Тетраэдрическое число

Тетраэдрическое число , или треугольное пирамидальное число , — это фигурное число , представляющее собой пирамиду с треугольным основанием и тремя сторонами, называемую тетраэдром . N- ое тетраэдрическое число, Ten _, является суммой первых n треугольных чисел , то есть,

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)}$

Тетраэдрические числа:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (последовательность A000292 в OEIS )

Формула для n- го тетраэдрического числа представлена ​​3-м возрастающим факториалом n , деленным на факториал 3:

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}}$

Тетраэдрические числа также можно представить в виде биномиальных коэффициентов :

${\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.}$

Таким образом, тетраэдрические числа можно найти на четвертой позиции слева или справа в треугольнике Паскаля .

Это доказательство использует тот факт, что n -е треугольное число задается формулой

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Это происходит по индукции .

Базовый вариант

${\displaystyle Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.}$

Индуктивный шаг

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}}$

Формулу также можно доказать с помощью алгоритма Госпера .

Тетраэдрические и треугольные числа связаны рекурсивными формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}=T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}}$

Уравнение становится${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}}$

Подставим в уравнение${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n-1}=Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}}$

Таким образом, тетраэдрическое число -е удовлетворяет следующему рекурсивному уравнению${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}}$

Закономерность, найденная для треугольных чисел и для тетраэдрических чисел, может быть обобщена. Это приводит к формуле: ^[1]${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}}$$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

Тетраэдрические числа можно смоделировать, складывая сферы. Например, пятое тетраэдрическое число ( Te ₅ = 35 ) можно смоделировать с помощью 35 бильярдных шаров и стандартной треугольной рамы для бильярдных шаров, которая удерживает 15 шаров на месте. Затем сверху накладываются еще 10 шаров, затем еще 6, затем еще три, и один шар наверху завершает тетраэдр.

Если в качестве единицы использовать тетраэдры порядка n, построенные из Te _n сфер, можно показать, что мозаика пространства с такими единицами может обеспечить плотнейшую упаковку сфер, пока n ≤ 4. [ ^{2] [ сомнительно – обсудить ]}

По аналогии с кубическим корнем из x можно определить (действительный) тетраэдрический корень из x как число n такое, что Te _n = x :$${\displaystyle n={\sqrt[{3}]{3x+{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{3x-{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}-1}$$

что следует из формулы Кардано . Эквивалентно, если действительный тетраэдрический корень n из x является целым числом, x является n- м тетраэдрическим числом.

• Te _n + Te _{n −1} = 1 ² + 2 ² + 3 ² ... + n ² , квадратные пирамидальные числа .

  Te _2n+1 = 1 ² + 3 ² ... + (2n+1) ² , сумма нечетных квадратов.

  Te _2n = 2 ² + 4 ² ... + (2n) ²   , сумма четных квадратов.

• В 1878 году А. Дж. Мейл доказал, что только три тетраэдрических числа являются также полными квадратами , а именно:

  Те ₁ = 1 ² = 1      

  Те ₂ = 2 ² = 4      

  Те ₄₈ = 140 ² = 19600 .

• Сэр Фредерик Поллок выдвинул гипотезу, что каждое положительное целое число является суммой не более 5 тетраэдрических чисел: см. Гипотеза Поллока о тетраэдрических числах .
• Единственное тетраэдрическое число, которое также является квадратно-пирамидальным числом, — это 1 (Beukers, 1988), а единственное тетраэдрическое число, которое также является идеальным кубом, — это 1.
• Бесконечная сумма обратных величин тетраэдрических чисел равна ⁠3/2⁠ , который можно получить с помощью телескопического ряда :

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}$

• Четность тетраэдрических чисел следует повторяющемуся шаблону нечет-чет-чет-чет .
• Наблюдение за тетраэдрическими числами:

  Те ₅ = Те ₄ + Те ₃ + Те ₂ + Те ₁

• Числа, которые являются одновременно треугольными и тетраэдрическими, должны удовлетворять уравнению биномиального коэффициента :

  ${\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.}$

Единственными числами, которые являются как тетраэдрическими, так и треугольными числами, являются (последовательность A027568 в OEIS ):

Те ₁ = Т ₁ = 1   

Те ₃ = Т ₄ = 10  

Те ₈ = Т ₁₅ =  120

Те ₂₀ = Т ₅₅ = 1540

Те ₃₄ = Т ₁₁₉ = 7140

• Te _n — сумма всех произведений p × q, где ( p , q ) — упорядоченные пары и p + q = n + 1.
• Te _n — это количество ( n + 2)-битных чисел, содержащих в своем двоичном представлении две серии единиц.
• Наибольшее тетраэдрическое число вида для некоторых целых чисел и равно 8436 .${\displaystyle 2^{a}+3^{b}+1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Te ₁₂ = 364 — это общее количество подарков, «которые мне послала моя истинная любовь» в течение всех 12 куплетов гимна « Двенадцать дней Рождества ». ^[3] Общее количество подарков после каждого куплета также равно Te _n для куплета n .

Число возможных комбинаций из трех домов KeyForge также является тетраэдрическим числом, Te _{n −2,} где n — число домов.

• Центрированное треугольное число

• Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрическое число». MathWorld .
• Геометрическое доказательство формулы тетраэдрального числа Джима Делани, Демонстрационный проект Вольфрама .