Суперфункция

В математике суперфункция — нестандартное название итерационной функции для комплексированного непрерывного индекса итерации. Грубо говоря, для некоторой функции f и некоторой переменной x суперфункция может быть определена выражением

${\displaystyle S(z;x)=\underbrace {f{\Big (}f{\big (}\dots f(x)\dots {\big )}{\Big )}} _{z{\text{ оценки функции}}\,f}.}$

Тогда S ( z ; x ) можно интерпретировать как суперфункцию функции f ( x ). Такое определение справедливо только для положительного целого индекса z . Переменная x часто опускается. Многие исследования и многие приложения суперфункций используют различные расширения этих суперфункций до комплексных и непрерывных индексов ; и анализ существования, единственности и их оценки. Функции Аккермана и тетрация могут быть интерпретированы в терминах суперфункций.

Анализ суперфункций возник из приложений оценки дробных итераций функций. Суперфункции и их обратные позволяют оценивать не только первую отрицательную степень функции ( обратную функцию ), но также любую действительную и даже комплексную итерацию этой функции. Исторически ранней функцией такого рода была ; затем эта функция использовалась в качестве логотипа физического факультета Московского государственного университета . ^[1]${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$

В то время у этих исследователей не было вычислительного доступа для оценки таких функций, но функции повезло больше : по крайней мере, существование голоморфной функции, такой как было продемонстрировано в 1950 году Гельмутом Кнезером . ^[2]${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi (\varphi (u))=\exp(u)}$

Опираясь на элегантную теорию функциональной сопряженности уравнения Шредера ^[3] для своего доказательства, Кнезер построил «суперфункцию» экспоненциального отображения через соответствующую функцию Абеля , удовлетворяющую связанному уравнению Абеля${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }$

так что . Обратная функция, найденная Кнезером, ${\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z\ }$

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{- 1}(z+{\mathcal {X}}(u))}$

является целой суперэкспонентой, хотя она не является действительной на действительной оси; она не может быть интерпретирована как тетрациональная , поскольку условие не может быть реализовано для всей суперэкспоненты. Действительная может быть построена с помощью тетрациональной (которая также является суперэкспонентой); в то время как действительная может быть построена с помощью суперфакториала .${\displaystyle S(0;x)=x}$ ${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$

Есть книга, посвященная суперфункциям ^[4]

Рекуррентную формулу приведенной выше преамбулы можно записать как

${\displaystyle S(z+1;x)=f(S(z;x))~~~~~~~~\forall z\in \mathbb {N} :z>0}$

${\displaystyle S(1)=f(x).}$

Вместо последнего уравнения можно было бы записать функцию тождества:

${\displaystyle S(0)=x~,}$

и расширить область определения суперфункции S до неотрицательных целых чисел. Тогда можно положить

${\displaystyle S(-1)=f^{-1}(x),}$

и расширить диапазон допустимости до целых значений больше −2.

Например, следующее расширение:

${\displaystyle S(-2)=f^{-2}(x)}$

не является тривиальной, поскольку обратная функция может оказаться неопределенной для некоторых значений . В частности, тетрацию можно интерпретировать как суперфункцию возведения в степень для некоторого действительного основания ; в этом случае,${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle f=\exp _{b}.}$

Тогда при х = 1,

${\displaystyle S(-1)=\log _{b}1=0,}$

но

${\displaystyle S(-2)=\log _{b}0}$

не определено.

Для расширения на нецелые значения аргумента суперфункцию следует определить другим способом.

Для комплексных чисел и таких, что принадлежит некоторой связной области , суперфункция (от до ) голоморфной функции f на области — это функция , голоморфная на области , такая, что${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle S(z\!+\!1)=f(S(z))~\forall z\in D:z\!+\!1\in D\ }$

${\displaystyle S(a)=b.\ }$

В общем случае суперфункция не является уникальной. Для данной базовой функции из данной суперфункции можно построить другую суперфункцию как${\displaystyle f}$${\displaystyle (a\mapsto d)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (a\mapsto d)}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(z)=S(z+\mu (z))\ }$

где — любая 1- периодическая функция, голоморфная по крайней мере в некоторой окрестности действительной оси, такая, что .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (a)=0}$

