Равнонепрерывность

В математическом анализе семейство функций равностепенно непрерывно, если все функции непрерывны и имеют одинаковую вариацию в заданной окрестности , в точном смысле, описанном здесь. В частности, это понятие применимо к счетным семействам и, следовательно, последовательностям функций.

Равностепенная непрерывность появляется в формулировке теоремы Асколи , которая утверждает, что подмножество C ( X ), пространства непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве X , компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, поточечно ограничено и равностепенно непрерывно. Как следствие, последовательность в C ( X ) равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равностепенно непрерывна и сходится поточечно к функции (не обязательно непрерывной априори). В частности, предел равностепенно непрерывной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций f _n либо на метрическом пространстве, либо на локально компактном пространстве ^[1] непрерывен. Если, кроме того, f _n голоморфны , то предел также голоморфен .

Принцип равномерной ограниченности утверждает, что поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами является равностепенно непрерывным. ^[2]

Пусть X и Y — два метрических пространства , а F — семейство функций из X в Y. Обозначим через d соответствующие метрики этих пространств.

Семейство  F равностепенно непрерывно в точке x ₀  ∈  X , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что d ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) < ε для всех  ƒ  ∈  F и всех x таких, что d ( x ₀ ,  x ) < δ. Семейство поточечно равностепенно непрерывно, если оно равностепенно непрерывно в каждой точке X. ^[3]

Семейство  F равномерно равностепенно непрерывно , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что d ( ƒ ( x ₁ ),  ƒ ( x ₂ )) < ε для всех ƒ  ∈  F и всех x ₁ , x ₂  ∈  X таких, что d ( x ₁ ,  x ₂ ) < δ. ^[4]

Для сравнения, утверждение «все функции ƒ из F непрерывны» означает, что для любого ε > 0, любого  ƒ  ∈  F и любого x ₀  ∈  X существует δ > 0 такое, что d ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) < ε для всех x  ∈  X таких, что d ( x ₀ ,  x ) < δ.

• Для непрерывности δ может зависеть от ε, ƒ и x ₀ .
• Для равномерной непрерывности δ может зависеть от ε и  ƒ .
• Для поточечной равностепенной непрерывности δ может зависеть от ε и x ₀ .
• Для равномерной равностепенной непрерывности δ может зависеть только от ε.

В более общем случае, когда X является топологическим пространством, множество F функций из X в Y называется равностепенно непрерывным в точке x , если для любого ε > 0 точка x имеет окрестность U _x такую, что

${\displaystyle d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon }$

для всех y ∈ U _x и ƒ  ∈  F. Это определение обычно появляется в контексте топологических векторных пространств .

Когда X компактно, множество равномерно равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно в каждой точке, по сути, по той же причине, по которой равномерная непрерывность и непрерывность совпадают на компактных пространствах. Используемый сам по себе термин «равностепенность» может относиться как к точечному, так и к равномерному понятию, в зависимости от контекста. На компактном пространстве эти понятия совпадают.

Некоторые основные свойства немедленно вытекают из определения. Каждое конечное множество непрерывных функций равностепенно непрерывно. Замыкание равностепенно непрерывного множества снова равностепенно непрерывно. Каждый член равномерно равностепенно непрерывного множества функций равномерно непрерывен , а каждое конечное множество равномерно непрерывных функций равномерно равностепенно непрерывно.

• Набор функций с общей константой Липшица является (равномерно) равностепенно непрерывным. В частности, это имеет место, если набор состоит из функций с производными, ограниченными одной и той же константой.
• Принцип равномерной ограниченности дает достаточное условие для того, чтобы множество непрерывных линейных операторов было равностепенно непрерывным.
• Семейство итераций аналитической функции равностепенно непрерывно на множестве Фату . ^{[5] [6]}

• Последовательность функций f _n (x) = arctan(nx) не является равностепенно непрерывной, поскольку определение нарушается при x ₀ =0.

Предположим, что T — топологическое пространство, а Y — аддитивная топологическая группа (т. е. группа, наделенная топологией, делающей ее операции непрерывными). Топологические векторные пространства являются яркими примерами топологических групп, и каждая топологическая группа имеет связанную с ней каноническую однородность .

Определение : ^[7] Семейство H отображений из T в Y называется равностепенно непрерывным в точке t ∈ T , если для каждой окрестности V точки 0 в Y существует некоторая окрестность U точки t в T такая, что h ( U ) ⊆ h ( t ) + V для каждого h ∈ H. Мы говорим, что H равностепенно непрерывен , если он равностепенно непрерывен в каждой точке T.

