Автоморфное число

В математике автоморфное число (иногда называемое циклическим числом ) — это натуральное число в данной системе счисления , квадрат которого «заканчивается» теми же цифрами, что и само число. б {\displaystyle б}

Определение и свойства

При наличии основания системы счисления натуральное число с цифрами является автоморфным числом , если является неподвижной точкой полиномиальной функции над , кольцом целых чисел по модулю . Поскольку обратным пределом является , кольцом -адических целых чисел, автоморфные числа используются для нахождения числовых представлений неподвижных точек над . б {\displaystyle б} н {\displaystyle n} к {\displaystyle к} н {\displaystyle n} ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} З / б к З {\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k} \mathbb {Z} } б к {\displaystyle б^{к}} З / б к З {\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k} \mathbb {Z} } З б {\displaystyle \mathbb {Z} _{b}} б {\displaystyle б} ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} З б {\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}

Например, при , существует четыре 10-адических неподвижных точки , последние 10 цифр которых равны: б = 10 {\displaystyle b=10} ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

… 0000000000 {\displaystyle \ldots 0000000000}
… 0000000001 {\displaystyle \ldots 0000000001}
… 8212890625 {\displaystyle \ldots 8212890625} (последовательность A018247 в OEIS )
… 1787109376 {\displaystyle \ldots 1787109376} (последовательность A018248 в OEIS )

Таким образом, автоморфные числа в десятичной системе счисления — это 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (последовательность A003226 в OEIS ).

Неподвижная точка является нулем функции . В кольце целых чисел по модулю существуют нули до , где простая омега-функция является числом различных простых множителей в . Элемент в является нулем тогда и только тогда, когда или для всех . Поскольку существует два возможных значения в , и существуют такие , существуют нули , и, таким образом, существуют неподвижные точки . Согласно лемме Гензеля , если существуют нули или неподвижные точки полиномиальной функции по модулю , то существуют соответствующие нули или неподвижные точки той же функции по модулю любой степени , и это остается верным в обратном пределе . Таким образом, в любой заданной базе существуют -адические неподвижные точки . ф ( х ) {\displaystyle f(x)} г ( х ) = ф ( х ) − х {\displaystyle g(x)=f(x)-x} б {\displaystyle б} 2 ω ( б ) {\displaystyle 2^{\омега (б)}} г ( х ) = х 2 − х {\displaystyle g(x)=x^{2}-x} ω ( б ) {\displaystyle \омега (б)} б {\displaystyle б} х {\displaystyle x} З / б З {\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} } г ( х ) = х 2 − х {\displaystyle g(x)=x^{2}-x} х ≡ 0 мод п в п ( б ) {\displaystyle x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}} х ≡ 1 мод п в п ( б ) {\displaystyle x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}} п | б {\displaystyle п|б} { 0 , 1 } {\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace } ω ( б ) {\displaystyle \омега (б)} п | б {\displaystyle п|б} 2 ω ( б ) {\displaystyle 2^{\омега (б)}} г ( х ) = х 2 − х {\displaystyle g(x)=x^{2}-x} 2 ω ( б ) {\displaystyle 2^{\омега (б)}} ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} к {\displaystyle к} б {\displaystyle б} к {\displaystyle к} б {\displaystyle б} б {\displaystyle б} 2 ω ( б ) {\displaystyle 2^{\омега (б)}} б {\displaystyle б} ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

Так как 0 всегда является делителем нуля , 0 и 1 всегда являются неподвижными точками , а 0 и 1 являются автоморфными числами в каждой базе. Эти решения называются тривиальными автоморфными числами . Если — степень простого числа , то кольцо -адических чисел не имеет делителей нуля, отличных от 0, поэтому единственными неподвижными точками являются 0 и 1. В результате нетривиальные автоморфные числа , отличные от 0 и 1, существуют только тогда, когда база имеет по крайней мере два различных простых множителя. ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} б {\displaystyle б} б {\displaystyle б} ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} б {\displaystyle б}

Автоморфные числа в базеб

Все -адические числа представлены в системе счисления с основанием , в которой для представления цифровых значений от 10 до 35 используются символы A−Z. б {\displaystyle б} б {\displaystyle б}

б {\displaystyle б} Простые множители б {\displaystyle б} Фиксированные точки в из З / б З {\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} } ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} б {\displaystyle б} -адические неподвижные точки ф ( х ) = х 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} Автоморфные числа в базе б {\displaystyle б}
62, 30, 1, 3, 4

… 0000000000 {\displaystyle \ldots 0000000000}

… 0000000001 {\displaystyle \ldots 0000000001}

… 2221350213 {\displaystyle \ldots 2221350213}

… 3334205344 {\displaystyle \ldots 3334205344}

0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 221350213, 334205344, 222 1350213, 3334205344, ...

