Тройная корреляция

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Декабрь 2023 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Тройная корреляция обычной функции на действительной прямой представляет собой интеграл произведения этой функции на две независимо сдвинутые копии самой себя:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(x)f(x+s_{1})f(x+s_{2})dx.}$

Преобразование Фурье тройной корреляции — это биспектр . Тройная корреляция расширяет концепцию автокорреляции , которая сопоставляет функцию с одной смещенной копией самой себя и тем самым усиливает ее скрытые периодичности.

Теория тройной корреляции была впервые исследована статистиками, изучавшими кумулянтную структуру негауссовых случайных процессов. Она также была независимо изучена физиками как инструмент для спектроскопии лазерных лучей. Хидея Гамо в 1963 году описал аппарат для измерения тройной корреляции лазерного луча, а также показал , как фазовая информация может быть восстановлена ​​из действительной части биспектра — вплоть до смены знака и линейного смещения. Однако метод Гамо неявно требует, чтобы преобразование Фурье никогда не было равно нулю ни на какой частоте. Это требование было смягчено, и класс функций, которые, как известно, однозначно идентифицируются их тройными (и более высокого порядка) корреляциями, был значительно расширен исследованием Йеллотта и Айверсона (1992). Йеллотт и Айверсон также указали на связь между тройными корреляциями и теорией визуального различения текстур, предложенной Белой Юлешем .

Методы тройной корреляции часто используются в обработке сигналов для обработки сигналов, которые искажены аддитивным белым гауссовым шумом ; в частности, методы тройной корреляции подходят, когда доступны множественные наблюдения сигнала, и сигнал может транслироваться между наблюдениями, например, последовательность изображений объекта, транслируемого на шумном фоне. Что делает тройную корреляцию особенно полезной для таких задач, так это три свойства: (1) она инвариантна относительно трансляции базового сигнала; (2) она несмещена в аддитивном гауссовом шуме; и (3) она сохраняет почти всю соответствующую фазовую информацию в базовом сигнале. Свойства (1)-(3) тройной корреляции во многих случаях распространяются на функции на произвольной локально компактной группе , в частности на группы вращений и жестких движений евклидова пространства, которые возникают в компьютерном зрении и обработке сигналов.

Тройная корреляция может быть определена для любой локально компактной группы с использованием левоинвариантной меры Хаара группы . Легко показать, что полученный объект инвариантен относительно левого сдвига базовой функции и несмещен в аддитивном гауссовском шуме. Что более интересно, так это вопрос уникальности: когда две функции имеют одинаковую тройную корреляцию, как связаны эти функции? Для многих случаев, представляющих практический интерес, тройная корреляция функции на абстрактной группе однозначно идентифицирует эту функцию с точностью до одного неизвестного группового действия. Эта уникальность является математическим результатом, который опирается на теорему двойственности Понтрягина , теорему двойственности Таннаки–Крейна и связанные с ними результаты Ивахори-Сугиуры и Тацуумы. Существуют алгоритмы для восстановления функций с ограниченной полосой пропускания из их тройной корреляции в евклидовом пространстве, а также групп вращений в двух и трех измерениях. Существует также интересная связь с тауберовой теоремой Винера : любая функция, трансляции которой плотны в , где — локально компактная абелева группа , также однозначно идентифицируется своей тройной корреляцией.${\displaystyle L_{1}(Г)}$${\displaystyle G}$

• К. Хассельман, В. Мунк и Г. Макдональд (1963), «Биспектры океанских волн», в книге « Анализ временных рядов » , под ред. М. Розенблатта, Нью-Йорк: Wiley, 125–139.
• Gamo, H. (1963). «Тройной коррелятор фотоэлектрических флуктуаций как спектроскопический инструмент». Журнал прикладной физики . 34 (4): 875– 876. Bibcode : 1963JAP....34..875G. doi : 10.1063/1.1729553.
• Йеллотт, Дж.; Айверсон, Г.Дж. (1992). "Свойства уникальности автокорреляционных функций высшего порядка". Журнал оптического общества Америки A. 9 ( 3): 388. Bibcode : 1992JOSAA...9..388Y. doi : 10.1364/JOSAA.9.000388.
• Р. Какарала (1992) Тройная корреляция в группах , докторская диссертация, кафедра математики, Калифорнийский университет, Ирвайн.
• Р. Кондор (2007), «Полный набор вращательно и трансляционно инвариантных признаков для изображений», arXiv :cs/0701127