Обратите внимание, что если H равностепенно непрерывно в точке, то каждое отображение в H непрерывно в этой точке. Очевидно, что каждое конечное множество непрерывных отображений из T в Y равностепенно непрерывно.

Поскольку каждое топологическое векторное пространство (TVS) является топологической группой, определение равностепенно непрерывного семейства отображений, данное для топологических групп, без изменений переносится на TVS.

Семейство отображений вида между двумя топологическими векторными пространствами называется равностепенно непрерывным в точке, если для каждой окрестности начала координат в существует некоторая окрестность начала координат в такая, что для всех${\displaystyle H}$${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$${\displaystyle h\in H.}$

Если — семейство отображений, а — множество, то пусть С обозначениями, если и — множества, то для всех тогда и только тогда, когда${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle h(U)\subseteq V}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle H(U)\subseteq V.}$

Пусть и — топологические векторные пространства (TVS), а — семейство линейных операторов из в Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

1. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным;
2. ${\displaystyle H}$равностепенно непрерывна в каждой точке${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным в некоторой точке${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывной в начале координат.
   • то есть для каждой окрестности начала координат в существует окрестность начала координат в такая, что (или, что эквивалентно, для каждого ).${\displaystyle V}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H(U)\subseteq V}$${\displaystyle h(U)\subseteq V}$${\displaystyle h\in H}$
   ^[8]
5. для каждой окрестности начала координат в есть окрестность начала координат в${\displaystyle V}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$${\displaystyle X.}$
6. замыкание в равностепенно непрерывно. ${\displaystyle H}$${\displaystyle L_{\сигма}(X;Y)}$
   • ${\displaystyle L_{\сигма}(X;Y)}$обозначает наделенный топологией поточечной сходимости.${\displaystyle L(X;Y)}$
7. сбалансированная оболочка является равностепенно непрерывной .${\displaystyle H}$

в то время как если является локально выпуклым , то этот список может быть расширен, включив:${\displaystyle Y}$

8. выпуклая оболочка является равностепенно непрерывной . ^[9]${\displaystyle H}$
9. выпуклая сбалансированная оболочка является равностепенно непрерывной. ^{[10] [9]}${\displaystyle H}$

в то время как если и локально выпуклы , то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

10. для каждой непрерывной полунормы на существует непрерывная полунорма на такая, что для всех ^[9]${\displaystyle д}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q\circ h\leq p}$${\displaystyle h\in H.}$
    • Здесь, означает, что для всех${\displaystyle q\circ h\leq p}$${\displaystyle q(h(x))\leq p(x)}$${\displaystyle x\in X.}$

в то время как если является бочкообразным и локально выпуклым, то этот список можно расширить, включив:${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

11. ${\displaystyle H}$ограничено в ; ^[11]${\displaystyle L_{\сигма}(X;Y)}$
12. ${\displaystyle H}$ограничено в ^[11]${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$
    • ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$обозначает наделенный топологией ограниченной сходимости (то есть равномерной сходимости на ограниченных подмножествах${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle X.}$

в то время как если и являются банаховыми пространствами , то этот список может быть расширен, включив: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

13. ${\displaystyle \sup\{\|T\|:T\in H\}<\infty }$(то есть равномерно ограничено по норме оператора ).${\displaystyle H}$

Пусть — топологическое векторное пространство (TVS) над полем с непрерывным сопряженным пространством Семейство линейных функционалов на называется равностепенно непрерывным в точке , если для каждой окрестности начала координат в существует некоторая окрестность начала координат в такая, что для всех${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$${\displaystyle h\in H.}$

Для любого подмножества следующие условия эквивалентны: ^[9]${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$

1. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным.
2. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывной в начале координат.
3. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным в некоторой точке${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$содержится в поляре некоторой окрестности начала координат в ^[10]${\displaystyle X}$
5. (пре)полярная часть является окрестностью начала координат в${\displaystyle H}$${\displaystyle X.}$
6. слабое * замыкание в равностепенно непрерывно.${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{\prime }}$
7. сбалансированная оболочка является равностепенно непрерывной .${\displaystyle H}$
8. выпуклая оболочка равностепенно непрерывна.${\displaystyle H}$
9. выпуклая сбалансированная оболочка является равностепенно непрерывной. ^[10]${\displaystyle H}$

в то время как если нормировано , то этот список может быть расширен, включив:${\displaystyle X}$

10. ${\displaystyle H}$является сильно ограниченным подмножеством ^[10]${\displaystyle X^{\prime }.}$