102, 50, 1, 5, 6

… 0000000000 {\displaystyle \ldots 0000000000}

… 0000000001 {\displaystyle \ldots 0000000001}

… 8212890625 {\displaystyle \ldots 8212890625}

… 1787109376 {\displaystyle \ldots 1787109376}

0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 178 7109376, 8212890625, ...
122, 30, 1, 4, 9

… 0000000000 {\displaystyle \ldots 0000000000}

… 0000000001 {\displaystyle \ldots 0000000001}

… 21 Б 61 Б 3854 {\displaystyle \ldots 21{\text{B}}61{\text{B}}3854}

… 9 А 05 А 08369 {\displaystyle \ldots 9{\text{A}}05{\text{A}}08369}

0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9А05А08369, ...
142, 70, 1, 7, 8

… 0000000000 {\displaystyle \ldots 0000000000}

… 0000000001 {\displaystyle \ldots 0000000001}

… 7337 А А 0 С 37 {\displaystyle \ldots 7337{\text{A}}{\text{A}}0{\text{C}}37}

… 6 А А 633 Д 1 А 8 {\displaystyle \ldots 6{\text{A}}{\text{A}}633{\text{D}}1{\text{A}}8}

0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633D1A8, 6AA633D 1А8, 7337АА0С37, ...
153, 50, 1, 6, 10

… 0000000000 {\displaystyle \ldots 0000000000}

… 0000000001 {\displaystyle \ldots 0000000001}

… 624 Д 4 Б Д А 86 {\displaystyle \ldots 624{\text{D}}4{\text{B}}{\text{D}}{\text{A}}86}

… 8 С А 1 А 3146 А {\displaystyle \ldots 8{\text{C}}{\text{A}}1{\text{A}}3146{\text{A}}}

0, 1, 6, А, 6А, 86, 46А, А86, 146А, DA86, 3146А, БДА86, 4БДА86, А3146А, 1А3146А, Д4БДА86, 4Д4БДА86, А1А3146А, 24Д4БДА86, СА1А3146А, 624Д, 4БДА86, 8СА1А3146А,...
182, 30, 1, 9, 10

...000000

...000001

...4E1249

...D3GFDA

202, 50, 1, 5, 16

...000000

...000001

...1AB6B5

...И98Д8Г

213, 70, 1, 7, 15

...000000

...000001

...86H7G7

...CE3D4F

222, 110, 1, 11, 12

...000000

...000001

...8Д185Б

...D8KDGC

242, 30, 1, 9, 16

...000000

...000001

...E4D0L9

...9ЯНВ2Г

262, 130, 1, 13, 14

...0000

...0001

...1Г6Д

...О9ЖЕ

282, 70, 1, 8, 21

...0000

...0001

...AAQ8

...ХХ1Л

302, 3, 50, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25

...0000

...0001

...B2J6

...H13A

...1Q7F

...С3МГ

...CSQL

...ИРАП

333, 110, 1, 12, 22

...0000

...0001

...1 КПМ

...ВК7С

342, 170, 1, 17, 18

...0000

...0001

...248H

...ВТПИ

355, 70, 1, 15, 21

...0000

...0001

...5MXL

...TC1F

362, 30, 1, 9, 28

...0000

...0001

...DN29

...MCXS

Расширения

Автоморфные числа могут быть расширены до любой такой полиномиальной функции степени с b -адическими коэффициентами . Эти обобщенные автоморфные числа образуют дерево . н {\displaystyle n} ф ( х ) = ∑ я = 0 н а я х я {\textstyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}} а я {\displaystyle a_{i}}

а-автоморфные числа

Автоморфное число возникает , когда полиномиальная функция а {\displaystyle а} ф ( х ) = а х 2 {\displaystyle f(x)=ax^{2}}

Например, при и , поскольку имеются две неподвижные точки для в ( и ), согласно лемме Гензеля имеются две 10-адические неподвижные точки для , б = 10 {\displaystyle b=10} а = 2 {\displaystyle а=2} ф ( х ) = 2 х 2 {\displaystyle f(x)=2x^{2}} З / 10 З {\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} } х = 0 {\displaystyle x=0} х = 8 {\displaystyle x=8} ф ( х ) = 2 х 2 {\displaystyle f(x)=2x^{2}}

… 0000000000 {\displaystyle \ldots 0000000000}
… 0893554688 {\displaystyle \ldots 0893554688}

Итак, 2-автоморфные числа в десятичной системе счисления — это 0, 8, 88, 688, 4688...

Триморфные числа

Триморфное число или сферическое число возникает, когда полиномиальная функция равна . [1] Все автоморфные числа являются триморфными. Термины круговой и сферический ранее использовались для немного иного случая числа, все степени которого имеют ту же последнюю цифру, что и само число. [2] ф ( х ) = х 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}}

Для основания триморфными числами являются: б = 10 {\displaystyle b=10}

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (последовательность A033819 в OEIS )

Для основания триморфными числами являются: б = 12 {\displaystyle b=12}

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, Б, 15, 47, 53, 54, 5Б, 61, 68, 69, 75, А7, Б3, ББ, 115, 253, 368, 369, 4А7, 5ВВ, 601, 715, 853, 854, 969, АА7, ВВВ, 14А7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5ВВВ, 6001, 74А7, 8368, 8369, 9853, А715, ВВВВ, ...

Пример программирования

def  hensels_lemma ( polynomial_function ,  base :  int ,  power :  int )  ->  list [ int ]: """Лемма Гензеля.""" если power == 0 : return [ 0 ] если power > 0 : roots = hensels_lemma ( polynomial_function , base , power - 1 ) new_roots = [] для root в roots : для i в диапазоне ( 0 , base ): new_i = i * base ** ( power - 1 ) + root new_root = polynomial_function ( new_i ) % pow ( base , power ) если new_root == 0 : new_roots . append ( new_i ) return new_roots                                                      основание  =  10 цифр  =  10def  automorphic_polynomial ( x :  int )  ->  int :  return  x  **  2  -  xдля  i  в  диапазоне ( 1 ,  цифры  +  1 ):  print ( hensels_lemma ( automorphic_polynomial ,  base ,  i ))

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ См. статью Жерара Мишона на сайте
  2. ^ "сферическое число" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
  • примеры 1-автоморфных чисел на PlanetMath .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Автоморфное_число&oldid=1231755925#Триморфные_числа"