Оператор Саса–Миракяна

В функциональном анализе , дисциплине в математике , операторы Саса–Миракяна (также называемые «Миракджан» и «Миракян») являются обобщениями полиномов Бернштейна на бесконечные интервалы, введенными Отто Сас в 1950 году и ГМ Миракяном в 1941 году. Они определяются как

${\displaystyle \left[{\mathcal {S}}_{n}(f)\right](x):=e^{-nx}\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {(nx)^{k}}{k!}}f\left({\tfrac {k}{n}}\right)}}$

где и . ^{[1] [2]}${\displaystyle x\in [0,\infty )\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

В 1964 году Чейни и Шарма показали, что если является выпуклым и нелинейным, то последовательность убывает с ( ). ^[3] Они также показали, что если является многочленом степени , то так же будет и для всех .${\displaystyle f}$${\displaystyle ({\mathcal {S}}_{n}(f))_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(f)\geq f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \leq м}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(f)}$${\displaystyle n}$

Обратное свойство первого свойства было показано Хоровой в 1968 году (Altomare & Campiti 1994:350).

В оригинальной статье Саса в качестве теоремы 3 доказано следующее:

Если непрерывна на , имея конечный предел на бесконечности, то сходится равномерно к при . ^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(f)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Это аналогично теореме о том, что полиномы Бернштейна приближают непрерывные функции на [0,1] .

В литературе иногда обсуждается обобщение типа Канторовича . Эти обобщения также называются операторами Саса–Миракяна–Канторовича .

В 1976 году Ч. П. Мэй показал, что операторы Баскакова можно свести к операторам Саса–Миракяна. ^[4]