Теория пластин

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi {dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье–Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский  · неньютоновский ) Плавучесть  · Смешивание  · Давление Жидкости Адгезия Капиллярное действие Хроматография Когезия (химия) Поверхностное натяжение Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Шарля Комбинированный газовый закон Закон Фика Закон Гей-Люссака Закон Грэма плазма
Реология Вязкоупругость Реометрия Реометр Умные жидкости Электрореологический Магнитореологический Ферромагнитные жидкости
Ученые Бернулли Бойл Коши Чарльз Эйлер Фик Гей-Люссак Грэм Гук Ньютон Навье Нолл Паскаль Стокса Трусделл
в т е

В механике сплошной среды теории пластин являются математическими описаниями механики плоских пластин , которые опираются на теорию балок . Пластины определяются как плоские структурные элементы с малой толщиной по сравнению с плоскими размерами. ^[1] Типичное отношение толщины к ширине пластинчатой ​​конструкции составляет менее 0,1. ^{[ необходима ссылка ]} Теория пластин использует это несоответствие в масштабе длины, чтобы свести полную трехмерную задачу механики твердого тела к двумерной задаче. Целью теории пластин является расчет деформации и напряжений в пластине, подверженной нагрузкам .

Из многочисленных теорий пластин, которые были разработаны с конца 19 века, две широко приняты и используются в технике. Это

• теория пластин Кирхгофа – Лява ( классическая теория пластин )
• Теория пластин Уфлянда-Миндлина (теория пластин сдвига первого порядка)

Теория Кирхгофа – Лява является расширением теории балок Эйлера – Бернулли на тонкие пластины. Теория была разработана в 1888 году Лявом ^[2] с использованием предположений, предложенных Кирхгофом. Предполагается, что срединная плоскость поверхности может быть использована для представления трехмерной пластины в двумерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические предположения: ^[3]

• прямые линии, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми после деформации
• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, остаются нормальными к срединной поверхности после деформации
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Гипотеза Кирхгофа подразумевает, что поле перемещений имеет вид

где и — декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины, — координата для направления толщины, — смещения срединной поверхности в плоскости, — смещение срединной поверхности в направлении.${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle u_{1}^{0},u_{2}^{0}}$${\displaystyle w^{0}}$${\displaystyle x_{3}}$

Если – углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа–Лява${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$${\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.}$

Для ситуации, когда деформации в пластине бесконечно малы, а повороты нормалей срединной поверхности составляют менее 10°, соотношения между деформациями и смещениями имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Поэтому ненулевые деформации возникают только в направлениях плоскости.

Если повороты нормалей к срединной поверхности находятся в диапазоне от 10° до 15°, то соотношения деформации-перемещения можно аппроксимировать с помощью деформаций фон Кармана . Тогда кинематические предположения теории Кирхгофа-Лява приводят к следующим соотношениям деформации-перемещения

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Эта теория является нелинейной из-за квадратичных членов в соотношениях деформации и смещения.

Уравнения равновесия для пластины могут быть выведены из принципа виртуальной работы . Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия для ненагруженной пластины задаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

где результирующие напряжения и результирующие моменты напряжений определяются как

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

а толщина пластины . Величины представляют собой напряжения.${\displaystyle 2h}$${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

Если пластина нагружена внешней распределенной нагрузкой , которая нормальна к срединной поверхности и направлена ​​в положительном направлении, то принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle x_{3}}$

Для умеренных вращений соотношения деформации и смещения принимают форму фон Кармана, а уравнения равновесия можно выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}}$

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия теории пластин, можно получить из граничных условий в принципе виртуальной работы.

