Двумерная теория Янга–Миллса
Теория Янга–Миллса в двух измерениях с четко определенной мерой

В математической физике двумерная теория Янга–Миллса является частным случаем теории Янга–Миллса , в которой размерность пространства-времени принимается равной двум. Этот частный случай допускает строго определенную меру Янга–Миллса , что означает, что (евклидов) интеграл по траектории может быть интерпретирован как мера на множестве связей по модулю калибровочных преобразований. Эта ситуация контрастирует с четырехмерным случаем, где строгое построение теории как меры в настоящее время неизвестно.

Аспектом предмета, представляющим особый интерес, является предел больших N , в котором структурная группа берется за унитарную группу , а затем берется предел, стремящийся к бесконечности. Предел больших N двумерной теории Янга–Миллса имеет связи с теорией струн. У ( Н ) {\displaystyle U(N)} Н {\displaystyle N}

Фон

Интерес к мере Янга–Миллса возникает из статистического механического или конструктивного квантово-теоретического подхода к формулировке квантовой теории для поля Янга–Миллса. Калибровочное поле математически описывается 1-формой на главном -расслоении над многообразием, принимающим значения в алгебре Ли группы Ли . Мы предполагаем, что структурная группа , описывающая физические симметрии калибровочного поля, является компактной группой Ли с биинвариантной метрикой на алгебре Ли , и мы также предполагаем, что задана риманова метрика на многообразии . Функционал действия Янга–Миллса задается как А {\displaystyle А} Г {\displaystyle G} М {\displaystyle М} Л ( Г ) {\displaystyle L(Г)} Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle G} Л ( Г ) {\displaystyle L(Г)} М {\displaystyle М}

С И М ( А ) = 1 2 ∫ М ‖ Ф А ‖ 2 г σ М {\displaystyle S_{YM}(A)={\frac {1}{2}}\int _{M}\|F^{A}\|^{2}\,d\sigma _{M}}

где — кривизна формы связности , квадрат нормы в подынтегральном выражении происходит из метрики на алгебре Ли и метрики на базовом многообразии, а — риманова мера объема на . Ф А {\displaystyle F^{A}} A {\displaystyle A} σ M {\displaystyle \sigma _{M}} M {\displaystyle M}

Мера формально задается как нормализованная вероятностная мера на пространстве всех связей на расслоении с параметром и является формальной нормализующей константой . Точнее, вероятностная мера, скорее всего, будет иметь смысл на пространстве орбит связей при калибровочных преобразованиях . μ T {\displaystyle \mu _{T}} d μ T ( A ) = 1 Z T e − S Y M ( A ) / T D A , {\displaystyle d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Z_{T}}}e^{-S_{YM}(A)/T}DA,} T > 0 {\displaystyle T>0} Z T {\displaystyle Z_{T}}

Мера Янга–Миллса для двумерных многообразий

Изучение теории Янга–Миллса в двух измерениях восходит по крайней мере к работе А. А. Мигдала в 1975 году. [1] Некоторые формулы, появляющиеся в работе Мигдала, можно, оглядываясь назад, рассматривать как связанные с тепловым ядром в структурной группе теории. Роль теплового ядра была более явно выражена в различных работах в конце 1970-х годов, достигнув кульминации во введении действия теплового ядра в работе Менотти и Онофри в 1981 году. [2]

В теории континуума мера Янга–Миллса была строго определена для случая, когда Брюсом Драйвером [3] и Леонардом Гроссом , Кристофером Кингом и Амбаром Сенгуптой . [4] Для компактных многообразий, как ориентированных, так и неориентированных, с границей или без нее, с заданной топологией расслоения, мера Янга–Миллса была построена Сенгуптой [5] [6] [ 7] [8] В этом подходе двумерная мера Янга–Миллса строится с использованием гауссовой меры на бесконечномерном пространстве, обусловленном для удовлетворения отношений, подразумеваемых топологиями поверхности и расслоения. Переменные цикла Вильсона (некоторые важные переменные в пространстве) были определены с использованием стохастических дифференциальных уравнений , а их ожидаемые значения были вычислены явно и оказались согласованными с результатами действия теплового ядра. μ T {\displaystyle \mu _{T}} M = R 2 {\displaystyle M={\mathbb {R} }^{2}}