Модифицированная суперфункция может иметь более узкую область голоморфности. Разнообразие возможных суперфункций особенно велико в предельном случае, когда ширина области голоморфности становится равной нулю; в этом случае речь идет о вещественно-аналитических суперфункциях. ^[5]

Если диапазон требуемой голоморфности достаточно велик, то ожидается, что суперфункция будет уникальной, по крайней мере, в некоторых конкретных базовых функциях . В частности, суперфункция для , для , называется тетрацией и считается уникальной, по крайней мере, для ; для случая , ^[6] но до 2009 года уникальность была гипотезой , а не теоремой с формальным математическим доказательством .${\displaystyle H}$${\displaystyle (C,0\mapsto 1)}$${\displaystyle \exp _{b}}$${\displaystyle b>1}$${\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} ~:~\Re (z)>-2\}}$${\displaystyle b>\exp(1/\mathrm {e} )}$

Этот краткий набор элементарных суперфункций проиллюстрирован в. ^[7] Некоторые суперфункции могут быть выражены через элементарные функции ; они используются без упоминания того, что они являются суперфункциями. Например, для передаточной функции "++", что означает единичное приращение, суперфункция является просто добавлением константы.

Выберем комплексное число и определим функцию по для всех . Далее определим функцию по для всех .${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm {add} _{c}}$${\displaystyle \mathrm {add} _{c}(x)=c+x}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathrm {mul_{c}} }$${\displaystyle \mathrm {mul_{c}} (x)=c\cdot x}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$

Тогда функция является суперфункцией (от 0 до c ) функции на C.${\displaystyle S(z;x)=x+\mathrm {mul_{c}} (z)}$${\displaystyle \mathrm {add_{c}} }$

Возведение в степень — это суперфункция (от 1 до ) функции .${\displaystyle \exp _{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm {mul} _{c}}$

Примеры, за исключением последнего, приведенного ниже, по сути, взяты из новаторской работы Шредера 1870 года. ^[3]

Пусть . Тогда,${\displaystyle f(x)=2x^{2}-1}$

${\displaystyle S(z;x)=\cos(2^{z}\arccos(x))}$

является суперфункцией (итерационной орбитой) f .${\displaystyle (\mathbb {C} ,~0\!\rightarrow \!1)}$

Действительно,

${\displaystyle S(z+1;x)=\cos(2\cdot 2^{z}\arccos(x))=2\cos(2^{z}\arccos(x))^{2}-1=f(S(z;x))\ }$

и${\displaystyle S(0;x)=x.}$

В этом случае суперфункция является периодической с периодом ; и суперфункция стремится к единице в отрицательном направлении на действительной оси:${\displaystyle S}$${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\ln(2)}}i\approx 9.0647202836543876194\!~i}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }S(z)=1.\ }$

Сходным образом,

${\displaystyle f(x)=2x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

имеет итеративную орбиту

${\displaystyle S(z;x)=\sin(2^{z}\arcsin(x)).}$

В общем случае функция переноса (шага) f ( x ) не обязательно должна быть целой функцией . Пример с использованием мероморфной функции f выглядит так:

${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{1-x^{2}}}~~~~~\forall x\in D}$;${\displaystyle ~D=\mathbb {C} \setminus \{-1,1\}.}$

Его итерационная орбита (суперфункция) равна

${\displaystyle S(z;x)=\tan(2^{z}\arctan(x))}$

на C , множестве комплексных чисел, за исключением особенностей функции S. Чтобы увидеть это, вспомним тригонометрическую формулу двойного угла

${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan(\alpha )}{1-\tan(\alpha )^{2}}}~~\forall \alpha \in \mathbb {C} \setminus \{\alpha \in \mathbb {C} :\cos(\alpha )=0{\text{ or }}\sin(\alpha )=\pm \cos(\alpha )\}.}$

Пусть , , . Тогда тетрация является суперфункцией .${\displaystyle b>1}$${\displaystyle f(u)=\exp _{b}(u)}$${\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} :\Re (u)>-2\}}$ ${\displaystyle \mathrm {tet} _{b}}$${\displaystyle (C,~0\!\rightarrow \!1)}$${\displaystyle \exp _{b}}$

Обратная суперфункция для подходящего аргумента x может быть интерпретирована как функция Абеля , решение уравнения Абеля ,

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }$

и, следовательно,

${\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z.\ }$

Обратная функция, если она определена, имеет вид

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u)),}$

для подходящих доменов и диапазонов, когда они существуют. Рекурсивное свойство S тогда самоочевидно.

