, была представлена ​​в книге Густафсона «Конец ошибок» как надмножество формата с плавающей точкой IEEE-754. ^[2] Определяющими особенностями формата Type I unum являются:

• формат хранения переменной ширины как для мантиссы , так и для экспоненты , и
• u -бит , который определяет, соответствует ли unum точному числу ( u  = 0) или интервалу между последовательными точными unum ( u  = 1). Таким образом, unum покрывают всю расширенную вещественную числовую прямую [−∞,+∞].

Для вычислений в этом формате Густафсон предложил использовать интервальную арифметику с парой чисел unum, которую он назвал ubound , обеспечивая гарантию того, что полученный интервал содержит точное решение.

Уильям М. Кахан и Густафсон обсуждали unums на конференции Arith23 . ^{[4] [5] [6] [7]}

Unums типа II были введены в 2016 году ^[8] как переработанный вариант Unums, который нарушил совместимость с IEEE-754.

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Июнь 2021 )

В феврале 2017 года Густафсон официально представил unums типа III (posit) для фиксированных значений с плавающей точкой и допустимых значений для интервальной арифметики . ^[3] В марте 2022 года стандарт был ратифицирован и опубликован рабочей группой Posit. ^[9]

Posits ^{[3] [10] [11]} — это аппаратно-дружественная версия unum, в которой решены трудности, с которыми сталкивался исходный тип I unum из-за его переменного размера. По сравнению с float IEEE 754 аналогичного размера, posit предлагают больший динамический диапазон и больше дробных бит для значений с величиной около 1 (но меньше дробных бит для очень больших или очень малых значений), и Густафсон утверждает, что они обеспечивают лучшую точность. ^{[12] [13]} Исследования ^{[14] [15]} подтверждают, что для некоторых приложений posit с quire превосходят float по точности. Posit имеют превосходную точность в диапазоне около единицы, где происходит большинство вычислений. Это делает его очень привлекательным для текущей тенденции в глубоком обучении, чтобы минимизировать количество используемых бит. Это потенциально помогает любому приложению ускориться, позволяя использовать меньше бит (так как у него больше дробных бит для точности), уменьшая пропускную способность сети и памяти, а также требования к питанию.

Формат n -битного posit обозначается меткой «posit», за которой следуют десятичные цифры n (например, 16-битный формат posit — «posit16») и состоит из четырех последовательных полей:

1. знак : 1 бит, представляющий беззнаковое целое число s
2. режим: не менее 2 бит и до ( n  − 1), представляющий беззнаковое целое число r, как описано ниже
3. экспонента : до 2 бит, доступных после режима, представляющих беззнаковое целое число e
4. дробь : все оставшиеся биты, доступные после экспоненты, представляющие неотрицательное вещественное двоичное рациональное число f меньше 1

Поле режима использует унарное кодирование k одинаковых битов, за которыми следует бит противоположного значения, если доступны какие-либо оставшиеся биты, для представления беззнакового целого числа r , которое равно − k, если первый бит равен 0, или k  − 1, если первый бит равен 1. Поля знака, экспоненты и дроби аналогичны полям знака, экспоненты и мантиссы IEEE 754 (соответственно), за исключением того, что поля положительной экспоненты и дроби могут отсутствовать или быть усеченными и неявно расширенными нулями — отсутствующая экспонента рассматривается как 00₂ (представляющая 0), однобитовая экспонента E ₁ рассматривается как ₂ (представляющая целое число 0, если E ₁ равно 0, или 2, если E ₁ равно 1), а отсутствующая дробь рассматривается как 0.E10

Две кодировки, в которых все незнаковые биты равны 0, имеют специальные интерпретации:

• Если знаковый бит равен 1, то положительное значение равно NaR(«недействительное»).
• Если знаковый бит равен 0, положительное значение равно 0 (что является беззнаковым и единственным значением, для которого функция signвозвращает 0)

В противном случае положительное значение равно , в котором r масштабируется по степеням 16, e масштабируется по степеням 2, f равномерно распределяет значения между соседними комбинациями ( r , e ), а s корректирует знак симметрично относительно 0.${\textstyle ((1-3с)+е)\times 2^{(1-2с)\times (4р+е+с)}}$

тип (полож. n )	Двоичный	Ценить	Примечания
Любой	1 0…	NaR	все, что математически не определяется как уникальное действительное число [9]
Любой	0 0…	0
Любой	0 10…	1
Любой	1 10…	−1
Любой	0 01 11 0…	0,5
Любой	0 0…1	${\textstyle 2^{-4n+8}}$	наименьшее положительное значение
Любой	0 1…	${\textstyle 2^{4n-8}}$	наибольшее положительное значение
posit8	0 0000001	${\textstyle 2^{-24}\приблизительно 6,0\times 10^{-8}}$	наименьшее положительное значение
posit8	0 1111111	${\textstyle 2^{24}\приблизительно 1,7\times 10^{7}}$	наибольшее положительное значение
posit16	0 000000000000001	${\textstyle 2^{-56}\приблизительно 1,4\times 10^{-17}}$	наименьшее положительное значение
posit16	0 111111111111111	${\textstyle 2^{56}\приблизительно 7,2\times 10^{16}}$	наибольшее положительное значение
posit32	0 0000000000000000000000000000001	${\textstyle 2^{-120}\приблизительно 7,5\times 10^{-37}}$	наименьшее положительное значение
posit32	0 1111111111111111111111111111111	${\textstyle 2^{120}\приблизительно 1,3\times 10^{36}}$	наибольшее положительное значение

