Оптимизация формы

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Оптимизация формы является частью области теории оптимального управления . Типичная задача заключается в поиске формы , которая является оптимальной, поскольку она минимизирует определенный функционал стоимости , удовлетворяя заданным ограничениям . Во многих случаях решаемый функционал зависит от решения заданного частного дифференциального уравнения, определенного в переменной области.

Оптимизация топологии , кроме того, касается количества связанных компонентов/границ, принадлежащих домену. Такие методы необходимы, поскольку обычно методы оптимизации формы работают в подмножестве допустимых форм, которые имеют фиксированные топологические свойства, такие как наличие фиксированного количества отверстий в них. Методы топологической оптимизации могут затем помочь обойти ограничения чистой оптимизации формы.

Математически оптимизацию формы можно сформулировать как задачу нахождения ограниченного множества , минимизирующего функционал .${\displaystyle \Омега}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega)}$,

возможно, подлежит ограничению формы

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega)=0.}$

Обычно нас интересуют множества , которые являются липшицевыми или C ¹ граничными и состоят из конечного числа компонентов , что является способом сказать, что мы хотели бы найти довольно приятную форму в качестве решения, а не какую-то мешанину грубых кусочков и кусков. Иногда для этого необходимо наложить дополнительные ограничения, чтобы обеспечить корректность постановки задачи и уникальность решения.${\displaystyle \Омега}$

Оптимизация формы — это бесконечномерная задача оптимизации. Кроме того, пространство допустимых форм, по которому выполняется оптимизация, не допускает векторной структуры пространства , что затрудняет применение традиционных методов оптимизации.

Задачи оптимизации формы обычно решаются численно , с использованием итерационных методов . То есть, человек начинает с первоначального предположения о форме, а затем постепенно развивает ее, пока она не превратится в оптимальную форму.

Чтобы решить задачу оптимизации формы, нужно найти способ представления формы в памяти компьютера и проследить ее эволюцию. Обычно используется несколько подходов.

Один из подходов заключается в том, чтобы следовать границе формы. Для этого можно сделать выборку границы формы относительно плотным и равномерным образом, то есть рассмотреть достаточное количество точек, чтобы получить достаточно точный контур формы. Затем можно развить форму, постепенно перемещая граничные точки. Это называется подходом Лагранжа .

Другой подход заключается в рассмотрении функции, определенной на прямоугольном ящике вокруг фигуры, которая положительна внутри фигуры, равна нулю на границе фигуры и отрицательна снаружи фигуры. Затем можно развить эту функцию вместо самой фигуры. Можно рассмотреть прямоугольную сетку на ящике и взять выборку функции в точках сетки. По мере развития фигуры точки сетки не меняются; изменяются только значения функции в точках сетки. Этот подход с использованием фиксированной сетки называется эйлеровым подходом . Идея использования функции для представления фигуры лежит в основе метода набора уровней .

Третий подход заключается в том, чтобы думать об эволюции формы как о задаче потока. То есть, можно представить, что форма сделана из пластичного материала, постепенно деформирующегося таким образом, что любая точка внутри или на границе формы всегда может быть прослежена до точки исходной формы один к одному. Математически, если — начальная форма, а — форма в момент времени t , то рассматриваются диффеоморфизмы${\displaystyle \Омега _{0}}$${\displaystyle \Омега _{т}}$

${\displaystyle f_{t}:\Omega _{0}\to \Omega _{t},{\mbox{ для }}0\leq t\leq t_{0}.}$

Идея снова заключается в том, что формы — это сложные объекты, с которыми трудно работать напрямую, поэтому манипулируйте ими с помощью функции.

Рассмотрим гладкое поле скоростей и семейство преобразований исходной области под полем скоростей :${\displaystyle V}$${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle \Омега _{0}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0}$,

и обозначают

${\displaystyle \Omega _{0}\mapsto T_{s}(\Omega _{0})=\Omega _{s}.}$

Тогда производная Гато или формы от at по отношению к форме является пределом${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega)}$${\displaystyle \Омега _{0}}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s}) -{\mathcal {F}}(\Omega _{0})}{s}}}$

если этот предел существует. Если вдобавок производная линейна относительно , ​​то существует единственный элемент и${\displaystyle V}$${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\partial \Omega _{0}}}$

