Символическая сила идеала

В алгебре и алгебраической геометрии , если задано коммутативное нётерово кольцо и идеал в нём, то n -я символическая степень является идеалом${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$

${\displaystyle I^{(n)}=\bigcap _{P\in \operatorname {Задница} (R/I)}\varphi _{P}^{-1}(I^{n}R_{P})}$

где — локализация в , мы устанавливаем — каноническое отображение из кольца в его локализацию, а пересечение проходит через все связанные простые числа .${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \varphi _{P}:R\to R_{P}}$${\displaystyle Р/И}$

Хотя это определение не требует , чтобы было простым , это предположение часто работает, поскольку в случае простого идеала символическая мощность может быть эквивалентно определена как - первичный компонент . Очень грубо, он состоит из функций с нулями порядка n вдоль многообразия, определяемого . Мы имеем: и если - максимальный идеал , то .${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я^{н}}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я^{(1)}=Я}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle I^{(n)}=I^{n}}$

Символические силы порождают следующую цепочку идеалов:

${\displaystyle I^{(0)}=R\supset I=I^{(1)}\supset I^{(2)}\supset I^{(3)}\supset I^{(4)}\supset \cdots }$

Изучение и использование символических степеней имеет долгую историю в коммутативной алгебре . Знаменитое доказательство Крулля его теоремы о главном идеале использует их существенным образом. Впервые они возникли после того, как были доказаны первичные разложения для нётеровых колец . Зарисский использовал символические степени в своем исследовании аналитической нормальности алгебраических многообразий . Знаменитая лемма Шевалле о сравнении топологий утверждает, что в полной локальной области топология символических степеней любого простого числа тоньше, чем m - адическая топология . Решающий шаг в теореме об исчезновении о локальных когомологиях Хартшорна и Лихтенбаума использует то, что для простого числа, определяющего кривую в полной локальной области, степени конфинальны символическим степеням . Это важное свойство быть конфинальным было далее развито Шенцелем в 1970 - х годах . ^[1]${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$

Хотя генераторы для обычных степеней хорошо понятны, когда задано в терминах его генераторов как , во многих случаях все еще очень сложно определить генераторы символических степеней . Но в геометрической постановке существует ясная геометрическая интерпретация в случае, когда является радикальным идеалом над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики .${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{k})}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$

Если — неприводимое многообразие, идеалом исчезновения которого является , то дифференциальная степень состоит из всех функций из , которые обращаются в нуль до порядка ≥ n на , т.е.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle I^{\langle n\rangle }:=\{f\in R\mid f{\text{ исчезает по порядку}}\geq n{\text{ на всех }}X\}.}$

Или, что эквивалентно, если — максимальный идеал для точки , .${\displaystyle \mathbf {м} _{п}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle I^{\langle n\rangle }=\bigcap _{p\in X} \mathbf {m} _{p}^{n}}$

Теорема (Нагата, Зариски) ^[2] Пусть — простой идеал в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Тогда${\displaystyle Я}$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{N}]}$

${\displaystyle I^{(m)}=I^{\langle m\rangle }}$

Этот результат может быть распространен на любой радикальный идеал . ^[3] Эта формулировка очень полезна, поскольку в нулевой характеристике мы можем вычислить дифференциальные мощности в терминах генераторов как:

${\displaystyle I^{\langle m\rangle }=\left\langle f\mid {\frac {\partial ^{\mathbf {a} }f}{\partial x^{\mathbf {a} }}}\in I{\text{ для всех }}\mathbf {a} \in \mathbb {N} ^{N}{\text{ где }}|\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\leq m-1\right\rangle }$

Для другой формулировки мы можем рассмотреть случай, когда базовое кольцо является кольцом многочленов над полем . В этом случае мы можем интерпретировать n -ю символическую степень как пучок всех функциональных ростков над В самом деле, если является гладким многообразием над совершенным полем , то${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R){\text{ vanishing to order}}\geq n{\text{ at }}Z=V(I)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle I^{(n)}=\{f\in R\mid f\in \mathbf {m} ^{n}{\text{ for every closed point }}\mathbf {m} \in Z\}}$^[1]

Естественно рассмотреть, согласуются ли символические мощности с обычными мощностями, т.е. выполняется ли ? В общем случае это не так. Одним из примеров этого является простой идеал . Здесь мы имеем, что . ^[1] Однако выполняется ли и обобщение этого включения хорошо понятно. Действительно, включение следует из определения. Кроме того, известно, что тогда и только тогда, когда . Доказательство следует из леммы Накаямы . ^[4]${\displaystyle I^{n}=I^{(n)}}$${\displaystyle P=(x^{4}-yz,\,y^{2}-xz,\,x^{3}y-z^{2})\subseteq K[x,y,z]}$${\displaystyle P^{2}\neq P^{(2)}}$${\displaystyle P^{2}\subset P^{(2)}}$${\displaystyle I^{n}\subseteq I^{(n)}}$${\displaystyle I^{r}\subseteq I^{(m)}}$${\displaystyle m\leq r}$

Было проведено обширное исследование другого включения, когда символические мощности содержатся в обычных степенях идеалов, называемое проблемой включения. И снова это имеет легко сформулированный ответ, суммированный в следующей теореме. Она была разработана Эйном, Лазарфельдом и Смитом в нулевой характеристике ^[5] и была расширена до положительной характеристики Хохстером и Хунеке. ^[6] Их статьи обе основаны на результатах Ирены Свенсон в «Линейной эквивалентности идеальных топологий» (2000). ^[7]

Теорема (Эйн, Лазарфельд, Смит; Хохстер, Хунеке) Пусть — однородный идеал . Тогда включение${\displaystyle I\subset K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}]}$

${\displaystyle I^{(m)}\subset I^{r}}$ справедливо для всех${\displaystyle m\geq Nr.}$

Позднее было подтверждено, что граница в теореме не может быть ужесточена для общих идеалов. ^[8] Однако после вопроса, заданного ^[8] Боччи, Харборном и Хунеке, было обнаружено, что в некоторых случаях существует лучшая граница.${\displaystyle N}$

Теорема Включение для всех имеет место ${\displaystyle I^{(m)}\subseteq I^{r}}$${\displaystyle m\geq Nr-N+1}$

1. для произвольных идеалов в характеристике 2; ^[9]
2. для мономиальных идеалов в произвольной характеристике ^[4]
3. для идеалов d-звезд ^[8]
4. для идеалов общих точек в ^{[10] [11]}${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}{\text{ and }}\mathbb {P} ^{3}}$

• Мелвин Хохстер , Математика 711: Лекция от 7 сентября 2007 г.