Универсальная параболическая константа

Универсальная параболическая константа — это математическая константа .

Он определяется как отношение, для любой параболы , длины дуги параболического сегмента, образованного latus rectum , к фокальному параметру. Фокальный параметр равен удвоенному фокусному расстоянию . Отношение обозначается  P . ^{[1] [2] [3]} На диаграмме latus rectum изображен синим цветом, параболический сегмент, который он образует, красным, а фокальный параметр зеленым. (Фокус параболы — точка F , а директриса — линия L .)

Значение P равно ^[4]

${\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2,29558714939\dots }$

(последовательность A103710 в OEIS ). Окружность и парабола уникальны среди конических сечений тем, что имеют универсальную константу. Аналогичные соотношения для эллипсов и гипербол зависят от их эксцентриситетов . Это означает, что все окружности подобны и все параболы подобны, тогда как эллипсы и гиперболы — нет.

Возьмем уравнение параболы. Фокальный параметр равен , а полуширина прямой кишки равна .${\textstyle y={\frac {x^{2}}{4f}}}$${\displaystyle p=2f}$${\displaystyle \ell =2f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=2ft)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}$$

P — трансцендентное число .

Доказательство . Предположим, что P является алгебраическим . Тогда также должно быть алгебраическим. Однако, по теореме Линдемана–Вейерштрасса , было бы трансцендентным, что не так. Следовательно, P является трансцендентным.${\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}$${\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}$

Поскольку P трансцендентно, оно также иррационально .

Среднее расстояние от точки, случайно выбранной в единичном квадрате, до его центра равно ^[5]

${\displaystyle d_{\text{avg}}={P \over 6}.}$

Доказательство .

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}\end{aligned}}}$

Существует также интересная геометрическая причина, по которой эта константа появляется в единичных квадратах. Среднее расстояние между центром единичного квадрата и точкой на границе квадрата равно . Если мы равномерно выберем каждую точку на периметре квадрата, возьмем отрезки линий (проведенные из центра), соответствующие каждой точке, сложим их вместе, соединив каждый отрезок линии рядом с другим, уменьшив их масштаб, то полученная кривая будет параболой. ^[6]${\displaystyle {P \over 4}}$