Полоидально-тороидальное разложение

В векторном исчислении , разделе чистой и прикладной математики , полоидально-тороидальное разложение является ограниченной формой разложения Гельмгольца . Оно часто используется в сферическом координатном анализе соленоидальных векторных полей , например, магнитных полей и несжимаемых жидкостей . ^[1]

Для трехмерного векторного поля F с нулевой дивергенцией

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0,}$

это можно выразить как сумму тороидального поля и полоидального векторного поля${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {T} +\mathbf {P} }$

где — радиальный вектор в сферических координатах . Тороидальное поле получается из скалярного поля , , ^[2] как следующий ротор ,${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (г,\тета,\фи)}$${\displaystyle \Psi (r,\theta,\phi)}$

${\displaystyle \mathbf {T} =\nabla \times (\mathbf {r} \Psi (\mathbf {r}))}$

и полоидальное поле выводится из другого скалярного поля , ^[3] как дважды итерированный ротор,${\displaystyle \Phi (r,\theta,\phi)}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\nabla \times (\nabla \times (\mathbf {r} \Phi (\mathbf {r})))\,.}$

Это разложение симметрично в том смысле, что ротор тороидального поля является полоидальным, а ротор полоидального поля является тороидальным, известным как функция Чандрасекара–Кендалла . ^[4]

Тороидальное векторное поле касается сфер вокруг начала координат, ^[4]

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {T} =0}$

в то время как вихрь полоидального поля касается этих сфер

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\nabla \times \mathbf {P} )=0.}$^[5]

Полоидально-тороидальное разложение является единственным, если требуется, чтобы среднее значение скалярных полей Ψ и Φ обращалось в нуль на каждой сфере радиуса r . ^[3]

Полоидально-тороидальное разложение также существует в декартовых координатах , но в этом случае необходимо включить поток среднего поля. Например, каждое соленоидальное векторное поле можно записать как

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\nabla \times g(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }}+\nabla \times (\nabla \times h (x,y,z){\hat {\mathbf {z} }})+b_{x}(z){\hat {\mathbf {x} }}+b_{y}(z){\hat {\mathbf {y} }},}$

где обозначают единичные векторы в направлениях координат. ^[6]${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}, {\hat {\mathbf {y} }}, {\hat {\mathbf {z} }}}$

• Тороидальные и полоидальные
• Функция Чандрасекара–Кендалла

• Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость, Чандрасекар, Субрахманьян; Международная серия монографий по физике, Оксфорд: Кларендон, 1961, стр. 622.
• Разложение соленоидальных полей на полоидальные поля, тороидальные поля и средний поток. Приложения к уравнениям Буссинеска, Шмитт, Б. Дж. и фон Валь, В.; в Уравнения Навье–Стокса II — Теория и численные методы , стр. 291–305; Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin/ Heidelberg, Vol. 1530/ 1992.
• Неупругие магнитогидродинамические уравнения для моделирования солнечных и звездных конвективных зон, Ланц, С. Р. и Фань, Й.; Серия приложений к астрофизическому журналу, том 121, выпуск 1, март 1999 г., стр. 247–264.
• Плоское полоидально-тороидальное разложение двоякопериодических векторных полей: Часть 1. Поля с дивергенцией и Часть 2. Уравнения Стокса. GD McBain. ANZIAM J. 47 (2005)
• Бэкус, Джордж (1986), «Полоидальные и тороидальные поля в моделировании геомагнитного поля», Обзоры геофизики , 24 : 75–109 , Bibcode : 1986RvGeo..24...75B, doi : 10.1029/RG024i001p00075.
• Бэкус, Джордж; Паркер, Роберт; Констебль, Кэтрин (1996), Основы геомагнетизма , Cambridge University Press, ISBN 0-521-41006-1.
• Джонс, Крис (2008), Теория динамо (PDF).