Уравнение Тейта
Уравнение механики жидкости, связывающее плотность и давление

В механике жидкости уравнение Тейта — это уравнение состояния , используемое для связи плотности жидкости с гидростатическим давлением . Уравнение было первоначально опубликовано Питером Гатри Тейтом в 1888 году в виде [1]

В 0 − В П В 0 = А П + П {\displaystyle {\frac {V_{0}-V}{PV_{0}}}={\frac {A}{\Pi +P}}}

где - гидростатическое давление в дополнение к атмосферному, - объем при атмосферном давлении, - объем под дополнительным давлением , а - экспериментально определенные параметры. Очень подробное историческое исследование уравнения Тейта с физической интерпретацией двух параметров и приведено в ссылке. [2] П {\displaystyle P} В 0 {\displaystyle V_{0}} В {\displaystyle V} П {\displaystyle P} А , П {\displaystyle А,\Пи } А {\displaystyle А} П {\displaystyle \Пи}

Уравнение состояния Тейта-Таммана

В 1895 году [3] [4] первоначальное изотермическое уравнение Тейта было заменено Тамманном уравнением вида

К = − В 0 ( ∂ П ∂ В ) Т = В 0 ( Б + П ) С {\displaystyle {K}=-{V_{0}}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}={V_{0}}{\frac {(B+P)}{C}}}

где - изотермический смешанный модуль объемной упругости. Это уравнение обычно известно как уравнение Тейта . Интегральная форма обычно записывается К {\displaystyle К}

В = В 0 − С бревно ⁡ ( Б + П Б + П 0 ) {\displaystyle V=V_{0}-C\log \left({\frac {B+P}{B+P_{0}}}\right)}

где

  • В   {\displaystyle V\ } удельный объем вещества (в единицах мл / г или м3 / кг)
  • В 0 {\displaystyle V_{0}} это удельный объем при П = П 0 {\displaystyle P=P_{0}}
  • Б   {\displaystyle B\ } (те же единицы, что и ) и (те же единицы, что и ) являются функциями температуры П 0 {\displaystyle P_{0}} С   {\displaystyle C\ } В 0 {\displaystyle V_{0}}

Формула давления

Выражение для давления через удельный объем имеет вид

П = ( Б + П 0 ) эксп ⁡ ( − В − В 0 С ) − Б . {\displaystyle P=(B+P_{0})\exp \left(-{\frac {V-V_{0}}{C}}\right)-B\,.}

Очень подробное исследование уравнения состояния Тейта-Таммана с физической интерпретацией двух эмпирических параметров и приведено в главе 3 ссылки. [2] Выражения как функции температуры для двух эмпирических параметров и приведены для воды, морской воды, гелия-4 и гелия-3 во всей жидкой фазе вплоть до критической температуры . Особый случай переохлажденной фазы воды обсуждается в Приложении D ссылки. [5] Случай жидкого аргона между температурой тройной точки и 148 К подробно рассматривается в разделе 6 ссылки. [6] С {\displaystyle С} Б {\displaystyle Б} С {\displaystyle С} Б {\displaystyle Б} Т с {\displaystyle T_{c}}

Уравнение состояния Тейта-Мурнагана

Удельный объем как функция давления, предсказанный уравнением состояния Тейта-Мурнагана.

Другое популярное изотермическое уравнение состояния, известное под названием «уравнение Тейта» [7] [8], — это модель Мурнагана [9], которую иногда выражают как

В В 0 = [ 1 + н К 0 ( П − П 0 ) ] − 1 / н {\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}}

где — удельный объем при давлении , — удельный объем при давлении , — модуль объемной упругости при , а — параметр материала. В {\displaystyle V} П {\displaystyle P} В 0 {\displaystyle V_{0}} П 0 {\displaystyle P_{0}} К 0 {\displaystyle К_{0}} П 0 {\displaystyle P_{0}} н {\displaystyle n}

Формула давления

Это уравнение в форме давления можно записать как

П = К 0 н [ ( В 0 В ) н − 1 ] + П 0 = К 0 н [ ( ρ ρ 0 ) н − 1 ] + П 0 . {\displaystyle P={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}.}

где — плотности массы при , соответственно. Для чистой воды типичные параметры: = 101,325 Па, = 1000 кг/куб.м, = 2,15 ГПа и = 7,15. [ необходима цитата ] ρ , ρ 0 {\displaystyle \rho ,\rho _{0}} П , П 0 {\displaystyle P,P_{0}} П 0 {\displaystyle P_{0}} ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} К 0 {\displaystyle К_{0}} н {\displaystyle n}

Обратите внимание, что эта форма уравнения состояния Тейта идентична форме уравнения состояния Мурнагана .

