Суперсимметричная калибровочная теория

Эта статья читается как учебник . Пожалуйста, улучшите эту статью, чтобы сделать ее нейтральную по тону и соответствовать стандартам качества Википедии . ( Сентябрь 2015 )

В теоретической физике существует множество теорий с суперсимметрией (SUSY), которые также имеют внутренние калибровочные симметрии . Суперсимметричная калибровочная теория обобщает это понятие.

Калибровочная теория — это теория поля с калибровочной симметрией. Грубо говоря, существует два типа симметрии: глобальная и локальная. Глобальная симметрия — это симметрия, применяемая равномерно (в некотором смысле) к каждой точке многообразия . Локальная симметрия — это симметрия, зависящая от положения. Калибровочная симметрия — это пример локальной симметрии, с симметрией, описываемой группой Ли (которая математически описывает непрерывные симметрии), которая в контексте калибровочной теории называется калибровочной группой теории.

Квантовая хромодинамика и квантовая электродинамика являются известными примерами калибровочных теорий.

В физике элементарных частиц существуют частицы с двумя типами статистик частиц : бозоны и фермионы . Бозоны несут целые значения спина и характеризуются способностью иметь любое количество идентичных бозонов, занимающих одну точку пространства. Таким образом, они отождествляются с силами . Фермионы несут полуцелые значения спина, и по принципу исключения Паули идентичные фермионы не могут занимать одну позицию в пространстве-времени. Бозонные и фермионные поля интерпретируются как материя . Таким образом, суперсимметрия считается сильным кандидатом на объединение излучения (сил, опосредованных бозонами) и материи.

Это объединение осуществляется оператором ( или, как правило, многими операторами), известными как генератор суперзаряда или суперсимметрии, который действует схематически как${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q|{\text{бозон}}\rangle =|{\text{фермион}}\rangle }$
${\displaystyle Q|{\text{fermion}}\rangle =|{\text{boson}}\rangle }$

Например, генератор суперсимметрии может взять фотон в качестве аргумента и преобразовать его в фотино и наоборот. Это происходит посредством трансляции в пространстве (параметров). Это суперпространство является -градуированным векторным пространством , где - бозонное гильбертово пространство , а - фермионное гильбертово пространство.${\displaystyle {\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^{0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}^{0}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}^{1}}$

Мотивацией для суперсимметричной версии калибровочной теории может быть тот факт, что калибровочная инвариантность согласуется с суперсимметрией. Первые примеры были обнаружены Бруно Зумино и Серджио Феррарой , а также независимо Абдусом Саламом и Джеймсом Стратди в 1974 году.

Как фермионы с полуцелым спином, так и бозоны с целым спином могут стать калибровочными частицами. Калибровочные векторные поля и их спинорный суперпартнер могут быть сделаны так, чтобы оба находились в одном и том же представлении внутренней группы симметрии.

Предположим, что у нас есть калибровочное преобразование , где — векторное поле, а — калибровочная функция. Основная трудность в построении теории калибровок SUSY заключается в том, чтобы расширить указанное выше преобразование таким образом, чтобы оно согласовывалось с преобразованиями SUSY.${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A}$${\displaystyle V_{\mu }}$${\displaystyle A}$

Калибровка Весса –Зумино (рецепт для суперсимметричной фиксации калибровки ) обеспечивает успешное решение этой проблемы. Как только такая подходящая калибровка получена, динамика калибровочной теории SUSY работает следующим образом: мы ищем лагранжиан, который инвариантен относительно преобразований суперкалибровки (эти преобразования являются важным инструментом, необходимым для разработки суперсимметричной версии калибровочной теории). Затем мы можем интегрировать лагранжиан, используя правила интегрирования Березина , и таким образом получить действие. Что далее приводит к уравнениям движения и, следовательно, может обеспечить полный анализ динамики теории.

В четырех измерениях минимальная суперсимметрия N = 1 может быть записана с использованием суперпространства . Это суперпространство включает четыре дополнительные фермионные координаты , преобразуясь как двухкомпонентный спинор и его сопряженный.${\displaystyle \theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1},{\bar {\theta }}^{2}}$

Каждое суперполе, т.е. поле, зависящее от всех координат суперпространства, может быть расширено относительно новых фермионных координат. Существует особый вид суперполей, так называемые киральные суперполя , которые зависят только от переменных θ , но не от их сопряженных (точнее, ). Однако векторное суперполе зависит от всех координат. Оно описывает калибровочное поле и его суперпартнера , а именно фермион Вейля , который подчиняется уравнению Дирака .${\displaystyle {\overline {D}}f=0}$

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)}$

V — векторное суперполе ( препотенциал ) и оно действительно ( V = V ). Поля в правой части являются компонентными полями.