Для малых деформаций и малых вращений граничные условия имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что величина представляет собой эффективную силу сдвига.${\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}$

Соотношения напряжение-деформация для линейно-упругой пластины Кирхгофа определяются выражением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Поскольку и не фигурируют в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что эти величины не оказывают никакого влияния на баланс импульса и ими пренебрегают.${\displaystyle \sigma _{\alpha 3}}$${\displaystyle \sigma _{33}}$

Удобнее работать с результирующими напряжениями и моментами, входящими в уравнения равновесия. Они связаны со смещениями соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.}$

Жесткости растяжения – это величины

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Жесткость на изгиб (также называемая жесткостью на изгиб ) — это величины

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Для изотропной и однородной пластины соотношения между напряжением и деформацией имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

Моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Смещения и равны нулю в условиях чистого изгиба . Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе управляющее уравнение имеет вид${\displaystyle u_{1}^{0}}$${\displaystyle u_{2}^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.}$

В индексной нотации,

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.}$

В прямой тензорной записи основное уравнение имеет вид

Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций определяющее уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}}$

где

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

для пластины толщиной . В индексной записи,${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}}$

и в прямой записи

В цилиндрических координатах основное уравнение имеет вид${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Для ортотропной пластины

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Основное уравнение ортотропной пластины Кирхгофа, нагруженной поперечно распределенной нагрузкой на единицу площади, имеет вид${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}}$

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах, а также изучает стоячие волны и формы колебаний.

Уравнения динамики пластины Кирхгофа–Лява следующие:

где, для пластины с плотностью ,${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$

и

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

На рисунках ниже показаны некоторые моды колебаний круглой пластины.

• 
  режим к = 0, р = 1
• 
  режим к = 1, р = 2

Управляющие уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в плоскости можно пренебречь, и имеют вид

${\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.}$

где - изгибная жесткость пластины. Для однородной пластины толщиной ,${\displaystyle D}$${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

В прямой записи

В теории толстых пластин, или теории Якова С. Уфлянда ^[4] (см., для подробностей, справочник Элишакова [ ^5] ), Раймонда Миндлина ^[6] и Эрика Рейсснера , нормаль к срединной поверхности остается прямой, но не обязательно перпендикулярной срединной поверхности. Если и обозначают углы, которые срединная поверхность образует с осью , то${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle \varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}}$

Тогда гипотеза Миндлина–Рейсснера подразумевает, что

В зависимости от величины поворота нормалей пластины из основных кинематических предположений можно вывести два различных приближения для деформаций.

Для малых деформаций и малых поворотов соотношения деформации и смещения для пластин Миндлина–Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Сдвиговая деформация, а следовательно, и сдвиговое напряжение , по толщине пластины не игнорируются в этой теории. Однако сдвиговая деформация постоянна по толщине пластины. Это не может быть точным, поскольку известно, что сдвиговое напряжение является параболическим даже для простых геометрий пластины. Чтобы учесть неточность сдвиговой деформации, применяется поправочный коэффициент сдвига ( ), так что теория предсказывает правильное количество внутренней энергии. Тогда${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)}$

Уравнения равновесия имеют несколько разные формы в зависимости от величины изгиба, ожидаемого в пластине. Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия для пластины Миндлина–Рейсснера имеют вид

Результирующие сдвигающие силы в приведенных выше уравнениях определяются как

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.}$

Граничные условия обозначены граничными терминами в принципе виртуальной работы.

Если единственной внешней силой является вертикальная сила на верхней поверхности пластины, граничные условия имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}}$

Соотношения напряжение-деформация для линейно-упругой пластины Миндлина-Рейсснера определяются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}$

Поскольку не появляется в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что он не оказывает никакого влияния на баланс импульса и им пренебрегают. Это предположение также называется предположением о плоском напряжении . Оставшиеся соотношения напряжение-деформация для ортотропного материала в матричной форме можно записать как${\displaystyle \sigma _{33}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}}$

Для условий сдвига

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}}$

Жесткости растяжения – это величины

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Жесткости изгиба – это величины

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Для равномерно толстых, однородных и изотропных пластин соотношения между напряжением и деформацией в плоскости пластины имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

где - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, - деформации в плоскости. Сдвиговые напряжения и деформации по толщине связаны соотношением${\displaystyle E}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}}$

