Высота (абелева группа)

В математике высота элемента g абелевой группы A является инвариантом, который отражает его свойства делимости: это наибольшее натуральное число N такое, что уравнение Nx  =  g имеет решение x ∈ A , или символ ∞, если такого N не существует . P - высота учитывает только свойства делимости на степени фиксированного простого числа p . Понятие высоты допускает уточнение, так что p -высота становится порядковым числом . Высота играет важную роль в теоремах Прюфера , а также в теореме Ульма , которая описывает классификацию некоторых бесконечных абелевых групп в терминах их ульмовских факторов или ульмовских инвариантов .

Пусть A — абелева группа, а g — элемент A. P - высота g в A , обозначаемая h _p ( g ), — это наибольшее натуральное число n такое, что уравнение p n ^x =  g  имеет решение относительно x ∈ A , или символ ∞, если решение существует для всех n . Таким образом, h _p ( g ) = n тогда и только тогда, когда g ∈ p ⁿ A и g  ∉  p ^{n +1} A . Это позволяет уточнить понятие высоты.

Для любого ординала α существует подгруппа p ^α A группы A , которая является образом отображения умножения на p, повторенного α раз, определяемого с помощью трансфинитной индукции :

• ${\displaystyle p^{0}A=A;}$
• ${\displaystyle p^{\alpha +1}A=p(p^{\alpha }A);}$
• ${\displaystyle p^{\beta }A=\bigcap _{\alpha <\beta }p^{\alpha }(A)}$если β — предельный ординал .

Подгруппы p ^α A образуют убывающую фильтрацию группы A , а их пересечение является подгруппой p -делимых элементов группы A , элементам которой приписана высота ∞. Модифицированная p -высота h _p ^∗ ( g ) = α , если g ∈ p ^α A , но g ∉ p ^{α +1} A . Конструкция p ^α A функториальна по A ; в частности, подфакторы фильтрации являются инвариантами изоморфизма A .

Пусть p — фиксированное простое число. (Первая) подгруппа Ульма абелевой группы A , обозначаемая U ( A ) или A ¹ , есть p ^ω A = ∩ _n p ⁿ A , где ω — наименьший бесконечный ординал . Она состоит из всех элементов A бесконечной высоты. Семейство { U ^σ ( A )} подгрупп Ульма, индексированных ординалами σ , определяется трансфинитной индукцией:

• ${\displaystyle U^{0}(A)=A;}$
• ${\displaystyle U^{\sigma +1}(A)=U(U^{\sigma }(A));}$
• ${\displaystyle U^{\tau }(A)=\bigcap _{\sigma <\tau }U^{\sigma }(A)}$если τ — предельный ординал .

Эквивалентно, U ^σ ( A ) = p ^ωσ A , где ωσ — произведение ординалов ω и σ .

Подгруппы Ульма образуют убывающую фильтрацию группы A, чьи факторы U _σ ( A ) = U ^σ ( A )/ U ^{σ +1} ( A ) называются факторами Ульма группы A . Эта фильтрация стабилизирует и наименьшее ординальное число τ такое, что U ^τ ( A ) = U ^{τ +1} ( A ) является длиной Ульма группы A . Наименьшая подгруппа Ульма U ^τ ( A ), также обозначаемая U ^∞ ( A ) и p ^∞ A, является наибольшей p -делимой подгруппой группы A ; если A является p -группой, то U ^∞ ( A ) является делимой , и как таковая она является прямым слагаемым группы A .

Для каждого фактора Ульма U _σ ( A ) p -высоты его элементов конечны и неограниченны для каждого фактора Ульма, за исключением, возможно, последнего, а именно U _{τ −1} ( A ), когда длина Ульма τ является последующим ординалом .

Вторая теорема Прюфера дает прямое расширение фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на счетные абелевы p -группы без элементов бесконечной высоты: каждая такая группа изоморфна прямой сумме циклических групп, порядки которых являются степенями p . Более того, мощность множества слагаемых порядка p ⁿ однозначно определяется группой, и каждая последовательность не более чем счетных мощностей реализуется. Гельмут Ульм (1933) нашел расширение этой теории классификации на общие счетные p -группы: их класс изоморфизма определяется классами изоморфизма множителей Ульма и p -делимой части.

Теорема Ульма . Пусть A и B — счетные абелевы p - группы, такие, что для любого ординала σ их ульмовские факторы изоморфны , U _σ ( A ) ≅ U _σ ( B ) и p - делимые части A и B изоморфны , U ^∞ ( A ) ≅ U ^∞ ( B ). Тогда A и B изоморфны.

Существует дополнение к этой теореме, впервые сформулированное Лео Циппином (1935) и доказанное Курошем (1960), которое касается существования абелевой p -группы с заданными ульмовскими факторами.

Пусть τ — ординал, а { A _σ } — семейство счетных абелевых p - групп, индексированных ординалами σ < τ, таких, что p - высоты элементов каждой A _σ конечны и, за исключением, возможно, последнего, неограничены. Тогда существует приведенная абелева p - группа A длины Ульма τ, ульмовские факторы которой изоморфны этим p - группам , U _σ ( A ) ≅ A _σ .

Первоначальное доказательство Ульма основывалось на расширении теории элементарных делителей на бесконечные матрицы .

Джордж Макки и Ирвинг Каплански обобщили теорему Ульма на некоторые модули над полным дискретным кольцом нормирования . Они ввели инварианты абелевых групп, которые приводят к прямому утверждению классификации счетных периодических абелевых групп: для заданных абелевой группы A , простого числа p и ординала α соответствующий α -й инвариант Ульма является размерностью фактора

п ^α А [ п ]/ п ^{α +1} А [ п ],

где B [ p ] обозначает p -кручение абелевой группы B , т.е. подгруппу элементов порядка p , рассматриваемую как векторное пространство над конечным полем с p элементами.

Счетная периодическая приведенная абелева группа определяется однозначно с точностью до изоморфизма своими ульмовскими инвариантами для всех простых чисел p и счетных ординалов α .

Их упрощенное доказательство теоремы Ульма послужило моделью для многих дальнейших обобщений на другие классы абелевых групп и модулей.

• Ласло Фукс (1970), Бесконечные абелевы группы, т. I. Чистая и прикладная математика, т. 36. Нью-Йорк–Лондон: Academic Press MR 0255673
• Ирвинг Каплански и Джордж Макки , Обобщение теоремы Ульма . Summa Brasil. Math. 2, (1951), 195–202 MR 0049165
• Курош, АГ (1960), Теория групп , Нью-Йорк: Челси, MR  0109842
• Ульм, Х (1933). «Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen». Математика. Энн . 107 : 774–803 . doi : 10.1007/bf01448919. ЖФМ  59.0143.03. S2CID  122867558.