Сумма углов треугольника

В евклидовом пространстве сумма углов треугольника равна прямому углу (180 градусов , π радиан , два прямых угла или пол- оборота ). Треугольник имеет три угла, по одному в каждой вершине , ограниченные парой смежных сторон .

Сумму можно вычислить напрямую, используя определение угла на основе скалярного произведения и тригонометрических тождеств , или быстрее, сведя к двумерному случаю и используя тождество Эйлера .

Долгое время было неизвестно, существуют ли другие геометрии , для которых эта сумма иная. Влияние этой проблемы на математику было особенно сильным в 19 веке. В конечном итоге ответ оказался положительным: в других пространствах (геометриях) эта сумма может быть больше или меньше, но тогда она должна зависеть от треугольника. Ее отличие от 180° является случаем углового дефекта и служит важным отличием для геометрических систем.

В евклидовой геометрии постулат треугольника утверждает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам . Этот постулат эквивалентен постулату о параллельных прямых . ^[1] При наличии других аксиом евклидовой геометрии следующие утверждения эквивалентны: ^[2]

• Постулат треугольника : сумма углов треугольника равна двум прямым углам.
• Аксиома Плейфера : Если задана прямая линия и точка, не лежащая на этой линии, то через эту точку можно провести ровно одну прямую линию, параллельную данной прямой.
• Аксиома Прокла : если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, она должна пересекать и другую. ^[3]
• Постулат равноудалённости : Параллельные прямые всюду равноудалены (т.е. расстояние от каждой точки одной прямой до другой прямой всегда одинаково).
• Свойство площади треугольника : Площадь треугольника может быть сколь угодно большой.
• Свойство трёх точек : три точки либо лежат на одной прямой, либо лежат на окружности .
• Теорема Пифагора : В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других катетов. ^[1]

Простая формула для этих свойств заключается в том, что в любых трех точках любой фигуры образуется треугольник. Треугольник ABC (пример) имеет 3 точки и, следовательно, три угла: угол A, угол B и угол C. Углы A, B и C всегда, будучи сложены, образуют 360 градусов. Таким образом, ∠A + ∠B + ∠C = 360°

Сферическая геометрия не удовлетворяет нескольким аксиомам Евклида , включая постулат параллельности . Кроме того, сумма углов больше не равна 180°.

Для сферического треугольника сумма углов больше 180° и может достигать 540°. Величина, на которую сумма углов превышает 180°, называется сферическим избытком , обозначается как или . ^[4] Сферический избыток и площадь треугольника определяют друг друга через соотношение (называемое теоремой Жирара ): где — радиус сферы, равный где — постоянная кривизна.${\textstyle Э}$${\textstyle \Дельта}$ ${\textstyle А}$$${\displaystyle E={\frac {A}{r^{2}}}}$$${\displaystyle r}$${\textstyle r={\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}}$${\textstyle \каппа >0}$

Сферический избыток также можно рассчитать из длин трех сторон, длин двух сторон и их угла или длины одной стороны и двух смежных углов (см. сферическую тригонометрию ).

В пределе, где три длины сторон стремятся к , сферический избыток также стремится к : сферическая геометрия локально напоминает евклидову. В более общем смысле, евклидов закон восстанавливается как предел, когда площадь стремится к (что не означает, что длины сторон делают то же самое).${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

Сферический треугольник определяется с точностью до изометрии , длиной одной стороны и одним смежным углом. Точнее, согласно теореме Лекселла , если задан сферический сегмент как фиксированная сторона и число , множество точек, при которых треугольник имеет сферический избыток, представляет собой окружность, проходящую через антиподы и . Следовательно, множества уровня образуют слоение сферы с двумя особенностями , а градиентный вектор ортогонален этому слоению.${\textstyle Э}$${\textstyle [А,Б]}$${\textstyle 0^{\circ }<E<360^{\circ }}$${\textstyle С}$${\textstyle ABC}$${\displaystyle E}$${\textstyle А',Б'}$${\textstyle А}$${\textstyle Б}$${\textstyle Э}$${\displaystyle А',Б'}$${\textstyle Э}$

Гиперболическая геометрия нарушает аксиому Плейфера, аксиому Прокла (параллельность, определяемая как непересечение, нетранзитивна в гиперболической плоскости), постулат равноудаленности (точки по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее не образуют прямую) и теорему Пифагора. Окружность ^[5] не может иметь произвольно малую кривизну , ^[6] поэтому свойство трех точек также не выполняется. Сумма углов также больше не равна 180°.

В отличие от сферического случая, сумма углов гиперболического треугольника меньше 180° и может быть сколь угодно близка к 0°. Таким образом, имеется угловой дефект Как и в сферическом случае, угловой дефект и площадь определяют друг друга: имеется , где и — постоянная кривизна . Это соотношение впервые доказал Иоганн Генрих Ламберт . ^[7] Видно, что все треугольники имеют площадь, ограниченную .$${\displaystyle D=180^{\circ }-{\text{сумма углов}}.}$$${\textstyle D}$${\textstyle А}$$${\displaystyle D={\frac {A}{r^{2}}}}$$${\textstyle r={\frac {1}{\sqrt {-\kappa }}}}$${\textstyle \каппа <0}$${\textstyle 180^{\circ }\times r^{2}}$

Как и в сферическом случае, можно вычислить, используя длины трех сторон, длины двух сторон и их угол, или длину одной стороны и двух смежных углов (см. гиперболическую тригонометрию ).${\textstyle D}$

И снова, закон Евклида восстанавливается как предел, когда длины сторон (или, в более общем смысле, площадь) стремятся к . Однако, если позволить всем длинам стремиться к бесконечности, это приведет к стремлению к 180°, т.е. три угла будут стремиться к 0°. Можно рассматривать этот предел как случай идеальных треугольников , соединяющих три точки на бесконечности тремя двусторонними геодезическими. Их площадь является предельным значением .${\displaystyle 0}$${\textstyle D}$${\textstyle A=180^{\circ }\times {r^{2}}}$

Теорема Лекселла также имеет гиперболический аналог: вместо окружностей множества уровня становятся парами кривых, называемых гиперциклами , а слоение невырождено. ^[8]

Углы между соседними сторонами треугольника называются внутренними углами в евклидовой и других геометриях. Внешние углы также могут быть определены, и постулат евклидова треугольника может быть сформулирован как теорема о внешнем угле . Можно также рассмотреть сумму всех трех внешних углов, которая равна 360° ^[9] в евклидовом случае (как и для любого выпуклого многоугольника ), меньше 360° в сферическом случае и больше 360° в гиперболическом случае.

В дифференциальной геометрии поверхностей вопрос об угловом дефекте треугольника понимается как частный случай теоремы Гаусса-Бонне , где кривизна замкнутой кривой является не функцией, а мерой с носителем ровно в трех точках – вершинах треугольника.

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Ноябрь 2013 )

• Элементы Евклида
• Основы геометрии
• Аксиомы Гильберта
• Четырехугольник Саккери (рассматриваемый Омаром Хайямом раньше, чем Саккери )
• Четырехугольник Ламберта