в то время как если это бочкообразное пространство , то этот список может быть расширен, включив:${\displaystyle X}$

11. ${\displaystyle H}$относительно компактен в слабой * топологии на ^[11]${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. ${\displaystyle H}$слабо * ограничен (то есть ограничен в ). ^[11]${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)-}$${\displaystyle X^{\prime }}$
13. ${\displaystyle H}$ограничено в топологии ограниченной сходимости (то есть ограничено в ). ^[11]${\displaystyle H}$${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)-}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха-Штейнгауза) утверждает, что множество линейных отображений между банаховыми пространствами является равностепенно непрерывным, если оно поточечно ограничено; то есть для каждого Результат можно обобщить на случай, когда является локально выпуклым и является бочкообразным пространством . ^[12]${\displaystyle H}$${\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty }$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

Теорема Алаоглу подразумевает, что слабое* замыкание равностепенно непрерывного подмножества является слабо* компактным; таким образом, каждое равностепенно непрерывное подмножество является слабо* относительно компактным. ^{[13] [9]}${\displaystyle X^{\prime }}$

Если — любое локально выпуклое TVS, то семейство всех бочек в и семейство всех подмножеств из , которые являются выпуклыми, сбалансированными, замкнутыми и ограниченными в , соответствуют друг другу по полярности (относительно ). ^[14] Из этого следует, что локально выпуклое TVS является бочкообразным тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество из равностепенно непрерывно. ^[14]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, и снабдим C ( X ) равномерной нормой , тем самым сделав C ( X ) банаховым пространством , а значит, метрическим пространством. Тогда теорема Арцела–Асколи утверждает, что подмножество C ( X ) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. ^[15] Это аналогично теореме Гейне–Бореля , которая утверждает, что подмножества R ⁿ компактны тогда и только тогда, когда они замкнуты и ограничены. ^[16] Как следствие, каждая равномерно ограниченная равностепенно непрерывная последовательность в C ( X ) содержит подпоследовательность, которая равномерно сходится к непрерывной функции на X .

Ввиду теоремы Арцела–Асколи последовательность в C ( X ) сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равностепенно непрерывна и сходится поточечно. Гипотеза утверждения может быть немного ослаблена: последовательность в C ( X ) сходится равномерно, если она равностепенно непрерывна и сходится поточечно на плотном подмножестве к некоторой функции на X (не предполагается непрерывной).

Эта более слабая версия обычно используется для доказательства теоремы Арцела–Асколи для сепарабельных компактных пространств. Другим следствием является то, что предел равностепенно непрерывной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций на метрическом пространстве или на локально компактном пространстве является непрерывным. (См. пример ниже.) В приведенном выше примере гипотеза компактности X   не может быть ослаблена. Чтобы увидеть это, рассмотрим компактно непрерывную функцию g на R с g (0) = 1 и рассмотрим равностепенно непрерывную последовательность функций { ƒ _n } на R, определенную как ƒ _n ( x ) = g ( x − n ) . Тогда ƒ _n сходится поточечно к 0, но не сходится равномерно к 0.

Этот критерий равномерной сходимости часто полезен в вещественном и комплексном анализе. Предположим, что нам дана последовательность непрерывных функций, которая сходится поточечно на некотором открытом подмножестве G из R ⁿ . Как отмечено выше, она фактически сходится равномерно на компактном подмножестве G, если она равностепенно непрерывна на компактном множестве. На практике показать равностепенную непрерывность часто не так уж и сложно. Например, если последовательность состоит из дифференцируемых функций или функций с некоторой регулярностью (например, функции являются решениями дифференциального уравнения), то можно использовать теорему о среднем значении или некоторые другие виды оценок, чтобы показать равностепенную непрерывность последовательности. Тогда следует, что предел последовательности непрерывен на каждом компактном подмножестве G ; таким образом, непрерывен на G . Аналогичное рассуждение можно привести, когда функции голоморфны. Можно использовать, например, оценку Коши , чтобы показать равностепенную непрерывность (на компактном подмножестве) и заключить, что предел голоморфен. Обратите внимание, что равностепенная непрерывность здесь существенна. Например, ƒ _n ( x ) = arctan n  x сходится к кратному функции прерывистого знака .