Dana S. Fine [9] [10] [11] использовал формальный функциональный интеграл Янга–Миллса для вычисления значений ожидания цикла. Другие подходы включают подходы Klimek и Kondracki [12] и Ashtekar et al. [13] Thierry Lévy [14] [15] построил 2-мерную меру Янга–Миллса в очень общей структуре, начиная с формул значения ожидания цикла и строя меру, несколько аналогично тому, как мера броуновского движения строится из вероятностей перехода . В отличие от других работ, которые также были направлены на построение меры из значений ожидания цикла, конструкция Леви позволяет рассматривать очень широкое семейство наблюдаемых циклов.

Дискретная мера Янга–Миллса — это термин, который использовался для версии решеточной калибровочной теории меры Янга–Миллса, особенно для компактных поверхностей. Решетка в этом случае является триангуляцией поверхности. Известные факты [16] [17] таковы: (i) дискретная мера Янга–Миллса может кодировать топологию расслоения над поверхностью континуума, даже если для определения меры используется только триангуляция; (ii) когда две поверхности сшиваются вдоль общей граничной петли, соответствующие дискретные меры Янга–Миллса сворачиваются, чтобы получить меру для объединенной поверхности.

Ожидаемые значения петли Уилсона в 2 измерениях

Для кусочно гладкой петли на базовом многообразии и точки на слое в главном -расслоении над базовой точкой петли существует голономия любой связности на расслоении. Для регулярных петель все основаны на и любая функция на функции называется переменной петли Вильсона , представляющей интерес в основном, когда является произведением следов голономий в представлениях группы . Поскольку является двумерным римановым многообразием, то ожидаемые значения петли γ {\displaystyle \gamma } M {\displaystyle M} u {\displaystyle u} G {\displaystyle G} P → M {\displaystyle P\to M} o ∈ M {\displaystyle o\in M} h γ ( A ) {\displaystyle h_{\gamma }(A)} A {\displaystyle A} γ 1 , … , γ n {\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}} o {\displaystyle o} φ {\displaystyle \varphi } G n {\displaystyle G^{n}} A ↦ φ ( h γ 1 ( A ) , … , h γ n ( A ) ) {\displaystyle A\mapsto \varphi {\bigl (}h_{\gamma _{1}}(A),\ldots ,h_{\gamma _{n}}(A){\bigr )}} φ {\displaystyle \varphi } G {\displaystyle G} M {\displaystyle M}

∫ φ ( h γ 1 ( A ) , … , h γ n ( A ) ) d μ T ( A ) {\displaystyle \int \varphi {\bigl (}h_{\gamma _{1}}(A),\ldots ,h_{\gamma _{n}}(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)}

были рассчитаны в вышеупомянутых работах.

Если — плоскость, то где — тепловое ядро ​​на группе , — площадь, заключенная в петлю , а интегрирование выполняется по отношению к единичной массе меры Хаара . Эта формула была доказана Драйвером [3] и Гроссом и др. [3] с использованием конструкции гауссовой меры меры Янга–Миллса на плоскости и путем определения параллельного переноса путем интерпретации уравнения параллельного переноса как стохастического дифференциального уравнения Стратоновича . M {\displaystyle M} ∫ φ ( h γ ( A ) ) d μ T ( A ) = ∫ G φ ( x ) Q T a ( x ) d x , {\displaystyle \int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)=\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)\,dx,} Q t ( y ) {\displaystyle Q_{t}(y)} G {\displaystyle G} a {\displaystyle a} γ {\displaystyle \gamma }

Если это 2-сфера, то M {\displaystyle M}

∫ φ ( h γ ( A ) ) d μ T ( A ) = 1 Q T c ( e ) ∫ G φ ( x ) Q T a ( x ) Q T b ( x − 1 ) d x , {\displaystyle \int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Q_{Tc}(e)}}\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)Q_{Tb}(x^{-1})\,dx,}

