Железнодорожный путь (математика)

В математической области топологии железнодорожный путь представляет собой семейство кривых, встроенных в поверхность , удовлетворяющее следующим условиям:

1. Кривые пересекаются в конечном наборе вершин, называемых переключателями .
2. Вдали от переключателей изгибы плавные и не соприкасаются друг с другом.
3. На каждом переключении три кривые сходятся с одной и той же касательной, при этом две кривые входят с одного направления, а одна — с другого.

Основное применение рельсов поездов в математике — изучение расслоений поверхностей, то есть разбиений замкнутых подмножеств поверхностей на объединения гладких кривых. Рельсы поездов также использовались при рисовании графов .

Слоистость поверхности — это разбиение замкнутого подмножества поверхности на гладкие кривые. Изучение железнодорожных путей изначально было мотивировано следующим наблюдением: если близорукий человек посмотрит на общую слоистость на поверхности с расстояния, она будет выглядеть как железнодорожные пути.

Стрелка на железнодорожном пути моделирует точку, в которой два семейства параллельных кривых в ламинировании сливаются, чтобы стать одним семейством, как показано на иллюстрации. Хотя стрелка состоит из трех кривых, заканчивающихся и пересекающихся в одной точке, кривые в ламинировании не имеют конечных точек и не пересекаются друг с другом.

Для этого применения железнодорожных путей к слоистости часто важно ограничить формы, которые могут быть образованы связанными компонентами поверхности между кривыми пути. Например, Пеннер и Харер требуют, чтобы каждый такой компонент, приклеенный к своей копии вдоль своей границы для формирования гладкой поверхности с выступами, имел отрицательную характеристику Эйлера с выступами .

Железнодорожный путь с весами , или взвешенный железнодорожный путь или измеренный железнодорожный путь , состоит из железнодорожного пути с неотрицательным действительным числом , называемым весом , назначенным каждой ветви. Веса могут быть использованы для моделирования того, какие из кривых в параллельном семействе кривых из ламинации разделены на какие стороны стрелки. Веса должны удовлетворять следующему условию стрелки : вес, назначенный входящей ветви на стрелке, должен быть равен сумме весов, назначенных ветвям, исходящим из этой стрелки. Веса тесно связаны с понятием переноса . Говорят, что железнодорожный путь несет ламинацию, если существует окрестность железнодорожного пути, такая, что каждый лист ламинации содержится в окрестности и пересекает каждое вертикальное волокно поперечно. Если каждое вертикальное волокно имеет нетривиальное пересечение с некоторым листом, то ламинация полностью переносится железнодорожным путем.

• Penner, RC, с Harer, JL (1992). Комбинаторика железнодорожных путей . Princeton University Press, Annals of Mathematics Studies. ISBN 0-691-02531-2.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )