Двусторонний дисперсионный анализ

В статистике двухфакторный дисперсионный анализ ( ANOVA ) является расширением однофакторного ANOVA , который изучает влияние двух различных категориальных независимых переменных на одну непрерывную зависимую переменную . Двухфакторный ANOVA направлен не только на оценку основного эффекта каждой независимой переменной, но и на то, есть ли между ними какое-либо взаимодействие .

В 1925 году Рональд Фишер упоминает двухфакторный ANOVA в своей знаменитой книге «Статистические методы для научных работников» (главы 7 и 8). В 1934 году Фрэнк Йейтс опубликовал процедуры для несбалансированного случая. ^[1] С тех пор была создана обширная литература. Тема была рассмотрена в 1993 году Ясунори Фудзикоши. ^[2] В 2005 году Эндрю Гельман предложил другой подход ANOVA, рассматриваемый как многоуровневая модель . ^[3]

Давайте представим набор данных , для которого зависимая переменная может находиться под влиянием двух факторов , которые являются потенциальными источниками вариации. Первый фактор имеет уровни ( ) , а второй имеет уровни ( ) . Каждая комбинация определяет обработку , для общего количества обработок. Мы представляем число повторов для обработки как , и пусть будет индексом повтора в этой обработке ( ) .${\displaystyle Я}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,I\}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,J\}}$${\displaystyle (я,j)}$${\displaystyle I\times J}$${\displaystyle (я,j)}$${\displaystyle n_{ij}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n_{ij}\}}$

По этим данным можно построить таблицу сопряженности , где и , а общее количество повторений равно .${\displaystyle n_{i+}=\sum _{j=1}^{J}n_{ij}}$${\displaystyle n_{+j}=\sum _{i=1}^{I}n_{ij}}$${\ displaystyle n = \ sum _ {i, j} n_ {ij} = \ sum _ {i} n_ {i +} = \ sum _ {j} n_ {+ j}}$

Экспериментальный план сбалансирован , если каждое лечение имеет одинаковое количество повторений, . В таком случае план также называется ортогональным , что позволяет полностью различать эффекты обоих факторов. Следовательно, мы можем записать , и .${\displaystyle К}$${\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}=K}$${\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}={\frac {n_{i+}\cdot n_{+j}}{n}}}$

При наблюдении вариации среди всех точек данных, например, с помощью гистограммы , « вероятность может быть использована для описания такой вариации». ^[4] Давайте, следовательно, обозначим случайную величину , наблюдаемое значение которой является -й мерой для обработки . Двухфакторный ANOVA моделирует все эти переменные как изменяющиеся независимо и нормально вокруг среднего значения, , с постоянной дисперсией, ( гомоскедастичность ):${\displaystyle n}$${\displaystyle Y_{ijk}}$${\displaystyle y_{ijk}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle (я,j)}$${\displaystyle \mu _{ij}}$${\displaystyle \сигма ^{2}}$

${\displaystyle Y_{ijk}\,|\,\mu _{ij},\sigma ^{2}\;{\overset {\mathrm {iid} {\sim }}\;{\mathcal {N} }(\mu _{ij},\sigma ^{2})}$.

В частности, среднее значение переменной отклика моделируется как линейная комбинация объясняющих переменных:

${\displaystyle \mu _{ij} = \mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\gamma _{ij}}$,

где — общее среднее, — аддитивный главный эффект уровня от первого фактора ( i -я строка в таблице сопряженности), — аддитивный главный эффект уровня от второго фактора ( j -й столбец в таблице сопряженности) и — неаддитивный эффект взаимодействия обработки для образцов от обоих факторов (ячейка в строке i и столбце j в таблице сопряженности).${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \альфа _{я}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle k=1,...,n_{ij}}$

Другой эквивалентный способ описания двухфакторного ANOVA — это упоминание того, что помимо вариации, объясняемой факторами, остается некоторый статистический шум . Это количество необъяснимой вариации обрабатывается путем введения одной случайной величины на точку данных, называемой ошибкой . Эти случайные величины рассматриваются как отклонения от средних значений и считаются независимыми и нормально распределенными:${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle Y_{ijk}=\mu _{ij}+\epsilon _{ijk}{\text{ with }}\epsilon _{ijk}{\overset {\mathrm {i.i.d.} }{\sim }}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$.