где теперь — площадь области «вне» петли , а — общая площадь сферы. Эта формула была доказана Сенгуптой [5] с использованием условной конструкции гауссовой меры меры Янга–Миллса, и результат согласуется с тем, что получается при использовании действия теплового ядра Менотти и Онофри. [2] b {\displaystyle b} γ {\displaystyle \gamma } c {\displaystyle c}

В качестве примера для поверхностей более высокого рода, если — тор , то M {\displaystyle M}

∫ φ ( h γ ( A ) ) d μ T ( A ) = ∫ G φ ( x ) Q T a ( x ) Q T b ( x − 1 w z w − 1 z − 1 ) d x d w d z ∫ G Q T c ( w z w − 1 z − 1 ) d w d z , {\displaystyle \int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)={\frac {\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)Q_{Tb}(x^{-1}wzw^{-1}z^{-1})\,dx\,dw\,dz}{\int _{G}Q_{Tc}(wzw^{-1}z^{-1})\,dw\,dz}},}

с полной площадью тора и стягиваемой петлей на торе, охватывающей площадь . Это и аналоги в более высоком роде, а также для поверхностей с границей и для расслоений с нетривиальной топологией были доказаны Сенгуптой. [6] [8] c {\displaystyle c} γ {\displaystyle \gamma } a {\displaystyle a}

Существует обширная физическая литература по ожидаемым значениям петли в двумерной теории Янга–Миллса. [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] Многие из приведенных выше формул были известны в физической литературе с 1970-х годов, причем результаты изначально выражались в терминах суммы по символам калибровочной группы, а не теплового ядра, и с функцией, являющейся следом в некотором представлении группы. Выражения, включающие тепловое ядро, затем явно появились в форме «действия теплового ядра» в работе Менотти и Онофри. [2] Роль свойства свертки теплового ядра использовалась в работах Серджио Альбеверио и др. [26] [27] при построении стохастических процессов косурфакторов, вдохновленных теорией Янга–Миллса и, косвенно, Макеенко и Мигдалом [22] в физической литературе. φ {\displaystyle \varphi }

Низкий предел T

Формально функция распределения Янга–Миллса имеет вид

∫ e − 1 T S Y M ( A ) D A {\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{T}}S_{YM}(A)}\,DA}

В двумерном случае мы можем рассматривать это как (пропорциональное) знаменателю, который появляется в значениях ожидания цикла. Таким образом, например, функция распределения для тора будет

∫ G 2 Q T S ( a b a − 1 b − 1 ) d a d b , {\displaystyle \int _{G^{2}}Q_{TS}(aba^{-1}b^{-1})\,da\,db,}

где — площадь тора. В двух наиболее влиятельных работах [28] [29] в этой области Эдвард Виттен показал, что поскольку функция распределения дает объем пространства модулей плоских связностей относительно естественной меры объема на пространстве модулей. Эта мера объема связана с естественной симплектической структурой на пространстве модулей, когда поверхность ориентируема , и является кручением определенного комплекса в случае, когда поверхность не ориентируема. Открытие Виттена изучалось разными способами несколькими исследователями. [30] [31] [32] Пусть обозначает пространство модулей плоских связностей на тривиальном расслоении, причем структурная группа является компактной связной полупростой группой Ли , алгебра Ли которой снабжена Ad-инвариантной метрикой, над компактным двумерным ориентируемым многообразием рода . Виттен показал [28] , что симплектический объем этого пространства модулей задается выражением S {\displaystyle S} T ↓ 0 {\displaystyle T\downarrow 0} M g 0 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}} G {\displaystyle G} g ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2}

vol Ω ¯ ⁡ ( M g 0 ) = | Z ( G ) | vol ⁡ ( G ) 2 g − 2 ∑ α 1 ( dim ⁡ α ) 2 g − 2 , {\displaystyle \operatorname {vol} _{\overline {\Omega }}{\bigl (}{\mathcal {M}}_{g}^{0}{\bigr )}=|Z(G)|\operatorname {vol} (G)^{2g-2}\sum _{\alpha }{\frac {1}{(\dim \alpha )^{2g-2}}},}

