Стабильная гомотопическая теория

В математике , стабильная гомотопическая теория является частью гомотопической теории (и , таким образом, алгебраической топологии ) , занимающейся всеми структурами и явлениями, которые остаются после достаточно многих применений функтора подвески . Основополагающим результатом была теорема Фрейденталя о подвеске , которая утверждает, что для любого точечного пространства гомотопические группы стабилизируются для достаточно больших . В частности, гомотопические группы сфер стабилизируются для . Например,${\displaystyle X}$${\displaystyle \пи _{n+k}(\Сигма ^{n}X)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _ {n+k}(S^{n})}$${\displaystyle n\geq k+2}$

${\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2} (S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }$

${\displaystyle \langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{ 5}(S^{4})\cong \cdots }$

В двух приведенных выше примерах все отображения между гомотопическими группами являются приложениями функтора надстройки . Первый пример является стандартным следствием теоремы Гуревича , что . Во втором примере отображение Хопфа , , отображается в свою надстройку , которая порождает .${\displaystyle \пи _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \эта}$${\displaystyle \Сигма \эта }$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$

Одной из важнейших проблем в стабильной гомотопической теории является вычисление стабильных гомотопических групп сфер . Согласно теореме Фрейденталя, в стабильной области гомотопические группы сфер зависят не от конкретных размеров сфер в области и цели, а от разницы в этих размерах. С учетом этого k -й стабильный стебель равен

${\displaystyle \pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}$.

Это абелева группа для всех k . Теорема Жана-Пьера Серра ^[1] гласит , что эти группы конечны для . Фактически, композиция превращает в градуированное кольцо . Теорема Горо Нисиды ^[2] утверждает, что все элементы положительной градуировки в этом кольце нильпотентны. Таким образом, единственными простыми идеалами являются простые числа в . Таким образом, структура довольно сложна.${\displaystyle к\neq 0}$${\displaystyle \пи _{*}^{S}}$${\displaystyle \pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \пи _{*}^{с}}$

В современной трактовке стабильной гомотопической теории пространства обычно заменяются спектрами . Следуя этой линии мысли, можно создать целую стабильную гомотопическую категорию . Эта категория обладает многими приятными свойствами, которых нет в (нестабильной) гомотопической категории пространств, вытекающими из того факта, что функтор надстройки становится обратимым. Например, понятия последовательности корасслоения и последовательности расслоения эквивалентны.

• Фильтрация Адамса
• Спектральная последовательность Адамса
• Хроматическая гомотопическая теория
• Эквивариантная стабильная гомотопическая теория
• Теорема о нильпотентности

• Адамс, Дж. Франк (1966), Стабильная гомотопическая теория , Второе исправленное издание. Лекции, прочитанные в Калифорнийском университете в Беркли, т. 1961, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0196742
• May, J. Peter (1999), "Стабильная алгебраическая топология, 1945–1966" (PDF) , Стабильная алгебраическая топология, 1945--1966 , Амстердам: Северная Голландия, стр.  665–723 , CiteSeerX  10.1.1.30.6299 , doi :10.1016/B978-044482375-5/50025-0, ISBN 9780444823755, МР  1721119
• Равенел, Дуглас К. (1992), Нильпотентность и периодичность в стабильной гомотопической теории , Annals of Mathematics Studies, т. 128, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-02572-8, г-н  1192553