Согласно Гельману и Хиллу , предположения дисперсионного анализа и, в более общем плане, общей линейной модели , следующие (в порядке убывания важности): ^[5]

1. точки данных имеют отношение к исследуемому научному вопросу;
2. среднее значение переменной отклика аддитивно (если не через член взаимодействия) и линейно зависит от факторов;
3. ошибки независимы;
4. ошибки имеют одинаковую дисперсию;
5. Ошибки распределены нормально.

Для обеспечения идентифицируемости параметров можно добавить следующие ограничения «суммы с нулем»:

${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}=\sum _{j}\beta _{j}=\sum _{i}\gamma _{ij}=\sum _{j}\gamma _{ij}=0}$

В классическом подходе проверка нулевых гипотез (о том, что факторы не оказывают никакого влияния) достигается посредством их значимости , что требует вычисления сумм квадратов .

Проверка значимости члена взаимодействия может быть затруднена из-за потенциально большого числа степеней свободы . ^[6]

В следующем гипотетическом примере показана урожайность 15 растений, подвергавшихся воздействию двух различных условий окружающей среды и трех различных удобрений.

Рассчитывается пять сумм квадратов:

Фактор	Расчет	Сумма	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
Индивидуальный	${\displaystyle 7^{2}+2^{2}+1^{2}+7^{2}+6^{2}+11^{2}+6^{2}+10^{2}+7^{2}+3^{2}+5^{2}+3^{2}+4^{2}+11^{2}+4^{2}}$	641	15
Удобрение × Окружающая среда	${\displaystyle {\frac {(7+2+1)^{2}}{3}}+{\frac {(7+6)^{2}}{2}}+{\frac {(11+6)^{2}}{2}}+{\frac {(10+7+3)^{2}}{3}}+{\frac {(5+3+4)^{2}}{3}}+{\frac {(11+4)^{2}}{2}}}$	556.1667	6
Удобрение	${\displaystyle {\frac {(7+2+1+7+6)^{2}}{5}}+{\frac {(11+6+10+7+3)^{2}}{5}}+{\frac {(5+3+4+11+4)^{2}}{5}}}$	525.4	3
Среда	${\displaystyle {\frac {(7+2+1+11+6+5+3+4)^{2}}{8}}+{\frac {(7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{7}}}$	519.2679	2
Композитный	${\displaystyle {\frac {(7+2+1+11+6+5+3+4+7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{15}}}$	504.6	1

Наконец, можно рассчитать суммы квадратов отклонений, необходимые для дисперсионного анализа .

Фактор	Сумма	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	Общий	Среда	Удобрение	Удобрение × Окружающая среда	Остаточный
Индивидуальный	641	15	1				1
Удобрение × Окружающая среда	556.1667	6				1	−1
Удобрение	525.4	3			1	−1
Среда	519.2679	2		1		−1
Композитный	504.6	1	−1	−1	−1	1
Квадратичные отклонения			136.4	14.668	20.8	16.099	84.833
Степени свободы			14	1	2	2	9

• Анализ дисперсии
• F-тест ( включает пример однофакторного дисперсионного анализа )
• Смешанная модель
• Многомерный дисперсионный анализ (MANOVA)
• Однофакторный дисперсионный анализ
• Повторные измерения ANOVA
• Тест Тьюки на аддитивность

• Джордж Каселла (18 апреля 2008 г.). Статистический дизайн. Springer Texts in Statistics. Springer . ISBN 978-0-387-75965-4.