где сумма берется по всем неприводимым представлениям . Это было строго доказано Сенгуптой [33] (см. также работы Лизы Джеффри и Кефенга Лю [34] ). Существует большая литература [35] [36] [37] [38] [39] по симплектической структуре на пространстве модулей плоских связностей и, в более общем плане, по самому пространству модулей, основные ранние работы принадлежат Майклу Атья и Раулю Ботту . [40] G {\displaystyle G}

Возвращаясь к мере Янга–Миллса, Сенгупта [33] доказал, что сама мера сходится в слабом смысле к подходящему масштабированному кратному симплектической меры объема для ориентируемых поверхностей рода . Тьерри Леви и Джеймс Р. Норрис [41] установили принцип больших отклонений для этой сходимости, показав, что мера Янга–Миллса кодирует функционал действия Янга–Миллса , даже если этот функционал явно не появляется в строгой формулировке меры. ≥ 2 {\displaystyle \geq 2}

Большой-Нпредел

Предел больших N калибровочных теорий относится к поведению теории для калибровочных групп вида , , , и других подобных семейств, как и в . Существует большая физическая литература по этой теме, включая основные ранние работы Герардуса 'т Хоофта . Ключевым инструментом в этом анализе является уравнение Макеенко–Мигдала. U ( N ) {\displaystyle U(N)} S U ( N ) {\displaystyle SU(N)} O ( N ) {\displaystyle O(N)} S O ( N ) {\displaystyle SO(N)} N {\displaystyle N} ↑ ∞ {\displaystyle \uparrow \infty }

В двух измерениях уравнение Макеенко–Мигдала принимает специальную форму, разработанную Казаковым и Костовым. В пределе больших N двумерная форма уравнения Макеенко–Мигдала связывает функционал петли Вильсона для сложной кривой с множественными пересечениями с произведением функционалов петли Вильсона для пары более простых кривых с по крайней мере одним меньшим пересечением. В случае сферы или плоскости было предложено, что уравнение Макеенко–Мигдала может (в принципе) свести вычисление функционалов петли Вильсона для произвольных кривых к функционалу петли Вильсона для простой замкнутой кривой.

В размерности 2 некоторые из основных идей были предложены И. М. Сингером [ 42], который назвал этот предел основным полем (общее понятие в некоторых областях физики ). Сюй [43] изучал большой предел двумерных значений ожидания петли Янга–Миллса, используя идеи из теории случайных матриц . Сенгупта [44] вычислил большой предел N значений ожидания петли на плоскости и прокомментировал связь со свободной вероятностью. Подтверждая одно предложение Сингера, [42] Майкл Аншелевич и Сенгупта [45] показали, что большой предел N меры Янга–Миллса на плоскости для групп задается теоретико- свободным аналогом меры Янга–Миллса. Тьерри Леви провел обширное исследование основного поля на плоскости. [46] [47] Несколько важных вкладов были сделаны Брюсом К. Драйвером, Брайаном С. Холлом и Тоддом Кемпом, [48] Франком Габриэлем, [49] и Антуаном Дальквистом. [50] Дальквист и Норрис [51] построили главное поле на двумерной сфере. N {\displaystyle N} U ( N ) {\displaystyle U(N)}

