Распределение Твиди
Семейство распределений вероятностей

В теории вероятности и статистики распределения Твиди представляют собой семейство распределений вероятностей , включающее в себя чисто непрерывное нормальное , гамма- и обратное гауссовское распределения, чисто дискретное масштабированное распределение Пуассона и класс составных распределений Пуассона–гамма , которые имеют положительную массу в нуле, но в остальном являются непрерывными. [1] Распределения Твиди являются частным случаем моделей экспоненциальной дисперсии и часто используются в качестве распределений для обобщенных линейных моделей . [2]

Распределения Твиди были названы Бентом Йоргенсеном в [3] в честь Мориса Твиди , [4] статистика и медицинского физика из Ливерпульского университета , Великобритания, который представил первое тщательное исследование этих распределений в 1982 году, когда проводилась конференция [1] . Примерно в то же время Бар-Лев и Энис опубликовали работы на ту же тему. [5] [6]

Определения

(Репродуктивные) распределения Твиди определяются как подсемейство (репродуктивных) моделей экспоненциальной дисперсии (ED) со специальным соотношением среднего и дисперсии . Случайная величина Y распределена Твиди Tw p (μ, σ 2 ) , если со средним , положительным параметром дисперсии и где называется параметром мощности Твиди. Распределение вероятностей P θ , σ 2 на измеримых множествах A , задается для некоторой σ-конечной меры ν λ . Это представление использует канонический параметр θ модели экспоненциальной дисперсии и кумулянтную функцию , где мы использовали , или эквивалентно . И ∼ Э Д ( μ , σ 2 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu,\sigma ^{2})} μ = Э ⁡ ( И ) {\displaystyle \mu =\operatorname {E} (Y)} σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} Var ⁡ ( Y ) = σ 2 μ p , {\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}\,\mu ^{p},} p ∈ R {\displaystyle p\in \mathbf {R} } P θ , σ 2 ( Y ∈ A ) = ∫ A exp ⁡ ( θ ⋅ z − κ p ( θ ) σ 2 ) ⋅ ν λ ( d z ) , {\displaystyle P_{\theta ,\sigma ^{2}}(Y\in A)=\int _{A}\exp \left({\frac {\theta \cdot z-\kappa _{p}(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\cdot \nu _{\lambda }\,(dz),} κ p ( θ ) = { α − 1 α ( θ α − 1 ) α , for  p ≠ 1 , 2 − log ⁡ ( − θ ) , for  p = 2 e θ , for  p = 1 {\displaystyle \kappa _{p}(\theta )={\begin{cases}{\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha },&{\text{for }}p\neq 1,2\\-\log(-\theta ),&{\text{for }}p=2\\e^{\theta },&{\text{for }}p=1\end{cases}}} α = p − 2 p − 1 {\displaystyle \alpha ={\frac {p-2}{p-1}}} p = α − 2 α − 1 {\displaystyle p={\frac {\alpha -2}{\alpha -1}}}

Характеристики

Аддитивные экспоненциальные дисперсионные модели

Описанные модели находятся в репродуктивной форме. Экспоненциальная дисперсионная модель всегда имеет дуальную: аддитивную форму. Если Y репродуктивна, то с находится в аддитивной форме ED * ( θ , λ ), для Tweedie Tw * p (μ, λ) . Аддитивные модели обладают тем свойством, что распределение суммы независимых случайных величин, для которых Z i  ~ ED * ( θ , λ i ) с фиксированным θ и различными λ, являются членами семейства распределений с тем же θ , Z = λ Y {\displaystyle Z=\lambda Y} λ = 1 σ 2 {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}} Z + = Z 1 + ⋯ + Z n , {\displaystyle Z_{+}=Z_{1}+\cdots +Z_{n},} Z + ∼ ED ∗ ⁡ ( θ , λ 1 + ⋯ + λ n ) . {\displaystyle Z_{+}\sim \operatorname {ED} ^{*}(\theta ,\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}).}

Модели репродуктивной экспоненциальной дисперсии

Существует второй класс моделей экспоненциальной дисперсии, обозначенный случайной величиной , где σ 2  = 1/ λ , известный как репродуктивные модели экспоненциальной дисперсии. Они обладают тем свойством, что для n независимых случайных величин Y i  ~ ED( μ , σ 2 / w i ), с весовыми коэффициентами w i и взвешенным средним переменных дает, Y = Z / λ ∼ ED ⁡ ( μ , σ 2 ) , {\displaystyle Y=Z/\lambda \sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}),} w = ∑ i = 1 n w i , {\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}w_{i},} w − 1 ∑ i = 1 n w i Y i ∼ ED ⁡ ( μ , σ 2 / w ) . {\displaystyle w^{-1}\sum _{i=1}^{n}w_{i}Y_{i}\sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}/w).}

Для репродуктивных моделей средневзвешенное значение независимых случайных величин с фиксированными μ и σ 2 и различными значениями w i является членом семейства распределений с теми же μ и σ 2 .

Модели экспоненциальной дисперсии Твиди являются как аддитивными, так и репродуктивными; таким образом, мы имеем преобразование дуальности Y ↦ Z = Y / σ 2 . {\displaystyle Y\mapsto Z=Y/\sigma ^{2}.}

Масштабная инвариантность

Третье свойство моделей Твиди заключается в том, что они масштабно инвариантны : для репродуктивной экспоненциальной дисперсионной модели Tw p (μ, σ 2 ) и любой положительной константы c мы имеем свойство замкнутости относительно масштабного преобразования, c Tw p ⁡ ( μ , σ 2 ) = Tw p ⁡ ( c μ , c 2 − p σ 2 ) . {\displaystyle c\operatorname {Tw} _{p}(\mu ,\sigma ^{2})=\operatorname {Tw} _{p}(c\mu ,c^{2-p}\sigma ^{2}).}

Функция дисперсии мощности Твиди

Для определения функции дисперсии для моделей экспоненциального рассеивания мы используем отображение среднего значения, связь между каноническим параметром θ и средним значением μ . Она определяется функцией с кумулятивной функцией . Функция дисперсии V ( μ ) строится из отображения среднего значения, τ ( θ ) = κ ′ ( θ ) = μ . {\displaystyle \tau (\theta )=\kappa ^{\prime }(\theta )=\mu .} κ ( θ ) {\displaystyle \kappa (\theta )} V ( μ ) = τ ′ [ τ − 1 ( μ ) ] . {\displaystyle V(\mu )=\tau ^{\prime }[\tau ^{-1}(\mu )].}

Здесь отрицательный показатель степени в τ −1 ( μ ) обозначает обратную функцию, а не обратную. Среднее значение и дисперсия аддитивной случайной величины тогда равны E( Z ) = λμ и var( Z ) = λV ( μ ) .