Калибровочные преобразования действуют как

${\displaystyle V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}}$

где Λ — любое киральное суперполе.

Легко проверить, что хиральное суперполе

${\displaystyle W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V}$

калибровочно-инвариантна. Так же как и ее комплексно-сопряженная функция .${\displaystyle {\overline {W}}_{\dot {\alpha }}}$

Несуперсимметричная ковариантная калибровка, которая часто используется, — это калибровка Весса–Зумино . Здесь C, χ, M и N все установлены в ноль. Остаточные калибровочные симметрии являются калибровочными преобразованиями традиционного бозонного типа.

Киральное суперполе X с зарядом q преобразуется как

${\displaystyle X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\Lambda }}}X}$

Поэтому X e ^{− qV} X калибровочно инвариантно. Здесь e ^{− qV} называется мостом , поскольку он «соединяет» поле, преобразующееся только под действием Λ , с полем, преобразующимся только под действием Λ .

В более общем случае, если у нас есть действительная калибровочная группа G , которую мы хотим суперсимметризировать, мы сначала должны комплексифицировать ее до G ^c ⋅ e ^{− qV,} а затем действовать как компенсатор для комплексных калибровочных преобразований, фактически поглощая их, оставляя только действительные части. Это то, что делается в калибровке Весса–Зумино.

Давайте перефразируем все так, чтобы оно больше походило на обычную калибровочную теорию Янга–Миллса . У нас есть калибровочная симметрия U(1) , действующая на полное суперпространство с 1-суперформной калибровочной связностью A. В аналитическом базисе для касательного пространства ковариантная производная задается как . Условия интегрируемости для киральных суперполей с киральным ограничением${\displaystyle D_{M}=d_{M}+iqA_{M}}$

${\displaystyle {\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0}$

оставьте нас с

${\displaystyle \left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D}}_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.}$

Аналогичное ограничение для антихиральных суперполей оставляет нас с F _αβ = 0 . Это означает, что мы можем либо зафиксировать калибровку , либо A _α = 0 , но не обе одновременно. Назовем две различные схемы фиксации калибровки I и II соответственно. В калибровке I и в калибровке II d _α X = 0 . Теперь трюк заключается в том, чтобы использовать две различные калибровки одновременно: калибровку I для киральных суперполей и калибровку II для антихиральных суперполей. Чтобы навести мост между двумя различными калибровками, нам нужно калибровочное преобразование. Назовем его e ^{− V} (по соглашению). Если бы мы использовали одну калибровку для всех полей, X X было бы калибровочно-инвариантным. Однако нам нужно преобразовать калибровку I в калибровку II, преобразовав X в ( e ^{− V} ) ^q X . Таким образом, калибровочно-инвариантная величина равна X e ^{− qV} X .${\displaystyle A_{\dot {\alpha }}=0}$${\displaystyle {\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0}$

В калибровке I у нас все еще есть остаточная калибровка e ^Λ, где и в калибровке II у нас есть остаточная калибровка e ^Λ, удовлетворяющая d _α Λ = 0. В остаточных калибровках мост преобразуется как${\displaystyle {\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0}$

${\displaystyle e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.}$

Без дополнительных ограничений мост e ^{− V} не давал бы всей информации о калибровочном поле. Однако с дополнительным ограничением есть только одно уникальное калибровочное поле, которое совместимо с калибровочными преобразованиями моста по модулю. Теперь мост дает точно такое же информационное содержание, как и калибровочное поле.${\displaystyle F_{{\dot {\alpha }}\beta }}$

В теориях с более высокой суперсимметрией (и, возможно, более высокой размерностью) векторное суперполе обычно описывает не только калибровочное поле и фермион Вейля, но также по крайней мере одно комплексное скалярное поле .

• N = 1 Супер Янг–Миллс
• N = 2 Супер Янга–Миллса
• N = 4 Супер Янга–Миллса

• Супер КХД
• MSSM (минимальная суперсимметричная стандартная модель)
• NMSSM (Следующая за минимальной суперсимметричная стандартная модель)

• суперпотенциал
• D-термин
• F-термин
• текущее суперполе
• Суперсимметричная квантовая механика

• Стивен П. Мартин. Учебник по суперсимметрии , arXiv :hep-ph/9709356.
• Пракаш, Нирмала. Математическая перспектива теоретической физики: путешествие от черных дыр к суперструнам, World Scientific (2003).
• Кулшрешта, ДС; Мюллер-Кирстен, Х. Дж. В. (1991). «Квантование систем со связями: метод Фаддеева-Джакива против метода Дирака, примененного к суперполям». Physical Review D . Phys. Rev. D43, 3376-3383. 43 (10): 3376– 3383. Bibcode :1991PhRvD..43.3376K. doi :10.1103/PhysRevD.43.3376.