Уравнение Абеля

Уравнение Абеля , названное в честь Нильса Хенрика Абеля , представляет собой тип функционального уравнения вида

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

или

${\displaystyle \альфа (f(x))=\альфа (x)+1}$.

Формы эквивалентны , когда α обратим . h или α управляют итерацией f .

Второе уравнение можно записать

${\displaystyle \альфа ^{-1}(\альфа (f(x)))=\альфа ^{-1}(\альфа (x)+1)\,.}$

Принимая x = α ⁻¹ ( y ) , уравнение можно записать

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Для известной функции f ( x ) задача состоит в решении функционального уравнения для функции α ⁻¹ ≡ h , возможно, удовлетворяющего дополнительным требованиям, таким как α ⁻¹ (0) = 1 .

Замена переменных s ^{α ( x )} = Ψ( x ) для действительного параметра s приводит уравнение Абеля к знаменитому уравнению Шредера Ψ ( f ( x )) = s  Ψ( x ) .

Дальнейшее изменение F ( x ) = exp( s ^{α ( x )} ) в уравнении Бёттхера , F ( f ( x )) = F ( x ) ^s .

Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается на него) , ^[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

например, для , ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$. (Обратите внимание: ω ( x ,0) = x .)

Функция Абеля α ( x ) дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли ( группы Ли с одним параметром ).

Первоначально было сообщено об уравнении в более общем виде ^{[2] [3]} . Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и допускает специальный анализ. ^{[4] [5] [6]}

В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно. ^[7]

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, при этом f = exp .

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,

${\displaystyle \альфа (f(f(x)))=\альфа (x)+2~,}$

и так далее,

${\displaystyle \альфа (f_{n}(x))=\альфа (x)+n~.}$

Уравнение Абеля имеет по крайней мере одно решение для тогда и только тогда, когда для всех и всех , , где , — функция f, итерированная n раз. ^[8]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f^{n}(x)\neq x}$${\displaystyle f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f}$

Имеем следующую теорему существования и единственности ^{[9] : Теорема B}

Пусть будет аналитическим , то есть имеет разложение Тейлора. Найти: действительные аналитические решения уравнения Абеля .${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$${\textstyle \alpha \circ h=\alpha +1}$

Реальное аналитическое решение существует тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:${\displaystyle \альфа}$

• ${\displaystyle ч}$не имеет неподвижных точек, то есть не существует такого, что .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle h(y)=y}$
• Множество критических точек , где , ограничено сверху, если для всех , или ограничено снизу, если для всех .${\displaystyle ч}$${\displaystyle h'(y)=0}$${\displaystyle h(y)>y}$${\displaystyle у}$${\displaystyle h(y)<y}$${\displaystyle у}$

Решение по существу уникально в том смысле, что существует каноническое решение со следующими свойствами:${\displaystyle \альфа _{0}}$

• Множество критических точек ограничено сверху, если для всех , или ограничено снизу, если для всех .${\displaystyle \альфа _{0}}$${\displaystyle h(y)>y}$${\displaystyle у}$${\displaystyle h(y)<y}$${\displaystyle у}$
• Это каноническое решение порождает все остальные решения. В частности, множество всех реальных аналитических решений задается как

$${\displaystyle \{\alpha _{0}+\beta \circ \alpha _{0}|\beta :\mathbb {R} \to \mathbb {R} {\text{ является аналитической, с периодом 1}}\}.}$$

Аналитические решения (координаты Фату) могут быть аппроксимированы асимптотическим разложением функции, определяемой степенными рядами в секторах вокруг параболической неподвижной точки . ^[10] Аналитическое решение является единственным с точностью до константы. ^[11]

• Функциональное уравнение
  • Уравнение Шредера
  • Уравнение Бёттхера
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Итерированная функция
• Оператор смены
• Суперфункция

• М. Кучма, Функциональные уравнения с одной переменной , Польское научное издательство, Варшава (1968).
• М. Кучма, Итеративные функциональные уравнения . Т. 1017. Cambridge University Press, 1990.