Масштабная инвариантность подразумевает, что функция дисперсии подчиняется соотношению V ( μ ) = μ p . [2]

Отклонение от нормы Твиди

Единичное отклонение репродуктивного распределения Твиди определяется по формуле d ( y , μ ) = { ( y − μ ) 2 , for  p = 0 2 ( y log ⁡ ( y / μ ) + μ − y ) , for  p = 1 2 ( log ⁡ ( μ / y ) + y / μ − 1 ) , for  p = 2 2 ( max ( y , 0 ) 2 − p ( 1 − p ) ( 2 − p ) − y μ 1 − p 1 − p + μ 2 − p 2 − p ) , else {\displaystyle d(y,\mu )={\begin{cases}(y-\mu )^{2},&{\text{for }}p=0\\2(y\log(y/\mu )+\mu -y),&{\text{for }}p=1\\2(\log(\mu /y)+y/\mu -1),&{\text{for }}p=2\\2\left({\frac {\max(y,0)^{2-p}}{(1-p)(2-p)}}-{\frac {y\mu ^{1-p}}{1-p}}+{\frac {\mu ^{2-p}}{2-p}}\right),&{\text{else}}\end{cases}}}

Функции генерации кумулянтов Твиди

Свойства моделей экспоненциальной дисперсии дают нам два дифференциальных уравнения . [2] Первое связывает отображение среднего значения и функцию дисперсии друг с другом, ∂ τ − 1 ( μ ) ∂ μ = 1 V ( μ ) . {\displaystyle {\frac {\partial \tau ^{-1}(\mu )}{\partial \mu }}={\frac {1}{V(\mu )}}.}

Во втором случае показано, как отображение среднего значения связано с кумулянтной функцией , ∂ κ ( θ ) ∂ θ = τ ( θ ) . {\displaystyle {\frac {\partial \kappa (\theta )}{\partial \theta }}=\tau (\theta ).}

Эти уравнения можно решить, чтобы получить кумулянтную функцию для различных случаев моделей Твиди. Затем из кумулянтной функции можно получить кумулянтную производящую функцию (CGF). Аддитивная CGF обычно задается уравнением , а репродуктивная CGF — где s — переменная производящей функции. K ∗ ( s ) = log ⁡ [ E ⁡ ( e s Z ) ] = λ [ κ ( θ + s ) − κ ( θ ) ] , {\displaystyle K^{*}(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sZ})]=\lambda [\kappa (\theta +s)-\kappa (\theta )],} K ( s ) = log ⁡ [ E ⁡ ( e s Y ) ] = λ [ κ ( θ + s / λ ) − κ ( θ ) ] , {\displaystyle K(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sY})]=\lambda [\kappa (\theta +s/\lambda )-\kappa (\theta )],}

Для аддитивных моделей Твиди CGF принимают форму, а для репродуктивных моделей: K p ∗ ( s ; θ , λ ) = { λ κ p ( θ ) [ ( 1 + s / θ ) α − 1 ] p ≠ 1 , 2 , − λ log ⁡ ( 1 + s / θ ) p = 2 , λ e θ ( e s − 1 ) p = 1 , {\displaystyle K_{p}^{*}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )[(1+s/\theta )^{\alpha }-1]&\quad p\neq 1,2,\\-\lambda \log(1+s/\theta )&\quad p=2,\\\lambda e^{\theta }(e^{s}-1)&\quad p=1,\end{cases}}} K p ( s ; θ , λ ) = { λ κ p ( θ ) { [ 1 + s / ( θ λ ) ] α − 1 } p ≠ 1 , 2 , − λ log ⁡ [ 1 + s / ( θ λ ) ] p = 2 , λ e θ ( e s / λ − 1 ) p = 1. {\displaystyle K_{p}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )\left\{\left[1+s/(\theta \lambda )\right]^{\alpha }-1\right\}&\quad p\neq 1,2,\\[1ex]-\lambda \log[1+s/(\theta \lambda )]&\quad p=2,\\[1ex]\lambda e^{\theta }\left(e^{s/\lambda }-1\right)&\quad p=1.\end{cases}}}

Аддитивную и репродуктивную модели Твиди условно обозначают символами Tw * p ( θ , λ ) и Tw p ( θ , σ 2 ) соответственно.

Первая и вторая производные CGF при s  = 0 дают среднее значение и дисперсию соответственно. Таким образом, можно подтвердить, что для аддитивных моделей дисперсия связана со средним значением степенным законом, v a r ( Z ) ∝ E ( Z ) p . {\displaystyle \mathrm {var} (Z)\propto \mathrm {E} (Z)^{p}.}

Теорема сходимости Твиди

Модели экспоненциальной дисперсии Твиди являются фундаментальными в статистической теории вследствие их роли в качестве фокусов сходимости для широкого спектра статистических процессов. Йоргенсен и др. доказали теорему, которая определяет асимптотическое поведение функций дисперсии, известную как теорема о сходимости Твиди . [7] Эта теорема, в технических терминах, формулируется следующим образом: [2] Единичная функция дисперсии является регулярной порядка p в нуле (или бесконечности) при условии, что V ( μ ) ~ c 0 μ p для μ по мере того, как она стремится к нулю (или бесконечности) для всех действительных значений p и c 0  > 0. Тогда для единичной функции дисперсии регулярной порядка p либо в нуле, либо в бесконечности и для для любого , и мы имеем как или , соответственно, где сходимость достигается через значения c такие, что cμ находится в области θ и c p −2 / σ 2 находится в области λ . Модель должна быть бесконечно делимой, поскольку c 2− p стремится к бесконечности. [2] p ∉ ( 0 , 1 ) , {\displaystyle p\notin (0,1),} μ > 0 {\displaystyle \mu >0} σ 2 > 0 {\displaystyle \sigma ^{2}>0} c − 1 ED ⁡ ( c μ , σ 2 c 2 − p ) → T w p ( μ , c 0 σ 2 ) {\displaystyle c^{-1}\operatorname {ED} (c\mu ,\sigma ^{2}c^{2-p})\rightarrow Tw_{p}(\mu ,c_{0}\sigma ^{2})} c ↓ 0 {\displaystyle c\downarrow 0} c → ∞ {\displaystyle c\rightarrow \infty }