где - модуль сдвига .${\displaystyle G=E/(2(1+\nu ))}$

Соотношения между результирующими напряжениями и обобщенными смещениями для изотропной пластины Миндлина–Рейсснера следующие:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.}$

Жесткость на изгиб определяется как величина

${\displaystyle D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

Для пластины толщиной жесткость на изгиб имеет вид${\displaystyle H}$

${\displaystyle D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.}$

где ${\displaystyle h={\frac {H}{2}}}$

Если игнорировать расширение пластины в плоскости, то основные уравнения будут такими:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}}$

В терминах обобщенных деформаций три основных уравнения имеют вид${\displaystyle w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}}$

Граничные условия по краям прямоугольной пластины имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}}$

В общем, точные решения для консольных пластин с использованием теории пластин довольно сложны, и в литературе можно найти лишь несколько точных решений. Рейсснер и Штейн ^[7] предлагают упрощенную теорию для консольных пластин, которая является улучшением по сравнению со старыми теориями, такими как теория пластин Сен-Венана.

Теория Рейсснера-Штейна предполагает поперечное поле смещения в виде

${\displaystyle w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.}$

Управляющие уравнения для пластины затем сводятся к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям:

где

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

При , поскольку балка защемлена, граничные условия имеют вид${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$

Граничные условия при этом следующие:${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

Вывод уравнений консольной пластины Рейсснера–Штейна

Энергия деформации изгиба тонкой прямоугольной пластины однородной толщины определяется выражением${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}D\left\{\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)^{2}+2(1-\nu )\left[\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\right\}{\text{d}}x{\text{d}}y}$ где - поперечное смещение, - длина, - ширина, - коэффициент Пуассона, - модуль Юнга, и${\displaystyle w}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu )}}.}$ Потенциальная энергия поперечных нагрузок (на единицу длины) равна${\displaystyle q(x,y)}$ ${\displaystyle P_{q}=\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,w(x,y)\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Потенциальная энергия плоских нагрузок (на единицу ширины) равна${\displaystyle n_{x}(x,y)}$ ${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Потенциальная энергия концевых сил (на единицу ширины) и изгибающих моментов и (на единицу ширины) равна${\displaystyle q_{x}(y)}$${\displaystyle m_{x}(y)}$${\displaystyle m_{xy}(y)}$ ${\displaystyle P_{t}=\int _{-b/2}^{b/2}\left(q_{x}(y)\,w(x,y)-m_{x}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial x}}+m_{xy}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial y}}\right){\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Баланс энергии требует, чтобы общая энергия была ${\displaystyle W=U-(P_{q}+P_{n}+P_{t})\,.}$ При предположении Рейсснера-Штейна для смещения имеем ${\displaystyle U=\int _{0}^{a}{\frac {bD}{24}}\left[12\left({\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+b^{2}\left({\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+24(1-\nu )\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x\,,}$ ${\displaystyle P_{q}=\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yq(x,y)\,{\text{d}}y\right)\theta _{x}\right]\,dx\,,}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {dw_{x}}{dx}}\right)^{2}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yn_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right.\\&\left.\qquad \qquad +\left(\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]{\text{d}}x\,,\end{aligned}}}$ и ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t}&=\left(\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}-\left(\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+\left[\int _{-b/2}^{b/2}\left(yq_{x}(y)+m_{xy}(y)\right)\,{\text{d}}y\right]\theta _{x}\\&\qquad \qquad -\left(\int _{-b/2}^{b/2}ym_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\,.\end{aligned}}}$ Взяв первую вариацию относительно и приравняв ее к нулю, мы получаем уравнения Эйлера${\displaystyle W}$${\displaystyle (w_{x},\theta _{x},x)}$ ${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}}$ и ${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad {\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}}$ где ${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}}$ Так как балка закреплена в точке , то имеем${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$ Граничные условия при можно найти интегрированием по частям:${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$ где ${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}}$