проблема связанного Якоби

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Проблема границ Якоби» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2022 г. )

Проблема границы Якоби касается достоверности неравенства Якоби, которое является неравенством на абсолютную размерность дифференциального алгебраического многообразия в терминах его определяющих уравнений. Это одна из проблем Колчина.

Неравенство является дифференциально-алгебраическим аналогом теоремы Безу в аффинном пространстве. Хотя впервые сформулировано Якоби , в 1936 году Джозеф Ритт признал проблему нестрогой, поскольку у Якоби даже не было строгого понятия абсолютной размерности (Якоби и Ритт использовали термин «порядок», которому Ритт впервые дал строгое определение, используя понятие степени трансцендентности ). Интуитивно, абсолютная размерность — это число констант интегрирования, требуемых для указания решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Математическое доказательство неравенства было открыто с 1936 года.

Пусть — дифференциальное поле нулевой характеристики и рассмотрим дифференциальное алгебраическое многообразие, определяемое обращением в нуль дифференциальных многочленов . Если — неприводимая компонента конечной абсолютной размерности, то ${\displaystyle (К,\partial)}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{\partial }}$${\displaystyle \Gamma _{1}}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle a(\Gamma _{1})\leq J(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}).}$

На дисплее выше показано *число Якоби*. Оно определяется как ${\displaystyle J(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$

${\displaystyle \max _{\sigma \in S_{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {ord} _{x_{i}}^{\partial }(u_{\sigma (i)})}$.

• Ритт, Джозеф Ф. (1938). "Алгебраические аспекты теории дифференциальных уравнений" (PDF) . Полувековые обращения Американского математического общества . Том 2. AMS. С.  35–55 . ISBN 0-8218-0119-8.
• Ландо, Барбара А. (1970). «Граница Якоби для порядка систем дифференциальных уравнений первого порядка». Труды Американского математического общества . 152 : 119– 135. doi : 10.1090/S0002-9947-1970-0279079-1 .
• Оливье, Франсуа (2022). «Граница Якоби: результаты Якоби, переведенные на математические языки Кёнига, Эгервари и Ритта». Прикладная алгебра в инженерии, связи и вычислениях . 34 (5): 793– 885. arXiv : 2109.03620 . doi : 10.1007/s00200-022-00547-6. S2CID  237440393.