В нетехнических терминах эта теорема подразумевает, что любая модель экспоненциальной дисперсии, которая асимптотически демонстрирует степенной закон дисперсии к среднему, должна иметь функцию дисперсии, которая попадает в область притяжения модели Твиди. Почти все функции распределения с конечными кумулянтными генерирующими функциями квалифицируются как модели экспоненциальной дисперсии, и большинство моделей экспоненциальной дисперсии демонстрируют функции дисперсии этой формы. Следовательно, многие распределения вероятностей имеют функции дисперсии, которые выражают это асимптотическое поведение, и распределения Твиди становятся фокусами сходимости для широкого диапазона типов данных. [8]

Распределения Твиди включают в себя ряд знакомых распределений, а также некоторые необычные, каждое из которых определяется доменом индексного параметра. У нас есть

Для 0 <  p  < 1 не существует модели Твиди. Обратите внимание, что все стабильные распределения означают фактически сгенерированные стабильными распределениями .

Возникновение и применение

Модели Твиди и степенной закон Тейлора

Закон Тейлора — эмпирический закон в экологии , который связывает дисперсию числа особей вида на единицу площади среды обитания с соответствующим средним значением степенным соотношением . [9] Для численности популяции Y со средним значением μ и дисперсией var( Y ) закон Тейлора записывается так, где a и p — положительные константы. С тех пор как Л. Р. Тейлор описал этот закон в 1961 году, было предложено много различных объяснений, чтобы объяснить его, начиная от поведения животных, [9] модели случайного блуждания , [10] стохастической модели рождения, смерти, иммиграции и эмиграции , [11] до следствия равновесной и неравновесной статистической механики . [12] Не существует единого мнения относительно объяснения этой модели. var ⁡ ( Y ) = a μ p , {\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\mu ^{p},}

Поскольку закон Тейлора математически идентичен степенному закону дисперсии к среднему, который характеризует модели Твиди, казалось разумным использовать эти модели и теорему о сходимости Твиди для объяснения наблюдаемой кластеризации животных и растений, связанной с законом Тейлора. [13] [14] Большинство наблюдаемых значений для показателя степенного закона p попали в интервал (1,2), и поэтому составное распределение Пуассона–гамма Твиди, по-видимому, применимо. Сравнение эмпирической функции распределения с теоретическим составным распределением Пуассона–гамма предоставило средство для проверки согласованности этой гипотезы. [13]

В то время как обычные модели для закона Тейлора, как правило, включают в себя предположения о поведении животных или динамике популяции ad hoc , теорема о сходимости Твиди подразумевает, что закон Тейлора является результатом общего математического эффекта сходимости, во многом похожего на то, как центральная предельная теорема управляет поведением сходимости определенных типов случайных данных. Действительно, любая математическая модель, приближение или симуляция, разработанная для получения закона Тейлора (на основе этой теоремы), должна сходиться к форме моделей Твиди. [8]

Конвергенция Твиди и 1/фшум

Розовый шум , или шум 1/ f , относится к модели шума, характеризующейся степенной зависимостью между его интенсивностями S ( f ) на разных частотах f , где безразмерный показатель γ ∈ [0,1]. Он встречается в разнообразном количестве естественных процессов. [15] Существует много различных объяснений шума 1/ f , широко распространенная гипотеза основана на самоорганизованной критичности , когда динамические системы, близкие к критической точке, как полагают, проявляют масштабно-инвариантное пространственное и/или временное поведение. S ( f ) ∝ 1 f γ , {\displaystyle S(f)\propto {\frac {1}{f^{\gamma }}},}

В этом подразделе будет описана математическая связь между шумом 1/ f и законом дисперсии к среднему значению Твиди. Для начала нам сначала нужно ввести самоподобные процессы : для последовательности чисел со средним отклонением дисперсии и функцией автокорреляции с задержкой k , если автокорреляция этой последовательности имеет поведение в дальнем диапазоне при k →∞ и где L ( k ) является медленно меняющейся функцией при больших значениях k , эта последовательность называется самоподобным процессом. [16] Y = ( Y i : i = 0 , 1 , 2 , … , N ) {\displaystyle Y=(Y_{i}:i=0,1,2,\ldots ,N)} μ ^ = E ⁡ ( Y i ) , {\displaystyle {\widehat {\mu }}=\operatorname {E} (Y_{i}),} y i = Y i − μ ^ , {\displaystyle y_{i}=Y_{i}-{\widehat {\mu }},} σ ^ 2 = E ⁡ ( y i 2 ) , {\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\operatorname {E} (y_{i}^{2}),} r ( k ) = E ⁡ ( y i , y i + k ) E ⁡ ( y i 2 ) {\displaystyle r(k)={\frac {\operatorname {E} (y_{i},y_{i+k})}{\operatorname {E} (y_{i}^{2})}}} r ( k ) ∼ k − d L ( k ) {\displaystyle r(k)\sim k^{-d}L(k)}

Метод расширения бинов может быть использован для анализа самоподобных процессов. Рассмотрим набор неперекрывающихся бинов одинакового размера, который делит исходную последовательность из N элементов на группы из m сегментов одинакового размера ( N/m — целое число), так что можно определить новые репродуктивные последовательности на основе средних значений: Y i ( m ) = ( Y i m − m + 1 + ⋯ + Y i m ) / m . {\displaystyle Y_{i}^{(m)}=\left(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}\right)/m.}

Дисперсия, определенная из этой последовательности, будет масштабироваться по мере изменения размера ячейки, так что тогда и только тогда, когда автокорреляция имеет предельную форму [17] var ⁡ [ Y ( m ) ] = σ ^ 2 m − d {\displaystyle \operatorname {var} [Y^{(m)}]={\widehat {\sigma }}^{2}m^{-d}} lim k → ∞ r ( k ) / k − d = ( 2 − d ) ( 1 − d ) / 2. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }r(k)/k^{-d}=(2-d)(1-d)/2.}

