Двенадцатый корень из двух

Алгебраическое иррациональное число

Двенадцатый корень из двух или (или эквивалентно ) — алгебраическое иррациональное число , приблизительно равное 1,0594631. Оно наиболее важно в западной музыкальной теории , где оно представляет собой отношение частот ( музыкальный интервал ) полутона ( Play ⓘ ⁾ в двенадцатитонной равномерно темперированной системе . Это число было впервые предложено в связи с музыкальной настройкой в шестнадцатом и семнадцатом веках. Оно позволяет измерять и сравнивать различные интервалы (отношения частот), как состоящие из различных чисел одного интервала, равномерно темперированного полутона (например, малая терция составляет 3 полутона, большая терция составляет 4 полутона, а чистая квинта составляет 7 полутонов). ^[a] Сам полутон делится на 100 центов (1 цент = ). ${\sqrt[{12}]{2}}$ $2^{1/12}$ ${\sqrt[{1200}]{2}}=2^{1/1200}$

Числовое значение

Двенадцатый корень из двух до двадцати значащих цифр равен1,059 463 094 359 295 2646 . ^[2] Дробные приближения в порядке возрастания точности включают ⁠18/17⁠ , ⁠89/84⁠ , ⁠196/185⁠ , ⁠1657/1564⁠ , и ⁠18904/17843⁠ .

Равномерно темперированная хроматическая гамма

Музыкальный интервал — это соотношение частот, а равномерно темперированная хроматическая гамма делит октаву ⁽ которая имеет соотношение 2:1) на двенадцать равных частей. Каждая нота имеет частоту, которая в 2 ^1⁄12^раза больше частоты нижестоящей. ^[3]

Применяя это значение последовательно к тонам хроматической гаммы, начиная с ноты Ля выше средней ноты До (известной как Ля ₄ ) с частотой 440 Гц, получаем следующую последовательность тонов :

Примечание	Название стандартного интервала, относящегося к A 440	Частота (Гц)	Множитель	Коэффициент (до шести знаков после запятой)	Только интонационное соотношение	Разница (± центов )
А	Унисон	440.00	2 ⁰^⁄¹²	1.000 000	1	0
А ♯ /Б ♭	Малая секунда/Полтона/Полутона	466.16	2 ¹^⁄¹²	1.059 463	≈ 16 ⁄ 15	+11.73
Б	Большая секунда/Полный тон/Целый тон	493,88	2 ²^⁄¹²	1.122 462	≈ 9 ⁄ 8	−3,91
С	Малая терция	523.25	2 ³^⁄¹²	1.189 207	≈ 6 ⁄ 5	+15.64
С ♯ /Д ♭	Большая терция	554.37	2 ⁴^⁄¹²	1.259 921	≈ 5 ⁄ 4	−13,69
Д	Идеальная четвертая	587.33	2 ⁵^⁄¹²	1.334 839	≈ 4 ⁄ 3	−1,96
Д ♯ /Э ♭	Увеличенная кварта/Уменьшенная квинта/Тритон	622.25	2 ⁶^⁄¹²	1.414 213	≈ 7 ⁄ 5	+17.49
Э	Чистая квинта	659.26	2 ⁷^⁄¹²	1.498 307	≈ 3 ⁄ 2	+1.96
Ф	Малая секста	698.46	2 ⁸^⁄¹²	1.587 401	≈ 8 ⁄ 5	+13.69
Ф ♯ /Г ♭	Большая секста	739.99	2 ⁹^⁄¹²	1.681 792	≈ 5 ⁄ 3	−15,64
Г	Малая септаккорда	783.99	2 ¹⁰^⁄¹²	1.781 797	≈ 16 ⁄ 9	+3.91
С ♯ /А ♭	Большая септаккорда	830.61	2 ¹¹^⁄¹²	1.887 748	≈ 15 ⁄ 8	−11,73
А	Октава	880.00	2 ¹²^⁄¹²	2.000 000	2	0

Последняя нота Ля (Ля ₅ : 880 Гц) ровно в два раза выше нижней ноты Ля (Ля ₄ : 440 Гц), то есть на одну октаву выше.