На рисунке слева показан пример перехода от к . График зависимости итерированной функции от действительного аргумента показан для . Тетрационал и арктетрационал использовались как суперфункция и функция Абеля экспоненты. На рисунке справа эти функции показаны в комплексной плоскости. При неотрицательном целом числе итераций итерированная экспонента является целой функцией ; при нецелых значениях она имеет две точки ветвления , которые соответствуют неподвижной точке и натурального логарифма . При функция остается голоморфной по крайней мере в полосе вдоль действительной оси.${\displaystyle \exp ^{1}\!=\!\exp }$${\displaystyle \exp ^{\!-1}\!=\!\ln }$${\displaystyle \exp ^{z}}$${\displaystyle z=2,1,0.9,0.5,0.1,-0.1,-0.5,-0.9,-1,-2}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{*}}$${\displaystyle z\!\geq \!0}$${\displaystyle \exp ^{z}(x)}$${\displaystyle |\Im (z)|<\Im (L)\approx 1.3}$

Суперфункции, обычно суперэкспоненты , предлагаются как быстрорастущая функция для модернизации представления чисел с плавающей точкой в ​​компьютерах. Такая модернизация значительно расширила бы диапазон огромных чисел, которые все еще отличимы от бесконечности.

Другие приложения включают вычисление дробных итераций (или дробных степеней) функции. Любая голоморфная функция может быть идентифицирована до функции переноса, а затем ее суперфункции и соответствующие функции Абеля могут быть рассмотрены.

Нелинейная оптика

При исследовании нелинейного отклика оптических материалов предполагается, что образец оптически тонкий, так что интенсивность света не сильно меняется при прохождении через него. Тогда можно рассмотреть, например, поглощение как функцию интенсивности. Однако при небольших изменениях интенсивности в образце точность измерения поглощения как функции интенсивности не очень хорошая. Восстановление суперфункции из передаточной функции позволяет работать с относительно толстыми образцами, повышая точность измерений. В частности, передаточная функция аналогичного образца, который вдвое тоньше, может быть интерпретирована как квадратный корень (т.е. полуитерация) передаточной функции исходного образца.

Аналогичный пример предлагается для нелинейного оптического волокна. ^[6]

Нелинейная акустика

Может иметь смысл охарактеризовать нелинейности в затухании ударных волн в однородной трубе. Это может найти применение в каком-нибудь усовершенствованном глушителе, использующем нелинейные акустические эффекты для изъятия энергии звуковых волн без нарушения потока газа. Опять же, анализ нелинейного отклика, т. е. передаточной функции, может быть усилен с помощью суперфункции.

Испарение и конденсация

При анализе конденсации можно рассматривать рост (или испарение) небольшой капли жидкости, которая диффундирует вниз по трубке с некоторой однородной концентрацией пара. В первом приближении при фиксированной концентрации пара массу капли на выходном конце можно интерпретировать как передаточную функцию входной массы. Квадратный корень этой передаточной функции будет характеризовать трубку половинной длины.

Снежная лавина

Массу снежного кома, катящегося с холма, можно рассматривать как функцию пройденного им пути. При фиксированной длине этого пути (которая может быть определена высотой холма) эту массу можно рассматривать также как передаточную функцию входной массы. Массу снежного кома можно измерить на вершине холма и внизу, что даст передаточную функцию; тогда масса снежного кома, как функция пройденного им пути, является суперфункцией.

Оперативный элемент

Если необходимо построить операционный элемент с некоторой заданной передаточной функцией и хочется реализовать его как последовательное соединение пары одинаковых операционных элементов, то каждый из этих двух элементов должен иметь передаточную функцию . Такую функцию можно оценить через суперфункцию и функцию Абеля передаточной функции .${\displaystyle H}$${\displaystyle h={\sqrt {H}}}$${\displaystyle H}$

Рабочий элемент может иметь любое происхождение: он может быть реализован в виде электронной микросхемы, или механической пары криволинейных зерен, или некой асимметричной U-образной трубки, заполненной различными жидкостями и т. д.

В данной статье использованы материалы статьи Citizendium «Superfunction», которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не по лицензии GFDL .

• Суперфункция - ТОРИ - Мизугадро, сайт исследований Дмитрия Кузнецова