Можно также построить набор соответствующих аддитивных последовательностей на основе расширяющихся ячеек, Z i ( m ) = m Y i ( m ) , {\displaystyle Z_{i}^{(m)}=mY_{i}^{(m)},} Z i ( m ) = ( Y i m − m + 1 + ⋯ + Y i m ) . {\displaystyle Z_{i}^{(m)}=(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}).}

При условии, что функция автокорреляции демонстрирует такое же поведение, аддитивные последовательности будут подчиняться соотношению var ⁡ [ Z i ( m ) ] = m 2 var ⁡ [ Y ( m ) ] = ( σ ^ 2 μ ^ 2 − d ) E ⁡ [ Z i ( m ) ] 2 − d {\displaystyle \operatorname {var} [Z_{i}^{(m)}]=m^{2}\operatorname {var} [Y^{(m)}]=\left({\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\widehat {\mu }}^{2-d}}}\right)\operatorname {E} [Z_{i}^{(m)}]^{2-d}}

Поскольку и являются константами, эта связь представляет собой степенной закон дисперсии к среднему, где p  = 2 -  d . [8] [18] μ ^ {\displaystyle {\widehat {\mu }}} σ ^ 2 {\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}

Двуусловное отношение выше между законом дисперсии к среднему и функцией автокорреляции степенного закона, а также теорема Винера–Хинчина [19] подразумевают, что любая последовательность, которая демонстрирует закон дисперсии к среднему по методу расширения бинов, также проявит шум 1/ f , и наоборот. Более того, теорема сходимости Твиди в силу своего центрального предельного эффекта генерации распределений, которые проявляют функции дисперсии к среднему, также будет генерировать процессы, которые проявляют шум 1/ f . [8] Таким образом, теорема сходимости Твиди дает альтернативное объяснение происхождения шума 1/ f , основанное на его центральном предельном эффекте.

Подобно тому, как центральная предельная теорема требует, чтобы определенные виды случайных процессов имели в качестве фокуса своей сходимости распределение Гаусса и, таким образом, выражали белый шум , теорема о сходимости Твиди требует, чтобы определенные негауссовские процессы имели в качестве фокуса своей сходимости распределения Твиди, которые выражают шум 1/ f . [8]

Модели Твиди и мультифрактальность

Из свойств самоподобных процессов показатель степени p  = 2 -  d связан с показателем Херста H и фрактальной размерностью D соотношением [17] D = 2 − H = 2 − p / 2. {\displaystyle D=2-H=2-p/2.}

Одномерная последовательность данных самоподобных данных может демонстрировать степенной закон дисперсии к среднему с локальными вариациями в значении p и, следовательно, в значении D. Когда фрактальные структуры проявляют локальные вариации в фрактальной размерности, они называются мультифракталами . Примерами последовательностей данных, которые демонстрируют локальные вариации в p , как это, являются отклонения собственных значений гауссовых ортогональных и унитарных ансамблей . [8] Составное распределение Пуассона-гамма Твиди служило для моделирования мультифрактальности на основе локальных вариаций в показателе Твиди α . Следовательно, в сочетании с вариацией α , теорему о сходимости Твиди можно рассматривать как играющую роль в генезисе таких мультифракталов.

Было обнаружено, что вариация α в некоторых случаях подчиняется асимметричному распределению Лапласа . [20] Было показано, что это распределение является членом семейства геометрических моделей Твиди, [21] которые проявляются как предельные распределения в теореме о сходимости для геометрических дисперсионных моделей.

Регионарный органный кровоток

Региональный кровоток органов традиционно оценивался путем инъекции радиоактивно меченых полиэтиленовых микросфер в артериальное кровообращение животных, такого размера, чтобы они попадали в микроциркуляцию органов . Затем оцениваемый орган делится на равные по размеру кубы, и количество радиоактивной метки в каждом кубе оценивается с помощью жидкостного сцинтилляционного подсчета и регистрируется. Количество радиоактивности в каждом кубе принимается для отражения кровотока через этот образец во время инъекции. Можно оценить соседние кубы из органа, чтобы аддитивно определить кровоток через более крупные области. Благодаря работе Дж. Б. Бассингтуэйта и других был выведен эмпирический степенной закон между относительной дисперсией кровотока образцов тканей ( RD  = стандартное отклонение/среднее) массы m относительно образцов референтного размера: [22] R D ( m ) = R D ( m ref ) ( m m ref ) 1 − D s {\displaystyle RD(m)=RD(m_{\text{ref}})\left({\frac {m}{m_{\text{ref}}}}\right)^{1-D_{s}}}

Этот показатель степени D s был назван фрактальной размерностью. Можно показать, что степенной закон Бассингтуэйта напрямую связан с степенным законом дисперсии к среднему. Таким образом, региональный кровоток в органе может быть смоделирован с помощью распределения Пуассона–гамма Твиди. [23] В этой модели образец ткани можно рассматривать как содержащий случайное (Пуассоновское) распределенное число участков захвата, каждое с гамма-распределенным кровотоком. Было обнаружено, что кровоток на этом микроциркуляторном уровне подчиняется гамма-распределению, [24] таким образом подтверждая эту гипотезу.

Метастазы рака

«Экспериментальный анализ метастазов рака » [25] имеет некоторое сходство с вышеописанным методом измерения регионального кровотока. Группам сингенных и подобранных по возрасту мышей внутривенно вводят равные по размеру аликвоты суспензий клонированных раковых клеток, а затем по истечении определенного периода времени их легкие удаляют, и подсчитывают количество метастазов рака в каждой паре легких. Если другим группам мышей вводят другие клоны раковых клеток , то количество метастазов в каждой группе будет отличаться в соответствии с метастатическим потенциалом клонов. Давно признано, что может быть значительная внутриклоновая вариация в количестве метастазов на мышь, несмотря на все попытки сохранить единообразие экспериментальных условий в каждой клональной группе. [25] Эта вариация больше, чем можно было бы ожидать на основе распределения Пуассона количества метастазов на мышь в каждом клоне, и когда дисперсия количества метастазов на мышь была построена против соответствующего среднего, был обнаружен степенной закон. [26]