Другие шкалы настройки

В других шкалах настройки используются немного иные соотношения интервалов:

Чистая или пифагорейская совершенная квинта равна 3/2, а разница между равномерно темперированной чистой квинтой и чистой квинтой составляет град , двенадцатый корень пифагорейской запятой ( ). ${\textstyle {\sqrt[{12}]{531441/524288}}}$
Равномерно темперированный строй Болена–Пирса использует интервал корня тринадцатой степени из трех ( ). ${\textstyle {\sqrt[{13}]{3}}}$
В своем произведении «Studie II» (1954) Штокхаузен использует корень двадцать пятой степени из пяти ( ), сложную большую терцию, разделенную на 5×5 частей. ${\textstyle {\sqrt[{25}]{5}}}$
Дельта-шкала основана на ≈ . ${\textstyle {\sqrt[{50}]{3/2}}}$
Гамма -шкала основана на ≈ . ${\textstyle {\sqrt[{20}]{3/2}}}$
Шкала бета основана на ≈ . ${\textstyle {\sqrt[{11}]{3/2}}}$
Альфа -шкала основана на ≈ . ${\textstyle {\sqrt[{9}]{3/2}}}$

Регулировка высоты тона

Поскольку отношение частот полутона близко к 106% ( ), увеличение или уменьшение скорости воспроизведения записи на 6% сместит высоту тона вверх или вниз примерно на один полутон, или «полтона». Высококлассные катушечные магнитофоны обычно имеют регулировку высоты тона до ±6%, обычно используемую для согласования высоты тона воспроизведения или записи с другими музыкальными источниками, имеющими немного иные настройки (или, возможно, записанными на оборудовании, которое работало не на совсем правильной скорости). Современные студии звукозаписи используют цифровое смещение высоты тона для достижения похожих результатов, варьирующихся от центов до нескольких полутонов. Регулировка катушечных магнитофонов также влияет на темп записанного звука, в то время как цифровое смещение не влияет. ${\textstyle 100{\sqrt[{12}]{2}}\приблизительно 105,946}$

История

Исторически это число было впервые предложено в отношении музыкальной настройки в 1580 году (черновик, переписано в 1610 году) Саймоном Стевином . ^[4] В 1581 году итальянский музыкант Винченцо Галилей, возможно, был первым европейцем, предложившим двенадцатитоновую равномерную темперацию. ^[1] Двенадцатый корень из двух был впервые вычислен в 1584 году китайским математиком и музыкантом Чжу Цзайюй с помощью счетов, чтобы точно достичь двадцати четырех знаков после запятой, ^[1] вычислен около 1605 года фламандским математиком Саймоном Стевином , ^[1] в 1636 году французским математиком Мареном Мерсенном и в 1691 году немецким музыкантом Андреасом Веркмейстером . ^[5]

Смотрите также

Примечания

^ "Наименьший интервал в равномерно темперированной гамме равен отношению , то есть , где отношение r делит отношение p (= 2/1 в октаве) на n равных частей." ^[1] $r^{n}=p$ $r={\sqrt[{n}]{p}}$

Ссылки

^ abcd Джозеф, Джордж Гевергезе (2010). Гребень павлина : неевропейские корни математики , стр. 294-5. Третье издание. Принстон. ISBN 9781400836369 .
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A010774 (Десятичное разложение корня 12-й степени из 2)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ "Равномерный темперамент | Определение и факты | Britannica". www.britannica.com . Получено 2024-06-03 .
^ Кристенсен, Томас (2002), Кембриджская история западной музыкальной теории, Cambridge University Press, стр. 205, ISBN 978-0521686983
^ Гудрич, Л. Каррингтон (2013). Краткая история китайского народа , ^{[без пагинации]} . Курьер. ISBN 9780486169231. Цитаты: Чжу Цай-юй (1584). Новые замечания по изучению резонансных труб .

Дальнейшее чтение

Барбур, Дж. М. (1933). «Китайское приближение шестнадцатого века для $числа π$ ». American Mathematical Monthly . 40 (2): 69–73 . doi :10.2307/2300937. JSTOR 2300937.
Эллис, Александр ; Гельмгольц, Герман (1954). Ощущения тона . Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4.
Партч, Гарри (1974). Генезис музыки . Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X.

[2] "Наименьший интервал в равномерно темперированной гамме равен отношению , то есть , где отношение r делит отношение p (= 2/1 в октаве) на n равных частей." ^[1] $r^{n}=p$ $r={\sqrt[{n}]{p}}$

[Crest-1] Джозеф, Джордж Гевергезе (2010). Гребень павлина : неевропейские корни математики , стр. 294-5. Третье издание. Принстон. ISBN 9781400836369 .

[3] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A010774 (Десятичное разложение корня 12-й степени из 2)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[4] "Равномерный темперамент | Определение и факты | Britannica". www.britannica.com . Получено 2024-06-03 .

[5] Кристенсен, Томас (2002), Кембриджская история западной музыкальной теории, Cambridge University Press, стр. 205, ISBN 978-0521686983

[6] Гудрич, Л. Каррингтон (2013). Краткая история китайского народа , ^{[без пагинации]} . Курьер. ISBN 9780486169231. Цитаты: Чжу Цай-юй (1584). Новые замечания по изучению резонансных труб .