Формула модуля объемной упругости

Касательный модуль объемной упругости, предсказанный моделью Макдональда–Тейта, равен

К = К 0 ( В 0 В ) н . {\displaystyle K=K_{0}\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}\,.}

Уравнение состояния Тумлирца–Таммана–Тайта

Уравнение состояния Тумлирца-Таммана-Тайта, основанное на подгонке к экспериментальным данным по чистой воде.

Связанное уравнение состояния, которое можно использовать для моделирования жидкостей, — это уравнение Тумлирца (иногда называемое уравнением Таммана и первоначально предложенное Тумлирцем в 1909 году и Тамманном в 1911 году для чистой воды). [4] [10] Это соотношение имеет вид

В ( П , С , Т ) = В ∞ − К 1 С + λ П 0 + К 2 С + П {\displaystyle V(P,S,T)=V_{\infty }-K_{1}S+{\frac {\lambda }{P_{0}+K_{2}S+P}}}

где — удельный объем, — давление, — соленость, — температура, — удельный объем при , и — параметры, которые можно подобрать по экспериментальным данным. В ( П , С , Т ) {\displaystyle V(P,S,T)} П {\displaystyle P} С {\displaystyle S} Т {\displaystyle Т} В ∞ {\displaystyle V_{\infty}} П = ∞ {\displaystyle P=\infty} К 1 , К 2 , П 0 {\displaystyle K_{1},K_{2},P_{0}}

Версия уравнения Тейта для пресной воды по Тумлирцу-Тамманну, т.е. когда , имеет вид С = 0 {\displaystyle S=0}

В = В ∞ + λ П 0 + П . {\displaystyle V=V_{\infty }+{\frac {\lambda }{P_{0}+P}}\,.}

Для чистой воды температурная зависимость имеет вид: [10] В ∞ , λ , П 0 {\displaystyle V_{\infty},\lambda,P_{0}}

λ = 1788.316 + 21.55053 Т − 0,4695911 Т 2 + 3.096363 × 10 − 3 Т 3 − 0,7341182 × 10 − 5 Т 4 П 0 = 5918.499 + 58.05267 Т − 1.1253317 Т 2 + 6.6123869 × 10 − 3 Т 3 − 1.4661625 × 10 − 5 Т 4 В ∞ = 0,6980547 − 0,7435626 × 10 − 3 Т + 0,3704258 × 10 − 4 Т 2 − 0,6315724 × 10 − 6 Т 3 + 0,9829576 × 10 − 8 Т 4 − 0,1197269 × 10 − 9 Т 5 + 0,1005461 × 10 − 11 Т 6 − 0,5437898 × 10 − 14 Т 7 + 0,169946 × 10 − 16 Т 8 − 0,2295063 × 10 − 19 Т 9 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=1788.316+21.55053\,T-0.4695911\,T^{2}+3.096363\times 10^{-3}\,T^{3}-0.7341182\times 10^{-5}\,T^{4}\\P_{0}&=5918.499+58.05267\,T-1.1253317\,T^{2}+6.6123869\times 10^{-3}\,T^{3}-1.4661625\times 10^{-5}\,T^{4}\\V_{\infty }&=0.6980547-0.7435626\times 10^{-3}\,T+0.3704258\times 10^{-4}\,T^{2}-0.6315724\times 10^{-6}\,T^{3}\\&+0.9829576\times 10^{-8}\,T^{4}-0.1197269\times 10^{-9}\,T^{5}+0.1005461\times 10^{-11}\,T^{6}\\&-0.5437898\times 10^{-14}\,T^{7}+0.169946\times 10^{-16}\,T^{8}-0.2295063\times 10^{-19}\,T^{9}\end{aligned}}}

В приведенных выше примерах температура указывается в градусах Цельсия, в барах, в куб. см/г и в бар-куб. см/г. T {\displaystyle T} P 0 {\displaystyle P_{0}} V ∞ {\displaystyle V_{\infty }} λ {\displaystyle \lambda }

Формула давления

Обратное соотношение Тумлирца–Таммана–Тайта для давления как функции удельного объема имеет вид

P = λ V − V ∞ − P 0 . {\displaystyle P={\frac {\lambda }{V-V_{\infty }}}-P_{0}\,.}

Формула модуля объемной упругости

Формула Тумлирца-Таммана-Тайта для мгновенного касательного модуля упругости чистой воды является квадратичной функцией (альтернативу см. в [4] ) P {\displaystyle P}

K = − V ∂ P ∂ V = V λ ( V − V ∞ ) 2 = ( P 0 + P ) + V ∞ λ ( P 0 + P ) 2 . {\displaystyle K=-V\,{\frac {\partial P}{\partial V}}={\frac {V\,\lambda }{(V-V_{\infty })^{2}}}=(P_{0}+P)+{\frac {V_{\infty }}{\lambda }}(P_{0}+P)^{2}\,.}