Было обнаружено, что закон дисперсии к среднему для метастазов также справедлив для спонтанных метастазов у ​​мышей [27] и для серии случаев метастазов у ​​людей. [28] Поскольку гематогенное метастазирование происходит в прямой зависимости от регионального кровотока [29] , а видеомикроскопические исследования показывают, что прохождение и захват раковых клеток в кровотоке, по-видимому, аналогичны экспериментам с микросферами [30], казалось правдоподобным предположить, что изменение количества гематогенных метастазов может отражать гетерогенность регионального кровотока в органах. [31] Модель кровотока была основана на распределении Пуассона-гамма Твиди, распределении, управляющем непрерывной случайной величиной. По этой причине в модели метастазов предполагалось, что кровоток регулируется этим распределением и что количество региональных метастазов происходит как процесс Пуассона , для которого интенсивность прямо пропорциональна кровотоку. Это привело к описанию отрицательного биномиального распределения Пуассона (PNB) как дискретного эквивалента сложного распределения Пуассона–гамма Твиди. Функция генерации вероятности для распределения PNB имеет вид G ( s ) = exp ⁡ [ λ α − 1 α ( θ α − 1 ) α { ( 1 − 1 θ + s θ ) α − 1 } ] {\displaystyle G(s)=\exp \left[\lambda {\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha }\left\{\left(1-{\frac {1}{\theta }}+{\frac {s}{\theta }}\right)^{\alpha }-1\right\}\right]}

Тогда соотношение между средним значением и дисперсией распределения PNB будет таким, что в диапазоне многих экспериментальных анализов метастазов будет неотличимо от степенного закона дисперсии к среднему. Однако для разреженных данных это дискретное соотношение дисперсии к среднему будет вести себя скорее как распределение Пуассона, где дисперсия равна среднему. var ⁡ ( Y ) = a E ⁡ ( Y ) b + E ⁡ ( Y ) , {\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\operatorname {E} (Y)^{b}+\operatorname {E} (Y),}

Геномная структура и эволюция

Локальная плотность однонуклеотидных полиморфизмов (SNP) в геноме человека , а также плотность генов , по-видимому, кластеризуется в соответствии с законом дисперсии к среднему значению и распределением Пуассона-гамма Твиди. [32] [33] В случае SNP их наблюдаемая плотность отражает методы оценки, доступность геномных последовательностей для анализа и гетерозиготность нуклеотидов . [34] Первые два фактора отражают ошибки определения, присущие методам сбора данных, последний фактор отражает внутреннее свойство генома.

В коалесцентной модели популяционной генетики каждый генетический локус имеет свою собственную уникальную историю. В эволюции популяции некоторых видов некоторые генетические локусы предположительно можно проследить до относительно недавнего общего предка, тогда как другие локусы могут иметь более древние генеалогии . Более древние геномные сегменты имели бы больше времени для накопления SNP и рекомбинации . RR Hudson предложил модель, в которой рекомбинация могла бы вызывать вариации во времени до наиболее общего недавнего предка для различных геномных сегментов. [35] Высокая скорость рекомбинации может привести к тому, что хромосома будет содержать большое количество небольших сегментов с менее коррелированными генеалогиями.

Предполагая постоянную фоновую скорость мутации, число SNP на геномный сегмент будет накапливаться пропорционально времени до самого последнего общего предка. Текущая популяционная генетическая теория указывает на то, что эти времена будут гамма-распределены , в среднем. [36] Составное распределение Пуассона-гамма Твиди предполагает модель, в которой карта SNP будет состоять из нескольких небольших геномных сегментов со средним числом SNP на сегмент, которое будет гамма-распределено в соответствии с моделью Хадсона.

Распределение генов в геноме человека также продемонстрировало степенной закон дисперсии к среднему значению, когда метод расширения бинов использовался для определения соответствующих дисперсий и средних значений. [33] Аналогичным образом было обнаружено, что количество генов на счетный бин подчиняется составному распределению Пуассона–гамма Твиди. Это распределение вероятностей считалось совместимым с двумя различными биологическими моделями: моделью микрорасположения , где количество генов на единицу длины генома определялось суммой случайного числа меньших геномных сегментов, полученных путем случайного разрыва и реконструкции протохормосом. Эти меньшие сегменты, как предполагалось, несут в среднем гамма-распределенное количество генов.

В альтернативной модели кластера генов гены будут распределены случайным образом внутри протохромосом. В течение больших эволюционных временных масштабов будут происходить тандемные дупликации , мутации, вставки, делеции и перестройки , которые могут влиять на гены через стохастический процесс рождения, смерти и иммиграции, чтобы дать составное распределение Пуассона-гамма Твиди.

Оба эти механизма предполагают нейтральные эволюционные процессы , которые приводят к региональной кластеризации генов.

Теория случайных матриц

Гауссовский унитарный ансамбль (GUE) состоит из комплексных эрмитовых матриц , которые инвариантны относительно унитарных преобразований , тогда как гауссовский ортогональный ансамбль (GOE) состоит из действительных симметричных матриц, инвариантных относительно ортогональных преобразований . Ранжированные собственные значения E n из этих случайных матриц подчиняются полукруговому распределению Вигнера : для матрицы N × N средняя плотность собственных значений размера E будет при E → ∞ . Интеграция полукругового правила дает число собственных значений в среднем меньше E , ρ ¯ ( E ) = { 2 N − E 2 / π | E | < 2 N 0 | E | > 2 N {\displaystyle {\bar {\rho }}(E)={\begin{cases}{\sqrt {2N-E^{2}}}/\pi &\quad \left\vert E\right\vert <{\sqrt {2N}}\\0&\quad \left\vert E\right\vert >{\sqrt {2N}}\end{cases}}} η ¯ ( E ) = 1 2 π [ E 2 N − E 2 + 2 N arcsin ⁡ ( E 2 N ) + π N ] . {\displaystyle {\bar {\eta }}(E)={\frac {1}{2\pi }}\left[E{\sqrt {2N-E^{2}}}+2N\arcsin \left({\frac {E}{\sqrt {2N}}}\right)+\pi N\right].}

Ранжированные собственные значения можно развернуть или перенормировать с помощью уравнения e n = η ¯ ( E ) = ∫ − ∞ E n d E ′ ρ ¯ ( E ′ ) . {\displaystyle e_{n}={\bar {\eta }}(E)=\int _{-\infty }^{E_{n}}\,dE'{\bar {\rho }}(E').}