В размерности пространства-времени больше 2, очень мало с точки зрения строгих математических результатов. Соурав Чаттерджи доказал несколько результатов в теории калибровок с большими N для размерности больше 2. Чаттерджи [52] установил явную формулу для ведущего члена свободной энергии трехмерной решеточной калибровочной теории для любого N, поскольку шаг решетки стремится к нулю. Пусть будет статистической суммой -мерной решеточной калибровочной теории с силой связи в ящике с шагом решетки и размером, равным n шагам в каждом направлении. Чаттерджи показал, что в размерностях d=2 и 3, является с точностью до ведущего порядка по , где - предельный член свободной энергии. Аналогичный результат был также получен для в размерности 4, для , и независимо. U ( N ) {\displaystyle U(N)} Z ( n , ε , g ) {\displaystyle Z(n,\varepsilon ,g)} d {\displaystyle d} U ( N ) {\displaystyle U(N)} g {\displaystyle g} ε {\displaystyle \varepsilon } log ⁡ Z ( n , ε , g ) {\displaystyle \log Z(n,\varepsilon ,g)} n d ( 1 2 ( d − 1 ) N 2 log ⁡ ( g 2 ε 4 − d ) + ( d − 1 ) log ⁡ ( ∏ j = 1 N − 1 j ! ( 2 π ) N / 2 ) + N 2 K d ) {\displaystyle n^{d}\left({\frac {1}{2}}(d-1)N^{2}\log(g^{2}\varepsilon ^{4-d})+(d-1)\log \left({\frac {\prod _{j=1}^{N-1}j!}{(2\pi )^{N/2}}}\right)+N^{2}K_{d}\right)} n {\displaystyle n} K d {\displaystyle K_{d}} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ε → 0 {\displaystyle \varepsilon \to 0} g → 0 {\displaystyle g\to 0}