Модифицированное уравнение состояния Тейта

В частности, после изучения подводных взрывов и, точнее, излучаемых ударных волн, Дж. Г. Кирквуд предложил в 1965 году [11] более подходящую форму уравнения состояния для описания высоких давлений (>1 ​​кбар), выразив коэффициент изэнтропической сжимаемости как

− 1 V ( ∂ V ∂ P ) S = 1 n ( B + P ) {\displaystyle -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}={\frac {1}{n(B+P)}}}

где представляет здесь энтропию. Два эмпирических параметра и теперь являются функцией энтропии, такой что S {\displaystyle S} n {\displaystyle n} B {\displaystyle B}

  • n   {\displaystyle n\ } безразмерен
  • B   {\displaystyle B\ } имеет те же единицы измерения, что и P {\displaystyle P}

Интеграция приводит к следующему выражению для объема вдоль изэнтропы: V ( P , S ) {\displaystyle V(P,S)} S {\displaystyle S}

V V 0 = ( 1 + P 0 B ) 1 / n ( 1 + P B ) − 1 / n {\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left(1+{\frac {P_{0}}{B}}\right)^{1/n}\left(1+{\frac {P}{B}}\right)^{-1/n}}

где . V 0 = V ( P 0 , S ) {\displaystyle V_{0}=V(P_{0},S)}

Формула давления

Выражение для давления через удельный объем вдоль изэнтропы имеет вид P ( V , S ) {\displaystyle P(V,S)} S {\displaystyle S}

P = ( B + P 0 ) ( V 0 V ) n − B . {\displaystyle P=(B+P_{0})\,\left({\cfrac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-B\,.}

Очень подробное исследование модифицированного уравнения состояния Тейта с физической интерпретацией двух эмпирических параметров и приведено в главе 4 ссылки. [2] Выражения как функции энтропии для двух эмпирических параметров и приведены для воды, гелия-3 и гелия-4. n {\displaystyle n} B {\displaystyle B} n {\displaystyle n} B {\displaystyle B}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Тейт, ПГ (1888). «Отчет о некоторых физических свойствах пресной и морской воды». Физика и химия путешествия HMS Challenger . Том II, часть IV.
  2. ^ abc Aitken, Frederic; Foulc, Jean-Numa (2019). От глубоководных районов до лаборатории 3: от работы Тейта о сжимаемости морской воды до уравнений состояния жидкостей. Лондон, Великобритания: ISTE - WILEY. ISBN 9781786303769.
  3. ^ Тамманн, Г. (1895). «Über die Abhängigkeit der vollumina von Lösungen vom druck». Zeitschrift für Physikalische Chemie . 17 : 620–636.
  4. ^ abc Hayward, ATJ (1967). Уравнения сжимаемости жидкостей: сравнительное исследование. British Journal of Applied Physics, 18(7), 965. http://mitran-lab.amath.unc.edu:8081/subversion/Lithotripsy/MultiphysicsFocusing/biblio/TaitEquationOfState/Hayward_CompressEqnsLiquidsComparative1967.pdf
  5. ^ Aitken, F.; Volino, F. (ноябрь 2021 г.). «Новое единое уравнение состояния для описания динамической вязкости и коэффициента самодиффузии для всех жидких фаз воды от 200 до 1800 К на основе новой оригинальной микроскопической модели». Physics of Fluids . 33 (11): 117112. arXiv : 2108.10666 . Bibcode :2021PhFl...33k7112A. doi :10.1063/5.0069488. S2CID  237278734.
  6. ^ Aitken, Frédéric; Denat, André; Volino, Ferdinand (24 апреля 2024 г.). "Новое необширное уравнение состояния для жидких фаз аргона, включая метастабильные состояния, от линии плавления до 2300 К и 50 ГПа". Fluids . 9 (5): 102. arXiv : 1504.00633 . doi : 10.3390/fluids9050102 .
  7. ^ Томпсон, П. А. и Биверс, Г. С. (1972). Динамика сжимаемой жидкости. Журнал прикладной механики, 39, 366.
  8. ^ Кедринский, ВК (2006). Гидродинамика взрыва: эксперименты и модели. Springer Science & Business Media.
  9. ^ Макдональд, Дж. Р. (1966). Некоторые простые изотермические уравнения состояния. Reviews of Modern Physics, 38(4), 669.
  10. ^ ab Фишер, Ф. Х. и О. Э. Дайал-младший. Уравнение состояния чистой воды и морской воды. № MPL-U-99/67. ИНСТИТУТ ОКЕАНОГРАФИИ СКРИППС, МОРСКАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ, 1975. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a017775.pdf
  11. ^ Коул, Р. Х. (1965). Подводные взрывы . Нью-Йорк: Dover Publications.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tait_equation&oldid=1222486415"