Это удаляет тенденцию последовательности из флуктуирующей части. Если мы посмотрим на абсолютное значение разницы между фактическим и ожидаемым кумулятивным числом собственных значений, мы получим последовательность флуктуаций собственных значений , которая, используя метод расширения бинов, выявляет степенной закон дисперсии к среднему. [8] Флуктуации собственных значений как GUE, так и GOE проявляют этот степенной закон с показателями степенного закона в диапазоне от 1 до 2, и они аналогично проявляют спектры шума 1/ f . Эти флуктуации собственных значений также соответствуют составному распределению Пуассона–гамма Твиди и демонстрируют мультифрактальность. [8] | D ¯ n | = | n − η ¯ ( E n ) | {\displaystyle \left|{\bar {D}}_{n}\right|=\left|n-{\bar {\eta }}(E_{n})\right|}

Распределениепростые числа

Вторая функция Чебышева ψ ( x ) задается как, где суммирование распространяется на все простые степени, не превышающие  x , x пробегает положительные действительные числа, и является функцией фон Мангольдта . Функция ψ ( x ) связана с функцией подсчета простых чисел π ( x ) и как таковая предоставляет информацию относительно распределения простых чисел среди действительных чисел. Она асимптотическая к  x , утверждение эквивалентно теореме о простых числах , и можно также показать, что она связана с нулями дзета- функции Римана, расположенными на критической полосе ρ , где действительная часть нуля дзета ρ находится между 0 и 1. Тогда ψ, выраженная для x больше единицы, может быть записана: где ψ ( x ) = ∑ p ^ k ≤ x log ⁡ p ^ = ∑ n ≤ x Λ ( n ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{{\widehat {p\,}}^{k}\leq x}\log {\widehat {p\,}}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)} p ^ k {\displaystyle {\widehat {p\,}}^{k}} Λ ( n ) {\displaystyle \Lambda (n)} ψ 0 ( x ) = x − ∑ ρ x ρ ρ − ln ⁡ 2 π − 1 2 ln ⁡ ( 1 − x − 2 ) {\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})} ψ 0 ( x ) = lim ε → 0 ψ ( x − ε ) + ψ ( x + ε ) 2 . {\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета- функции Римана имеют действительную часть 1 ⁄ 2 . Эти нули дзета-функции связаны с распределением простых чисел . Шенфельд [37] показал, что если гипотеза Римана верна, то для всех . Если мы проанализируем отклонения Чебышева Δ( n ) для целых чисел n с использованием метода расширения интервалов и построим график зависимости дисперсии от среднего значения, то можно продемонстрировать степенной закон дисперсии от среднего. [ необходима цитата ] Более того, эти отклонения соответствуют сложному распределению Пуассона-гамма Твиди и демонстрируют шум 1/ f . Δ ( x ) = | ψ ( x ) − x | < x log 2 ⁡ ( x ) / ( 8 π ) {\displaystyle \Delta (x)=\left\vert \psi (x)-x\right\vert <{\sqrt {x}}\log ^{2}(x)/(8\pi )} x > 73.2 {\displaystyle x>73.2}

Другие приложения

Приложения распределений Tweedie включают в себя:

  • актуарные исследования [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44]
  • анализ пробы [45] [46]
  • анализ выживаемости [47] [48] [49]
  • экология [13]
  • анализ потребления алкоголя среди британских подростков [50]
  • медицинские применения [51]
  • экономика здравоохранения [52]
  • метеорология и климатология [51] [53]
  • рыболовство [54]
  • Функция Мертенса [55]
  • самоорганизованная критичность [56]