Ссылки

  1. ^ Мигдал, А.А. (1975). «Рекурсивные уравнения в теориях калибровочного поля». Советская физика ЖЭТФ . 42 : 413–418 .
  2. ^ abc Менотти, П.; Онофри, Э. (1981). «Действие решеточной калибровочной теории SU(N) в терминах теплового ядра на групповом многообразии». Nuclear Physics B. 190 ( 2): 288– 300. Bibcode :1981NuPhB.190..288M. doi :10.1016/0550-3213(81)90560-5.
  3. ^ abc Driver, Bruce K. (1989). "YM2:Ожидания континуума, сходимость решеток и лассо". Communications in Mathematical Physics . 123 (4): 575– 616. Bibcode : 1989CMaPh.123..575D. doi : 10.1007/BF01218586. S2CID  44030239.
  4. ^ Гросс, Леонард; Кинг, Крис; Сенгупта, Амбар (1989). «Двумерная теория Янга-Миллса через стохастические дифференциальные уравнения». Annals of Physics . 194 (1): 65– 112. Bibcode : 1989AnPhy.194...65G. doi : 10.1016/0003-4916(89)90032-8.
  5. ^ ab Sengupta, Ambar (1992). "Мера Янга-Миллса для S2". Журнал функционального анализа . 108 (2): 231– 273. doi : 10.1016/0022-1236(92)90025-E .
  6. ^ ab Sengupta, Ambar N. (1992). "Квантовая калибровочная теория на компактных поверхностях". Annals of Physics . 220 (1): 157. doi :10.1016/0003-4916(92)90334-I.
  7. ^ Сенгупта, Амбар Н. (1997). «Янг-Миллс на поверхностях с границей: квантовая теория и симплектический предел». Сообщения по математической физике . 183 (3): 661– 704. Bibcode :1997CMaPh.183..661S. doi :10.1007/s002200050047. S2CID  120492148.
  8. ^ ab Sengupta, Ambar N. (1997). «Калибровочная теория на компактных поверхностях». Мемуары Американского математического общества . 126 (600). doi :10.1090/memo/0600.
  9. ^ Файн, Дана С. (1990). «Квантовый Янг-Миллс на двухсфере». Сообщения по математической физике . 134 (2): 273– 292. Bibcode : 1990CMaPh.134..273F. doi : 10.1007/BF02097703. S2CID  122310649.
  10. ^ Файн, Дана С. (1991). «Квантовый Янг-Миллс на римановой поверхности». Сообщения по математической физике . 140 (2): 321– 338. Bibcode : 1991CMaPh.140..321F. doi : 10.1007/BF02099502. S2CID  120616022.
  11. ^ Файн, Дана С. (1996). «Топологические сектора и меры на пространстве модулей в квантовом Янге-Миллсе на римановой поверхности». Журнал математической физики . 37 (3): 1161– 1170. arXiv : hep-th/9504103 . Bibcode :1996JMP....37.1161F. doi :10.1063/1.531453. S2CID  18159735.
  12. ^ Климек, Славомир; Кондрацкий, Витольд (1987). «Построение двумерной квантовой хромодинамики». Сообщения по математической физике . 113 (3): 389– 402. Bibcode :1987CMaPh.113..389K. doi :10.1007/BF01221253. S2CID  122234042.
  13. ^ Аштекар, Абхай; Левандовски, Ежи; Марольф, Дональд; Мурао, Жозе; Тиманн, Томас (1997). "SU(N) квантовая теория Янга-Миллса в двух измерениях: полное решение". Журнал математической физики . 38 (11): 5453– 5482. arXiv : hep-th/9605128 . Bibcode : 1997JMP....38.5453A. doi : 10.1063/1.532146. S2CID  18153324.
  14. ^ Леви, Тьерри (2003). «Мера Янга-Миллса на компактных поверхностях». Мемуары Американского математического общества . 166 (790). arXiv : math/0101239 . doi :10.1090/memo/0790. S2CID  119143163.
  15. ^ Леви, Тьерри (2010). «Двумерные марковские поля голономии». Astérisque . 329 .
  16. ^ Леви, Тьерри (2005). «Дискретная и непрерывная мера Янга-Миллса для нетривиальных расслоений над компактными поверхностями». Теория вероятностей и смежные области . 136 (2): 171– 202. arXiv : math-ph/0501014 . doi :10.1007/s00440-005-0478-8. S2CID  17397076.
  17. ^ Беккер, Клаас; Сенгупта, Амбар Н. (1998). «Сшивание мер Янга-Миллса и пространств модулей над компактными поверхностями». Журнал функционального анализа . 152 (1): 74–99 . doi : 10.1006/jfan.1997.3161 .
  18. ^ Гросс, Дэвид; Тейлор IV, Вашингтон (1993). «Двумерная КХД — это теория струн». Nuclear Physics B. 400 ( 1): 181– 208. arXiv : hep-th/9301068 . Bibcode : 1993NuPhB.400..181G. doi : 10.1016/0550-3213(93)90403-C.