Примечание : ожидается, что 32-битного posit будет достаточно для решения практически всех классов приложений ^{[ необходима ссылка ]} .

Для каждого типа posit n точности стандарт определяет соответствующий тип "quire" quire n точности , используемый для накопления точных сумм произведений этих posit без округления или переполнения в скалярных произведениях для векторов до 2 ³¹ или более элементов (точный предел равен ). Формат quire представляет собой целое число со знаком в формате дополнения до двух , интерпретируемое как кратное единицам величины, за исключением специального значения с ведущим битом знака 1 и всеми остальными битами, равными 0 (что представляет ). Quire основаны на работе Ульриха В. Кулиша и Уилларда Л. Миранкера . ^[16]${\textstyle н}$${\textstyle 16\умножить на n}$${\displaystyle 2^{23+4n}}$${\displaystyle 2^{16-8n}}$NaR

Допустимые значения описываются как режим Unum типа III, который ограничивает результаты заданным диапазоном. ^[3]

Несколько программных и аппаратных решений реализуют posit. ^{[14] [17] [18] [19] [20]} Первый полностью параметризованный аппаратный генератор арифметики posit был предложен в 2018 году. ^[21]

Реализации Unum были исследованы в Julia ^{[22] [23] [24] [25] [26] [27]} и MATLAB . ^{[28] [29]} Доступна версия C++ ^[30] с поддержкой любых размеров posit в сочетании с любым количеством битов экспоненты. Быстрая реализация на языке C, SoftPosit, ^[31], предоставленная исследовательской группой NGA на основе Berkeley SoftFloat, дополняет доступные программные реализации.

SoftPosit ^[31] — программная реализация posit на основе Berkeley SoftFloat. ^[32] Позволяет программно сравнивать posit и float. В настоящее время поддерживает

• Добавлять
• Вычитать
• Умножить
• Разделять
• Сплавлено-умножить-сложить
• Слитое скалярное произведение (с печатным листом)
• Квадратный корень
• Преобразовать posit в знаковое и беззнаковое целое число
• Преобразовать знаковое и беззнаковое целое число в положительное
• Преобразовать posit в другой размер posit
• Меньше, равно, сравнение меньше, чем равно
• Округлить до ближайшего целого числа

• преобразовать double в posit
• преобразовать posit в double
• привести беззнаковое целое число к posit

Он работает для 16-битных posit с одним битом экспоненты и 8-битных posit с нулевым битом экспоненты. Поддержка 32-битных posit и гибкого типа (2-32 бита с двумя битами экспоненты) ожидает проверки. Он поддерживает системы x86_64. Он был протестирован на GNU gcc ( SUSE Linux ) 4.8.5 Apple LLVM версии 9.1.0 (clang-902.0.39.2).

Добавить с posit8_t

#include "softposit.h" int main ( int argc , char * argv []) { posit8_t pA , pB , pZ ; pA = castP8 ( 0xF2 ); pB = castP8 ( 0x23 ); pZ = p8_add ( pA , pB );                    // Чтобы проверить ответ, преобразуя его в double double dZ = convertP8ToDouble ( pZ ); printf ( "dZ: %.15f \n " , dZ );       // Чтобы вывести результат в двоичном формате (предупреждение: непереносимый код) uint8_t uiZ = castUI8 ( pZ ); printBinary (( uint64_t * ) & uiZ , 8 );       вернуть 0 ; } 

Объединенное скалярное произведение с quire16_t

// Преобразуем double в posit posit16_t pA = convertDoubleToP16 ( 1.02783203125 ); posit16_t pB = convertDoubleToP16 ( 0.987060546875 ); posit16_t pC = convertDoubleToP16 ( 0.4998779296875 ); posit16_t pD = convertDoubleToP16 ( 0.8797607421875 );            quire16_t qZ ; // Устанавливаем quire на 0 qZ = q16_clr ( qZ );  // Накапливаем произведения без округлений qZ = q16_fdp_add ( qZ , pA , pB ); qZ = q16_fdp_add ( qZ , pC , pD );        // Преобразуем обратно в posit posit16_t pZ = q16_to_p16 ( qZ );   // Для проверки ответа double dZ = convertP16ToDouble ( pZ );   