Ссылки

  1. ^ ab Tweedie, MCK (1984). «Индекс, который различает некоторые важные экспоненциальные семейства». В Ghosh, JK; Roy, J (ред.). Статистика: приложения и новые направления . Труды Международной конференции Золотого юбилея Индийского статистического института. Калькутта: Индийский статистический институт. стр.  579–604 . MR  0786162.
  2. ^ abcde Йоргенсен, Бент (1997). Теория дисперсионных моделей . Чапман и Холл. ISBN 978-0412997112.
  3. ^ Йоргенсен, Б. (1987). «Модели экспоненциального рассеивания». Журнал Королевского статистического общества, Серия B. 49 ( 2): 127–162 . JSTOR  2345415.
  4. ^ Смит, CAB (1997). «Некролог: Морис Чарльз Кеннет Твиди, 1919–96». Журнал Королевского статистического общества, серия A. 160 ( 1): 151– 154. doi : 10.1111/1467-985X.00052 .
  5. ^ Бар-Лев, СК; Энис, П. (1985). «Воспроизводимость в однопараметрическом экспоненциальном семействе». Метрика . 32 (1): 391– 394. doi :10.1007/BF01897827.
  6. ^ Бар-Лев, Шалл.К.; Энис, Питер (1986). «Воспроизводимость и естественные экспоненциальные семейства с функциями дисперсии мощности». Анналы статистики . 14 (4): 1507– 1522. doi : 10.1214/aos/1176350173 .
  7. ^ Йоргенсен, Б.; Мартинес, Дж. Р.; Цао, М. (1994). «Асимптотическое поведение функции дисперсии». Scandinavian Journal of Statistics . 21 : 223–243 .
  8. ^ abcdefgh Кендал, WS; Йоргенсен, Б. (2011). "Сходимость Твиди: математическая основа степенного закона Тейлора, шума 1/f и мультифрактальности". Physical Review E. 84 ( 6): 066120. Bibcode : 2011PhRvE..84f6120K. doi : 10.1103/PhysRevE.84.066120. PMID  22304168.
  9. ^ ab Taylor, LR (1961). «Агрегация, дисперсия и среднее». Nature . 189 (4766): 732– 735. Bibcode :1961Natur.189..732T. doi :10.1038/189732a0. S2CID  4263093.
  10. ^ Хански, И (1980). «Пространственные закономерности и движения у жуков-копрофагов». Oikos . 34 (3): 293–310 . Bibcode : 1980Oikos..34..293H. doi : 10.2307/3544289. JSTOR  3544289.
  11. ^ Андерсон, RD; Кроули, GM; Хассел, M (1982). «Изменчивость численности видов животных и растений». Nature . 296 (5854): 245– 248. Bibcode :1982Natur.296..245A. doi :10.1038/296245a0. S2CID  4272853.
  12. ^ Fronczak, A; Fronczak, P (2010). "Истоки степенного закона Тейлора для масштабирования флуктуаций в сложных системах". Phys Rev E. 81 ( 6): 066112. arXiv : 0909.1896 . Bibcode : 2010PhRvE..81f6112F. doi : 10.1103/physreve.81.066112. PMID  20866483. S2CID  17435198.
  13. ^ abc Kendal, WS (2002). "Пространственная агрегация колорадского жука, описанная экспоненциальной моделью дисперсии". Экологическое моделирование . 151 ( 2– 3): 261– 269. doi :10.1016/s0304-3800(01)00494-x.
  14. ^ Кендал, WS (2004). «Экологический степенной закон Тейлора как следствие масштабно-инвариантных моделей экспоненциальной дисперсии». Ecol Complex . 1 (3): 193–209 . doi :10.1016/j.ecocom.2004.05.001.
  15. ^ Dutta, P; Horn, PM (1981). "Низкочастотные флуктуации в твердых телах: 1/ f -шум". Rev Mod Phys . 53 (3): 497– 516. Bibcode :1981RvMP...53..497D. doi :10.1103/revmodphys.53.497.
  16. ^ Leland, WE; Taqqu, MS; Willinger, W; Wilson, DV (1994). «О самоподобной природе трафика Ethernet (Расширенная версия)». IEEE/ACM Transactions on Networking . 2 : 1– 15. doi :10.1109/90.282603. S2CID  6011907.
  17. ^ ab Tsybakov, B; Georganas, ND (1997). «О самоподобном трафике в очередях ATM: определения, граница вероятности переполнения и распределение задержки ячеек». IEEE/ACM Transactions on Networking . 5 (3): 397– 409. CiteSeerX 10.1.1.53.5040 . doi :10.1109/90.611104. S2CID  2205855. 
  18. ^ Кендал, WS (2007). «Масштабно-инвариантные корреляции между генами и однонуклеотидными полиморфизмами на хромосоме 1 человека раскрывают потенциальные эволюционные механизмы». J Theor Biol . 245 (2): 329– 340. Bibcode : 2007JThBi.245..329K. doi : 10.1016/j.jtbi.2006.10.010. PMID  17137602.
  19. ^ Маккуорри ДА (1976) Статистическая механика [Харпер и Роу]
  20. ^ Кендал, WS (2014). «Мультифрактальность, приписываемая эффектам двойной центральной предельной сходимости». Physica A. 401 : 22–33 . Bibcode : 2014PhyA..401...22K. doi : 10.1016/j.physa.2014.01.022.
  21. ^ Йоргенсен, Б; Коконенджи, CC (2011). «Модели дисперсии геометрических сумм». Браз Дж. Пробаб Стат . 25 (3): 263–293 . doi : 10.1214/10-bjps136 .
  22. ^ Bassingthwaighte, JB (1989). «Фрактальная природа региональной гетерогенности миокардиального кровотока». Circ Res . 65 (3): 578– 590. doi :10.1161/01.res.65.3.578. PMC 3361973. PMID  2766485 . 
  23. ^ Кендал, WS (2001). «Стохастическая модель для самоподобной гетерогенности регионального кровотока органов». Proc Natl Acad Sci USA . 98 (3): 837– 841. Bibcode : 2001PNAS...98..837K. doi : 10.1073 /pnas.98.3.837 . PMC 14670. PMID  11158557. 
  24. ^ Хониг, CR; Фельдштейн, ML; Фриерсон, JL (1977). «Длина капилляров, анастомозы и предполагаемое время капиллярного транзита в скелетных мышцах». Am J Physiol Heart Circ Physiol . 233 (1): H122 – H129 . doi :10.1152/ajpheart.1977.233.1.h122. PMID  879328.
  25. ^ ab Fidler, IJ; Kripke, M (1977). «Метастазирование происходит из-за уже существующих вариантных клеток в злокачественной опухоли». Science . 197 (4306): 893– 895. Bibcode :1977Sci...197..893F. doi :10.1126/science.887927. PMID  887927.
  26. ^ Кендал, WS; Фрост, P (1987). «Экспериментальное метастазирование: новое применение функции дисперсии к среднему». J Natl Cancer Inst . 79 (5): 1113– 1115. doi :10.1093/jnci/79.5.1113. PMID  3479636.
  27. ^ Кендал, WS (1999). «Кластеризация метастазов в легких у мышей отражает фрактальную неоднородность регионального легочного кровотока». Вторжение и метастазы . 18 ( 5– 6): 285– 296. doi : 10.1159/000024521. PMID  10729773. S2CID  46835513.
  28. ^ Кендал, WS; Лагерваард, FJ; Агбула, O (2000). «Характеристика распределения частот гематогенных метастазов у ​​человека: доказательства кластеризации и функции дисперсии мощности». Clin Exp Metastasis . 18 (3): 219– 229. doi :10.1023/A:1006737100797. PMID  11315095. S2CID  25261069.
  29. ^ Weiss, L; Bronk, J; Pickren, JW; Lane, WW (1981). «Метастатические паттерны и артериальный кровоток в органах-мишенях». Invasion and Metastasis . 1 (2): 126–135 . PMID  7188382.
