Тройной кубический

В математике троичная кубическая форма — это однородный многочлен третьей степени от трех переменных.

Тройная кубическая система является одним из немногих случаев формы степени выше 2 от более чем 2 переменных, кольцо инвариантов которой было явно вычислено в 19 веке.

Алгебра инвариантов тернарной кубики относительно SL ₃ ( C ) является полиномиальной алгеброй, порожденной двумя инвариантами S и T степеней 4 и 6, называемыми инвариантами Аронхольда. Инварианты довольно сложны, когда записаны как полиномы от коэффициентов тернарной кубики, и явно даны в (Sturmfels 1993, 4.4.7, 4.5.3)

Кольцо ковариантов задается следующим образом. (Долгачев 2012, 3.4.3)

Тождественный ковариант U троичной кубики имеет степень 1 и порядок 3.

Гессиан H является ковариантом тернарных кубик степени 3 и порядка 3.

Существует ковариант G тернарных кубик степени 8 и порядка 6, который обращается в нуль в точках x, лежащих на конике Сальмона поляры x относительно кривой и ее кривой Гессе.

Ковариант Бриоски J — это якобиан U , G и H степени 12, порядка 9.

Алгебра ковариантов тернарной кубики порождается над кольцом инвариантов элементами U , G , H и J , причем квадрат J является полиномом относительно других образующих.

(Долгачев 2012, 3.4.3)

Перенос Клебша дискриминанта бинарной кубики является контравариантом F тернарных кубик степени 4 и класса 6, задавая двойственную кубику кубической кривой.

Кейлиан P троичной кубической матрицы является контравариантом степени 3 и класса 3.

Квиппиан Q троичной кубики является контравариантом степени 5 и класса 3 .

Контравариант Эрмита Π является еще одним контравариантом тернарных кубик степени 12 и класса 9.

Кольцо контравариантов генерируется над кольцом инвариантов посредством F , P , Q и Π, при этом Π ² является полиномом относительно других генераторов.

Гордан (1869) и Кейли (1881) описали кольцо сопутствующих событий, дав 34 генератора.

Перенос Клебша гессиана двоичной кубической матрицы является сопутствующим условием степени 2, порядка 2 и класса 2.

Перенос Клебша якобиана тождественного коварианта и гессиана бинарной кубики является сопутствующим тернарным кубикам степени 3, класса 3 и порядка 3

• Тернарный квартик
• Инварианты бинарной формы

• Кейли, Артур (1881), «О 34 сопутствующих элементах троичного кубического числа» , Американский журнал математики , 4 (1): 1– 15, doi : 10.2307/2369145, ISSN  0002-9327, JSTOR  2369145
• Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8
• Гордан, Пол (1869), «Ueber ternäre Formen dritten Grades», Mathematische Annalen , 1 : 90–128 , doi : 10.1007/bf01447388, ISSN  0025-5831, S2CID  123421707
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Тексты и монографии по символическим вычислениям, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , CiteSeerX  10.1.1.39.2924 , номер документа : 10.1007/978-3-211-77417-5, ISBN 978-3-211-82445-0, МР  1255980