Уильям М. Кахан, главный архитектор IEEE 754-1985, критикует unums типа I по следующим причинам (некоторые из них рассматриваются в стандартах типа II и типа III): ^{[6] [33]}

• Описание unums обходит стороной использование исчисления для решения физических задач.
• Unums может быть затратным с точки зрения времени и энергопотребления.
• Каждое вычисление в пространстве unum, скорее всего, изменит длину бита структуры. Это требует либо распаковки их в пространство фиксированного размера, либо выделения данных, освобождения и сборки мусора во время операций unum, аналогично проблемам работы с записями переменной длины в массовом хранилище.
• Unums обеспечивает только два вида числовых исключений: тихое и сигнализирующее NaN (Not-a-Number).
• Вычисление Unum может привести к слишком свободным границам из-за выбора алгебраически корректного, но численно нестабильного алгоритма.
• Преимущества unum по сравнению с числами с плавающей точкой малой точности для задач, требующих низкой точности, не очевидны.
• Решение дифференциальных уравнений и вычисление интегралов с помощью unums гарантирует правильные ответы, но может быть не таким быстрым, как методы, которые работают обычно.

• Точная арифметика Карлсруэ (KAA)
• Q (формат числа)
• Значимые цифры
• Уменьшение ошибок с плавающей точкой
• Гамма-код Элиаса (γ)
• Коническая плавающая точка (TFP)

• Густафсон, Джон Л. (март 2013 г.). «Точность правильного размера: освобожденные вычисления: необходимость правильной точности для экономии энергии, полосы пропускания, памяти и электроэнергии» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-06-06 . Получено 2016-06-06 .
• Брюкнер, Рич (2015-03-02). "Слайдкаст: Джон Густафсон объясняет энергоэффективные вычисления Unum". Отчет Rich . Внутри HPC. Архивировано из оригинала 2016-07-10 . Получено 2016-06-10 .
• Густафсон, Джон Л. (2015). "Конец числовой ошибки" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-06-06 . Получено 2016-06-06 .
• Густафсон, Джон Л. (2016-06-03) [2016-02-22]. "Радикальный подход к вычислениям с действительными числами – Unums версии 2.0" (PPT). Архивировано из оригинала 2016-07-10 . Получено 2016-07-10 .(Примечание. PDF-файлы не содержат примечаний: [5] [6])
• Густафсон, Джон Л. (2016-06-06). "Энергоэффективный и массивно параллельный подход к валидным числовым данным" (PPT). Семинар OCRAR. Архивировано из оригинала 2016-07-10 . Получено 2016-07-10 .[7] [8]
• Густафсон, Джон Л. (2016). "Радикальный подход к вычислениям с действительными числами" (PDF) . SuperFri.org. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-07-10 . Получено 2016-07-10 .
• Кулиш, Ульрих В. (2015). «Современная интервальная арифметика от закрытых интервалов до связанных множеств действительных чисел» (PDF) (препринт). Institut für Angewandte und Numerische Mathematik – Karlsruhe Institute of Technology (KIT), Германия. Идентификатор 15/02. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-07-12 . Получено 2016-07-12 .
• Рисс, Томас (2016-03-10). "Unum – целесообразное расширение IEEE 754" (PDF) (презентация). Лондонский университет Южного берега (LSBU), Великобритания: Институт информатики и автоматизации (IIA), факультет EEE & CS, Бременский университет прикладных наук , Германия. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-07-12 . Получено 2016-07-12 .
• Кахан, Уильям М. (2016-07-15). "Комментарии профессора В. Кахана по арифметике SORN" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-08-01 . Получено 2016-08-01 .
• Hunhold, Laslo (2016-11-08). The Unum Number Format: Mathematical Foundations, Implementation and Comparison to IEEE 754 Floating-Point Numbers (PDF) (бакалаврская работа). Universität zu Köln , Mathematisches Institut. arXiv : 1701.00722v1 . Архивировано (PDF) из оригинала 2017-01-07 . Получено 2016-10-23 .
• Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Вычисления с плавающей точкой . Серия Prentice-Hall по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Englewood Cliffs, Нью-Джерси, США: Prentice Hall . ISBN 0-13-322495-3.
• Кейв, Скип (2016-08-17). "Реализация на языке программирования J 3-битных, 4-битных, 8-битных и 16-битных точных чисел" . Получено 2017-05-03 .(Ссылка для скачивания Роджера Стоукса: [9])
• Инголе, Дипак (2017-09-28). Встроенная реализация явной модели предиктивного управления (кандидатская диссертация). Словацкий технологический университет в Братиславе , Словакия.

• «Конференция по арифметике следующего поколения (CoNGA)». 2017. Архивировано из оригинала 2017-11-04 . Получено 2017-11-04 .
• "SoftPosit". 2018 . Получено 2018-06-13 .
• "Вклад сообщества в исходный код". 2018 . Получено 2018-06-13 .
• "Анатомия положительного числа". 2018-04-11 . Получено 2019-08-09 .