  30. ^ Чемберс, А. Ф.; Грум, А. С.; Макдональд, И. С. (2002). «Распространение и рост раковых клеток в метастатических участках». Nature Reviews Cancer . 2 (8): 563– 572. doi : 10.1038/nrc865. PMID  12154349. S2CID  135169.
  31. ^ Кендал, WS (2002). «Частотное распределение числа гематогенных метастазов в органах». Вторжение и метастазы . 1 (2): 126– 135. Bibcode : 2002JThBi.217..203K. doi : 10.1006/jtbi.2002.3021. PMID  12202114.
  32. ^ Кендал, WS (2003). "Экспоненциальная дисперсионная модель для распределения полиморфизмов отдельных нуклеотидов человека". Mol Biol Evol . 20 (4): 579–590 . doi : 10.1093/molbev/msg057 . PMID  12679541.
  33. ^ ab Kendal, WS (2004). "Масштабная инвариантная кластеризация генов на человеческой хромосоме 7". BMC Evol Biol . 4 : 3. doi : 10.1186/1471-2148-4-3 . PMC 373443. PMID  15040817 . 
  34. ^ Sachidanandam, R; Weissman, D; Schmidt, SC; et al. (2001). «Карта вариаций человеческого генома, содержащая 1,42 миллиона однонуклеотидных полиморфизмов». Nature . 409 (6822): 928– 933. Bibcode :2001Natur.409..928S. doi : 10.1038/35057149 . PMID  11237013.
  35. ^ Хадсон, Р. Р. (1991). «Генеалогии генов и процесс слияния». Oxford Surveys in Evolutionary Biology . 7 : 1–44 .
  36. ^ Tavare, S; Balding, DJ; Griffiths, RC; Donnelly, P (1997). "Вывод времени коалесценции из данных о последовательности ДНК". Genetics . 145 (2): 505– 518. doi :10.1093/genetics/145.2.505. PMC 1207814 . PMID  9071603. 
  37. ^ Шенфельд, Дж (1976). «Более точные оценки для функций Чебышева θ(x) и ψ(x). II». Математика вычислений . 30 (134): 337–360 . doi : 10.1090/s0025-5718-1976-0457374-x .
  38. ^ Хаберман, С.; Реншоу, А.Е. (1996). «Обобщенные линейные модели и актуарная наука». The Statistician . 45 (4): 407– 436. doi :10.2307/2988543. JSTOR  2988543.
  39. ^ Реншоу, А.Е. 1994. Моделирование процесса подачи заявлений при наличии ковариатов. Бюллетень ASTIN 24: 265–286.
  40. ^ Йоргенсен, Б.; Паес; Соуза, М.К. (1994). «Подгонка модели Твиди по составному распределению Пуассона к данным по страховым претензиям». Scand. Actuar. J . 1 : 69– 93. CiteSeerX 10.1.1.329.9259 . doi :10.1080/03461238.1994.10413930. 
  41. ^ Хаберман, С. и Реншоу, А. Е. 1998. Актуарные применения обобщенных линейных моделей. В журнале «Статистика в финансах», DJ Hand и SD Jacka (редакторы), Арнольд, Лондон.
  42. ^ Mildenhall, SJ 1999. Систематическая связь между минимальным смещением и обобщенными линейными моделями. 1999 Proceedings of the Casualty Actuarial Society 86: 393–487.
  43. ^ Мерфи, К. П., Брокман, М. Дж. и Ли, П. К. У. (2000). Использование обобщенных линейных моделей для построения динамических систем ценообразования. Форум актуариев по страхованию от несчастных случаев, зима 2000 г.
  44. ^ Смит, Г. К.; Йоргенсен, Б. (2002). «Подгонка модели Твиди по составному распределению Пуассона к данным по страховым претензиям: моделирование дисперсии» (PDF) . Бюллетень ASTIN . 32 : 143– 157. doi : 10.2143/ast.32.1.1020 .
  45. ^ Давидян, М (1990). «Оценка функций дисперсии в анализах с возможной неравной репликацией и ненормальными данными». Biometrika . 77 : 43–54 . doi :10.1093/biomet/77.1.43.
  46. ^ Дэвидиан, М.; Кэрролл, Р. Дж.; Смит, В. (1988). «Дисперсионные функции и минимальная определяемая концентрация в анализах». Biometrika . 75 (3): 549–556 . doi :10.1093/biomet/75.3.549.
  47. ^ Аален, OO (1992). «Моделирование гетерогенности в анализе выживаемости с помощью составного распределения Пуассона». Ann. Appl. Probab . 2 (4): 951– 972. doi : 10.1214/aoap/1177005583 .
  48. ^ Hougaard, P.; Harvald, B.; Holm, NV (1992). «Измерение сходства между продолжительностью жизни взрослых датских близнецов, родившихся между 1881–1930 гг.». Журнал Американской статистической ассоциации . 87 (417): 17–24 . doi :10.1080/01621459.1992.10475170.
  49. ^ Hougaard, P (1986). «Модели выживания для гетерогенных популяций, полученные из стабильных распределений». Biometrika . 73 (2): 387–396 . doi :10.1093/biomet/73.2.387.
  50. ^ Гилкрист, Р. и Дринквотер, Д. 1999. Подгонка моделей Твиди к данным с вероятностью нулевых ответов. Труды 14-го Международного семинара по статистическому моделированию, Грац, стр. 207–214.
  51. ^ ab Smyth, GK 1996. Регрессионный анализ количественных данных с точными нулями. Труды Второго Австралийско-Японского семинара по стохастическим моделям в инженерии, технологии и менеджменте. Центр технологического менеджмента, Университет Квинсленда, 572–580.
  52. ^ Курц, Кристоф Ф. (2017). «Распределения Твиди для подгонки полунепрерывных данных о расходах на здравоохранение». Методология медицинских исследований BMC . 17 (171): 171. doi : 10.1186/s12874-017-0445-y . PMC 5735804. PMID  29258428 . 
  53. ^ Хасан, ММ; Данн, П.К. (2010). «Два распределения Твиди, которые близки к оптимальным для моделирования месячных осадков в Австралии». Международный журнал климатологии . 31 (9): 1389– 1397. doi :10.1002/joc.2162. S2CID  140135793.
  54. ^ Кэнди, С.Г. (2004). «Моделирование данных об уловах и усилии с использованием обобщенных линейных моделей, распределения Твиди, случайных эффектов судна и случайных эффектов по годам». CCAMLR Science . 11 : 59–80 .
  55. ^ Кендал, WS; Йоргенсен, B (2011). «Степенной закон Тейлора и масштабирование флуктуаций, объясненные сходимостью, подобной центральному пределу». Phys. Rev. E. 83 ( 6): 066115. Bibcode : 2011PhRvE..83f6115K. doi : 10.1103/physreve.83.066115. PMID  21797449.
  56. ^ Кендал, WS (2015). «Самоорганизованная критичность, приписываемая эффекту конвергенции, подобному центральному пределу». Physica A. 421 : 141– 150. Bibcode : 2015PhyA..421..141K. doi : 10.1016/j.physa.2014.11.035.

Дальнейшее чтение

  • Данн, ПК; Смит, ГК (2018). Обобщенные линейные модели с примерами на языке R. Нью-Йорк: Springer. doi :10.1007/978-1-4419-0118-7. ISBN 978-1-4419-0118-7.Глава 12 посвящена распределениям и моделям Твиди.
  • Каас, Р. (2005). «Сложное распределение Пуассона и GLM – распределение Твиди». В трудах Контактного форума «3-й день актуарной и финансовой математики» , страницы 3–12. Брюссель: Королевская фламандская академия наук и искусств Бельгии.
  • Tweedie, MCK (1956). «Некоторые статистические свойства обратных гауссовых распределений». Virginia J. Sci . New Series. 7 : 160– 165.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tweedie_distribution&oldid=1250341423"