  19. ^ Cordes, Stefan; Moore, Gregory; Ramgoolam, Sanjaye (1997). "Большая N 2D теория Янга-Миллса и топологическая теория струн". Communications in Mathematical Physics . 185 (3): 543– 619. arXiv : hep-th/9402107 . Bibcode : 1997CMaPh.185..543C. doi : 10.1007/s002200050102. S2CID  14684976.
  20. ^ Казаков, К.; Костов, ИК (1980). «Нелинейные струны в двумерной l калибровочной теории». Nuclear Physics B. 176 ( 1): 199– 205. doi :10.1016/0550-3213(80)90072-3. U ( ∞ ) {\displaystyle U(\infty )}
  21. ^ Мигдал, АА (1975). «Уравнения рекурсии в теориях калибровочного поля». Sov. Phys. JETP . 42 (3): 2413–418 .
  22. ^ ab Макеенко, Юрий М.; Мигдал, А.А. (1980). «Самосогласованный закон площадей в КХД». Physics Letters B. 97 ( 2): 253– 256. Bibcode :1980PhLB...97..253M. doi :10.1016/0370-2693(80)90595-X.
  23. ^ Макеенко, Юрий М.; Мигдал, А.А. (1981). «Квантовая хромодинамика как динамика петель». Nuclear Physics B. 188 ( 2): 269– 316. Bibcode :1981NuPhB.188..269M. doi :10.1016/0550-3213(81)90258-3.
  24. ^ Русаков, Борис (1995). "Решеточная КХД как теория взаимодействующих поверхностей". Physics Letters B. 344 ( 1– 4 ): 293– 300. arXiv : hep-th/9410004 . Bibcode : 1995PhLB..344..293R. doi : 10.1016/0370-2693(94)01488-X. S2CID  118908012.
  25. ^ Русаков, Борис (1997). "Точно разрешимая КХД и удержание кварков". Nuclear Physics B . 507 (3): 691– 706. arXiv : hep-th/9703142 . Bibcode :1997NuPhB.507..691R. doi :10.1016/S0550-3213(97)00604-4. S2CID  119498700.
  26. ^ Альбеверио, Серхио; Хёг-Крон, Рафаэль; Холден, Хельге (1988). «Стохастические мультипликативные меры, обобщенные марковские полугруппы и групповые стохастические процессы и поля». Журнал функционального анализа . 78 (1): 154– 184. doi :10.1016/0022-1236(88)90137-1.
  27. ^ Альбеверио, Серхио; Хёг-Крон, Рафаэль; Колсруд, Торбьёрн (1989). «Представление и построение мультипликативного шума». Журнал функционального анализа . 87 (2): 250–272 . doi : 10.1016/0022-1236(89)90010-4 .
  28. ^ ab Witten, Edward (1991). «О квантовых калибровочных теориях в двух измерениях». Communications in Mathematical Physics . 141 (1): 153– 209. Bibcode : 1991CMaPh.141..153W. doi : 10.1007/BF02100009. S2CID  121994550.
  29. ^ Виттен, Эдвард (1992). «Повторный взгляд на двумерные калибровочные теории». Журнал геометрии и физики . 9 (4): 303–368 . arXiv : hep-th/9204083 . Bibcode : 1992JGP.....9..303W. doi : 10.1016/0393-0440(92)90034-X. S2CID  2071498.
  30. ^ Форман, Робин (1993). "Пределы малого объема двумерных уравнений Янга-Миллса". Сообщения по математической физике . 151 (1): 39– 52. Bibcode : 1993CMaPh.151...39F. doi : 10.1007/BF02096747. S2CID  123050859.
  31. ^ Кинг, Кристофер; Сенгупта, Амбар Н. (1994). «Явное описание симплектической структуры пространств модулей плоских связностей». Журнал математической физики . 35 (10): 5338–5353. Bibcode : 1994JMP....35.5338K. doi : 10.1063/1.530755.
  32. ^ Кинг, Кристофер; Сенгупта, Амбар Н. (1994). «Полуклассический предел двумерной квантовой модели Янга-Миллса». Журнал математической физики . 35 (10): 5354– 5361. arXiv : hep-th/9402135 . Bibcode : 1994JMP....35.5354K. doi : 10.1063/1.530756. S2CID  119410229.
  33. ^ ab Sengupta, Ambar N. (2003). «Мера объема для плоских соединений как предел меры Янга-Миллса». Журнал геометрии и физики . 47 (4): 398– 426. Bibcode :2003JGP....47..398S. doi :10.1016/S0393-0440(02)00229-2.
  34. ^ Лю, Кефенг (1996). "Тепловое ядро ​​и пространство модулей" (PDF) . Mathematical Research Letters . 3 (6): 743– 762. doi : 10.4310/MRL.1996.v3.n6.a3 .
  35. ^ Джеффри, Лиза; Вайтсман, Джонатан; Рамрас, Дэниел А. (2017). «Предквантовое линейное расслоение на пространстве модулей плоских SU(N) связностей на римановой поверхности и гомотопия большого предела N». Письма в математическую физику . 107 (9): 1581– 1589. arXiv : 1411.4360 . Bibcode : 2017LMaPh.107.1581J. doi : 10.1007/s11005-017-0956-9. S2CID  119577774.
