В теории категорий трассированная моноидальная категория — это категория с некоторой дополнительной структурой, которая дает разумное представление об обратной связи.
Прослеживаемая симметричная моноидальная категория — это симметричная моноидальная категория C вместе с семейством функций
Т г Х , И У : С ( Х ⊗ У , И ⊗ У ) → С ( Х , И ) {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}:\mathbf {C} (X\otimes U,Y\otimes U)\to \mathbf {C} (X,Y)} называемый следом , удовлетворяющий следующим условиям:
естественность в : для каждого и , Х {\displaystyle X} ф : Х ⊗ У → И ⊗ У {\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U} г : Х ′ → Х {\displaystyle g:X'\to X} Т г Х ′ , И У ( ф ∘ ( г ⊗ я г У ) ) = Т г Х , И У ( ф ) ∘ г {\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {X ', Y} ^ {U} (f \ circ (g \ otimes \ mathrm {id} _ {U})) = \ mathrm {Tr} _ {X, Y} ^{U}(f)\circ g} Естественность в X естественность в : для каждого и , И {\displaystyle Y} ф : Х ⊗ У → И ⊗ У {\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U} г : И → И ′ {\displaystyle g:Y\to Y'} Т г Х , И ′ У ( ( г ⊗ я г У ) ∘ ф ) = г ∘ Т г Х , И У ( ф ) {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y'}^{U}((g\otimes \mathrm {id} _{U})\circ f)=g\circ \mathrm {Tr} _{X ,Y}^{U}(f)} Естественность в Y диестественность в : для каждого и У {\displaystyle U} ф : Х ⊗ У → И ⊗ У ′ {\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U'} г : У ′ → У {\displaystyle g:U'\to U} Т г Х , И У ( ( я г И ⊗ г ) ∘ ф ) = Т г Х , И У ′ ( ф ∘ ( я г Х ⊗ г ) ) {\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {X, Y} ^ {U} ((\ mathrm {id} _ {Y} \ otimes g) \ circ f) = \ mathrm {Tr} _ {X, Y} ^ {U'}(f\circ (\mathrm {id} _{X}\otimes g))} Диестественность в U исчезающий I: для каждого , (при этом являясь правильным юнитом), ф : Х ⊗ я → И ⊗ я {\displaystyle f:X\otimes I\to Y\otimes I} ρ Х : Х ⊗ я ≅ Х {\displaystyle \rho _{X}\colon X\otimes I\cong X} Т г Х , И я ( ф ) = ρ И ∘ ф ∘ ρ Х − 1 {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{I}(f)=\rho _{Y} \circ f\circ \rho _{X}^{-1}} Исчезающий Я исчезновение II: для каждого ф : Х ⊗ У ⊗ В → И ⊗ У ⊗ В {\displaystyle f:X\otimes U\otimes V\to Y\otimes U\otimes V} Т г Х , И У ( Т г Х ⊗ У , И ⊗ У В ( ф ) ) = Т г Х , И У ⊗ В ( ф ) {\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {X, Y} ^ {U} (\ mathrm {Tr} _ {X \ otimes U, Y \ otimes U} ^ {V} (f)) = \ mathrm {Tr} _{X,Y}^{U\otimes V}(f)} Исчезновение II суперпозиция: для каждого и , ф : Х ⊗ У → И ⊗ У {\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U} г : Вт → З {\displaystyle g:W\to Z} г ⊗ Т г Х , И У ( ф ) = Т г Вт ⊗ Х , З ⊗ И У ( г ⊗ ф ) {\displaystyle g\otimes \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)=\mathrm {Tr} _{W\otimes X,Z\otimes Y}^{U}(g\otimes е)} Наложение Т г Х , Х Х ( γ Х , Х ) = я г Х {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,X}^{X}(\gamma _{X,X})=\mathrm {id} _{X}} (где — симметрия моноидальной категории). γ {\displaystyle \гамма}
Дергать
Характеристики Каждая компактная замкнутая категория допускает след. Для заданной трассированной моноидальной категории C конструкция Int порождает свободное (в некотором бикатегориальном смысле) компактное замыкание Int( C ) категории C .
Ссылки Джоял, Андре ; Стрит, Росс ; Верити, Доминик (1996). «Прослеживаемые моноидальные категории». Математические труды Кембриджского философского общества . 119 (3): 447– 468. Bibcode : 1996MPCPS.119..447J. doi : 10.1017/S0305004100074338. S2CID 50511333.