где называется градиентом формы. Это дает естественную идею градиентного спуска , где граница эволюционирует в направлении отрицательного градиента формы, чтобы уменьшить значение функционала стоимости. Производные более высокого порядка могут быть определены аналогичным образом, что приводит к методам, подобным методам Ньютона.${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \partial \Омега}$

Обычно предпочтительным является градиентный спуск, даже если он требует большого числа итераций, поскольку может быть сложно вычислить производную второго порядка (то есть гессиан ) целевого функционала .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Если задача оптимизации формы имеет ограничения, то есть функционал присутствует, нужно найти способы преобразовать ограниченную задачу в неограниченную. Иногда идеи, основанные на множителях Лагранжа , например, метод сопряженного состояния , могут работать.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Оптимизация формы может быть выполнена с использованием стандартных методов оптимизации, если определена параметризация геометрии. Такая параметризация очень важна в области CAE, где целевые функции обычно являются сложными функциями, оцениваемыми с использованием численных моделей (CFD, FEA,...). Удобный подход, подходящий для широкого класса задач, заключается в параметризации модели CAD в сочетании с полной автоматизацией всех процессов, необходимых для оценки функции (построение сетки, решение и обработка результатов). Морфинг сетки является допустимым выбором для сложных задач, который решает типичные проблемы, связанные с повторным построением сетки, такие как разрывы в вычисляемых целевых и ограничительных функциях.

В этом случае параметризация определяется после этапа построения сетки, действуя непосредственно на численную модель, используемую для расчета, которая изменяется с использованием методов обновления сетки. Существует несколько алгоритмов, доступных для морфинга сетки (деформирующие объемы, псевдотвердые тела, радиальные базисные функции ). Выбор подхода параметризации зависит в основном от размера проблемы: подход САПР предпочтителен для моделей малого и среднего размера, в то время как подход морфинга сетки является наилучшим (а иногда и единственно возможным) для больших и очень больших моделей. Многокритериальная оптимизация Парето (NSGA II) может быть использована в качестве мощного подхода для оптимизации формы. В этом отношении подход оптимизации Парето демонстрирует полезные преимущества в методе проектирования, такие как эффект ограничения площади, который другая многокритериальная оптимизация не может объявить. Подход использования штрафной функции является эффективным методом, который может быть использован на первом этапе оптимизации. В этом методе ограниченная задача проектирования формы адаптируется к безусловной задаче с использованием ограничений в целевой функции в качестве штрафного фактора. В большинстве случаев фактор штрафа зависит от величины вариации ограничений, а не от числа ограничений. В данной задаче оптимизации применяется метод реального кодирования GA. Поэтому вычисления основаны на реальном значении переменных. ^[1]

• Код SU2
• Топологическая производная
• Оптимизация топологии

• Аллер, Г. (2002) Оптимизация формы методом гомогенизации . Прикладные математические науки 146, Springer Verlag. ISBN 0-387-95298-5 
• Ашок Д. Белегунду, Тирупати Р. Чандрапатла. (2003) Концепции оптимизации и их применение в инженерном деле Prentice Hall. ISBN 0-13-031279-7 . 
• Бендсё М. П.; Зигмунд О. (2003) Оптимизация топологии: теория, методы и приложения . Springer. ISBN 3-540-42992-1 . 
• Burger, M.; Osher, SL (2005) Обзор методов набора уровней для обратных задач и оптимального проектирования . Европейский журнал прикладной математики, т. 16, стр. 263–301.
• Delfour, MC; Zolesio, J.-P. (2001) Формы и геометрии - анализ, дифференциальное исчисление и оптимизация . SIAM. ISBN 0-89871-489-3 . 
• Хаслингер, Дж.; Мякинен, Р. (2003) Введение в оптимизацию формы: теория, аппроксимация и вычисления . Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-536-9 . 
• Лапорт, Э.; Ле Таллек, П. (2003) Численные методы анализа чувствительности и оптимизации формы . Биркхойзер. ISBN 0-8176-4322-2 . 
• Мохаммади, Б.; Пиронно, О. (2001) Прикладная оптимизация формы для жидкостей . Oxford University Press. ISBN 0-19-850743-7 . 
• Саймон Дж. (1980) Дифференцирование по области в краевых задачах . Численный анализ и оптимизация, 2(7&8), 649-687 (1980).

• Optopo Group — Моделирование и библиография группы optopo в Ecole Polytechnique (Франция). Метод гомогенизации и метод набора уровней.