  36. ^ Джеффри, Лиза; Вайтсман, Джонатан (2000). «Симплектическая геометрия пространства модулей плоских связностей на римановой поверхности: индуктивные разложения и теоремы об исчезновении». Канадский математический журнал . 52 (3): 582– 612. doi : 10.4153/CJM-2000-026-4 . S2CID  123067470.
  37. ^ Голдман, Уильям М. (1984). «Симплектическая природа фундаментальных групп поверхностей». Успехи в математике . 54 (2): 200– 225. doi : 10.1016/0001-8708(84)90040-9 .
  38. ^ Хюбшманн, Йоханнес (1996). «Особенности связностей Янга-Миллса для расслоений на поверхности. II. Расслоение». Mathematische Zeitschrift . 221 (1): 83–92 . doi : 10.1007/BF02622101. S2CID  16857228.
  39. ^ Хюбшманн, Йоханнес (1996). «Пуассоновая геометрия плоских связностей SU(2)-расслоений на поверхностях». Mathematische Zeitschrift . 221 (2): 243–259 . arXiv : hep-th/9312113 . дои : 10.1007/PL00004249. S2CID  186226623.
  40. ^ Атья, Майкл; Ботт, Рауль (1983). «Уравнения Янга-Миллса над римановыми поверхностями». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 308 (1505): 523– 615.
  41. ^ Леви, Тьерри; Норрис, Джеймс Р. (2006). «Большие отклонения для меры Янга-Миллса на компактной поверхности». Сообщения по математической физике . 261 (2): 405– 450. arXiv : math-ph/0406027 . Bibcode :2006CMaPh.261..405L. doi :10.1007/s00220-005-1450-2. S2CID  2985547.
  42. ^ ab Singer, Isadore M. (1995). О главном поле в двух измерениях . Функциональный анализ на пороге 21 века. Т. 1. С.  263–281 .
  43. ^ Сюй, Фэн (1997). «Модель случайной матрицы из двумерной теории Янга-Миллса». Сообщения по математической физике . 190 (2): 287– 307. Bibcode : 1997CMaPh.190..287X. doi : 10.1007/s002200050242. S2CID  120011642.
  44. ^ Сенгупта, Амбар Н. (2008). Следы в двумерной КХД: предел большого N. Следы в теории чисел, геометрии и квантовых полях. Т. 1. С. 193–212.
  45. ^ Аншелевич, Майкл; Сенгупта, Амбар Н. (2012). «Квантовый свободный Янг-Миллс на плоскости». Журнал геометрии и физики . 62 (2): 330– 343. arXiv : 1106.2107 . Bibcode :2012JGP....62..330A. doi :10.1016/j.geomphys.2011.10.005. S2CID  54948607.
  46. ^ Леви, Тьерри (2017). «Главное поле на плоскости». Astérisque . 388 .
  47. ^ Леви, Тьерри; Майда, Милен (2010). «Центральная предельная теорема для меры теплового ядра на унитарной группе». Журнал функционального анализа . 259 (12): 3163– 3204. arXiv : 0905.3282 . doi : 10.1016/j.jfa.2010.08.005. S2CID  15801521.
  48. ^ Драйвер, Брюс; Холл, Брайан С.; Кемп, Тодд (2017). «Три доказательства уравнения Макеенко-Мигдала для теории Янга-Миллса на плоскости». Сообщения по математической физике . 351 (2): 741– 774. arXiv : 1601.06283 . Bibcode : 2017CMaPh.351..741D. doi : 10.1007/s00220-016-2793-6. S2CID  13920957.
  49. ^ Драйвер, Брюс; Габриэль, Франк; Холл, Брайан С.; Кемп, Тодд (2017). "Уравнение Макеенко-Мигдала для теории Янга-Миллса на компактных поверхностях". Сообщения по математической физике . 352 (3): 967?978. arXiv : 1602.03905 . Bibcode : 2017CMaPh.352..967D. doi : 10.1007/s00220-017-2857-2. S2CID  14786744.
  50. ^ Дальквист, Антуан (2016). «Свободные энергии и флуктуации для унитарного броуновского движения». Сообщения по математической физике . 348 (2): 395– 444. arXiv : 1409.7793 . Bibcode :2016CMaPh.348..395D. doi : 10.1007/s00220-016-2756-y . S2CID  118973747.
  51. ^ Дальквист, Антуан; Норрис, Джеймс Р. (2020). «Мера Янга-Миллса и главное поле на сфере». Сообщения по математической физике . 377 (2): 1163– 1226. arXiv : 1703.10578 . Bibcode : 2020CMaPh.377.1163D. doi : 10.1007/s00220-020-03773-6 . S2CID  18485837.
  52. ^ Чаттерджи, Соурав (2016). «Ведущий член свободной энергии Янга-Миллса». Журнал функционального анализа . 271 (10): 2944–3005 . arXiv : 1602.01222 . doi : 10.1016/j.jfa.2016.04.032. S2CID  119135316.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Two-dimensional_Yang–Mills_theory&oldid=1263558551"