Наиболее общий сценарий, в котором может быть определена равностепенная непрерывность, касается топологических пространств , тогда как равномерная равностепенная непрерывность требует, чтобы фильтр окрестностей одной точки был каким-то образом сопоставим с фильтром окрестностей другой точки. Последнее чаще всего делается с помощью равномерной структуры , давая равномерное пространство . Соответствующие определения в этих случаях следующие:

Множество A функций, непрерывных между двумя топологическими пространствами X и Y , топологически равностепенно непрерывно в точках x ∈ X и y ∈ Y , если для любого открытого множества O вокруг y существуют окрестности U точки x и V точки y такие, что для каждого f ∈ A , если пересечение f [ U ] и V непусто, f [ U ] ⊆ O . Тогда говорят, что A топологически равностепенно непрерывно в точках x ∈ X , если оно топологически равностепенно непрерывно в точках x и y для каждого y ∈ Y . Наконец, A равностепенно непрерывно, если оно равностепенно непрерывно в точке x для всех точек x ∈ X .

Множество A непрерывных функций между двумя равномерными пространствами X и Y равномерно равностепенно непрерывно , если для каждого элемента W равномерности на Y множество

{ ( u,v ) ∈ X × X : для всех f ∈ A . ( f ( u ), f ( v )) ∈ W }

является членом однородности на X

Введение в однородные пространства

Теперь кратко опишем основную идею, лежащую в основе единообразий.

Равномерность 𝒱 — ​​это непустой набор подмножеств Y × Y , где, среди многих других свойств, каждое V ∈ 𝒱 , V содержит диагональ Y (т.е. {( y , y ) ∈ Y } ). Каждый элемент 𝒱 называется окружением .

Равномерности обобщают идею (взятую из метрических пространств ) точек, которые являются " r -близкими" (для r > 0 ), что означает, что их расстояние < r . Чтобы прояснить это, предположим, что ( Y , d ) является метрическим пространством (поэтому диагональ Y является множеством {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) = 0} ). Для любого r > 0 пусть

U _r = {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) < r }

обозначим множество всех пар точек, которые r -близки. Обратите внимание, что если бы мы «забыли», что d существует, то для любого r > 0 мы все равно смогли бы определить, являются ли две точки Y r -близкими , используя только множества U _r . Таким образом, множества U _r инкапсулируют всю информацию, необходимую для определения таких вещей, как равномерная непрерывность и равномерная сходимость, без необходимости в какой-либо метрике. Аксиоматизация самых основных свойств этих множеств приводит к определению однородности . Действительно, множества U _r порождают однородность, которая канонически связана с метрическим пространством ( Y , d ) .

Преимущество этого обобщения в том, что теперь мы можем распространить некоторые важные определения, имеющие смысл для метрических пространств (например, полнота ), на более широкую категорию топологических пространств. В частности, на топологические группы и топологические векторные пространства .

Более слабая концепция — это равномерная непрерывность.

Множество A непрерывных функций между двумя топологическими пространствами X и Y называется равномерно непрерывным в точках x ∈ X и y ∈ Y , если для любого открытого множества O, содержащего y , существуют такие окрестности U точки x и V точки y , что f [ U ] ⊆ O всякий раз, когда f ( x ) ∈ V . Оно равномерно непрерывно в точке x , если оно равномерно непрерывно в точках x и y для каждого y ∈ Y , и равномерно непрерывным , если оно равномерно непрерывно в точке x для каждого x ∈ X .

Стохастическая равностепенная непрерывность — это версия равностепенной непрерывности, используемая в контексте последовательностей функций случайных величин и их сходимости . ^[17]

• Абсолютная непрерывность  – Форма непрерывности для функций
• Классификация разрывов  – Математический анализ точек разрыва
• Грубая функция
• Непрерывная функция  – Математическая функция без резких изменений.
• Непрерывная функция (теория множеств)  – последовательность ординалов, такая, что значения, принимаемые на предельных стадиях, являются пределами (предельными супремумами и предельными инфимумами) всех значений на предыдущих стадиях.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Непрерывный стохастический процесс  – Стохастический процесс, который является непрерывной функцией времени или индексного параметра.
• Дини непрерывность
• Функция, сохраняющая направление — аналог непрерывной функции в дискретных пространствах.
• Микронепрерывность  – математический термин
• Нормальная функция  – Функция порядковых чисел в математике
• Кусочно  – функция, определяемая несколькими подфункциямиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Симметрично непрерывная функция
• Равномерная непрерывность  – Равномерное ограничение изменения функций

• «Равномерность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980), Функциональный анализ (переработанное и дополненное издание), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-585050-6.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.

• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill.
• Шефер, Хельмут Х. (1966), Топологические векторные пространства , Нью-Йорк: The Macmillan Company
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.