Трубчатый домен

В математике трубчатая область — это обобщение понятия вертикальной полосы (или полуплоскости ) в комплексной плоскости на несколько комплексных переменных . Полосу можно рассматривать как набор комплексных чисел, действительная часть которых лежит в заданном подмножестве действительной линии, а мнимая часть не ограничена; аналогично, трубка — это набор комплексных векторов, действительная часть которых находится в некотором заданном наборе действительных векторов, а мнимая часть не ограничена.

Трубчатые области — это области преобразования Лапласа функции нескольких действительных переменных (см. многомерное преобразование Лапласа). Пространства Харди на трубках можно определить таким образом, чтобы версия теоремы Пэли–Винера от одной переменной продолжала выполняться, и характеризовать элементы пространств Харди как преобразования Лапласа функций с соответствующими свойствами интегрируемости. Трубки над выпуклыми множествами являются областями голоморфности . Пространства Харди на трубках над выпуклыми конусами имеют особенно богатую структуру, так что известны точные результаты относительно граничных значений функций H ^p . В математической физике будущая трубка — это трубчатая область, связанная с внутренней частью прошлого нулевого конуса в пространстве Минковского , и имеет приложения в теории относительности и квантовой гравитации . ^[1] Некоторые трубки над конусами поддерживают метрику Бергмана , в терминах которой они становятся ограниченными симметричными областями . Одним из них является полупространство Зигеля , которое является фундаментальным в арифметике .

Пусть R ⁿ обозначает действительное координатное пространство размерности n , а C ⁿ обозначает комплексное координатное пространство. Тогда любой элемент C ⁿ можно разложить на действительную и мнимую части:

${\displaystyle a=(z_{1},\dots ,z_{n})=(x_{1}+iy_{1},\dots ,x_{n}+iy_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})+i(y_{1},\dots ,y_{n})=x+iy.}$

Пусть A — открытое подмножество R ⁿ . Трубка над A , обозначаемая T _A , — это подмножество C ^{n ,} состоящее из всех элементов, действительные части которых лежат в A : ^{[2] [a]}

${\displaystyle T_{A}=\{z=x+iy\in \mathbb {C} ^{n}\mid x\in A\}.}$

Предположим, что A — связное открытое множество. Тогда любая комплекснозначная функция, голоморфная в трубке T _{A ,} может быть единственным образом продолжена до голоморфной функции на выпуклой оболочке трубки ch T _A , ^[2] которая также является трубкой, и на самом деле

${\displaystyle \operatorname {ch} \,T_{A}=T_{\operatorname {ch} \,A}.}$

Поскольку любое выпуклое открытое множество является областью голоморфности ( голоморфно выпукло ), выпуклая трубка также является областью голоморфности. Таким образом, голоморфная оболочка любой трубки равна ее выпуклой оболочке. ^{[3] [4]}

Пусть A — открытое множество в R ⁿ . Пространство Харди H ^p ( T _A ) — это множество всех голоморфных функций F в T _A таких, что 

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|F(x+iy)|^{p}\,dy<\infty }$

для всех x в A.

В частном случае p  = 2 функции в H ² ( T _A ) можно охарактеризовать следующим образом. ^[5] Пусть ƒ — комплекснозначная функция на R ^{n ,} удовлетворяющая условию

${\displaystyle \sup _{x\in A}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(t)|^{2}e^{-4\pi x\cdot t}\,dt<\infty .}$

Преобразование Фурье–Лапласа функции ƒ определяется формулой

${\displaystyle F(x+iy)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi z\cdot t}f(t)\,dt.}$

Тогда F корректно определен и принадлежит H ² ( T _A ). Обратно, каждый элемент H ² ( T _A ) имеет эту форму.

Следствием этой характеристики является то, что H ² ( T _A ) содержит ненулевую функцию тогда и только тогда, когда A не содержит прямой линии.

Пусть A — открытый выпуклый конус в R ⁿ . Это означает, что A — открытое выпуклое множество , такое, что всякий раз, когда x лежит в A , то же самое происходит и со всем лучом от начала координат до x . Символически,

${\displaystyle x\in A\implies tx\in A\ \ \ {\text{for all}}\ t>0.}$

Если A — конус, то элементы H ₂ ( T _A ) имеют граничные пределы L ² в том смысле, что ^[5]

${\displaystyle \lim _{y\to 0}F(x+iy)}$

существует в L ² ( B ). Аналогичный результат имеет место для H ^p ( T _A ), но он требует дополнительной регулярности конуса (в частности, двойственный конус A * должен иметь непустую внутренность).

• Домен Рейнхардта
• Домен Сигела