волокнистость Хопфа

В дифференциальной топологии расслоение Хопфа (также известное как расслоение Хопфа или отображение Хопфа ) описывает 3-сферу ( гиперсферу в четырехмерном пространстве ) в терминах окружностей и обычной сферы . Открытое Хайнцем Хопфом в 1931 году, оно является влиятельным ранним примером расслоения волокон . Технически Хопф нашел непрерывную функцию (или «отображение») « многие-к-одному » из 3 -сферы на 2 -сферу, такую, что каждая отдельная точка 2 - сферы отображается из отдельной большой окружности 3 - сферы (Хопф 1931). ^[1] Таким образом, 3 -сфера состоит из волокон, где каждое волокно является окружностью — по одному для каждой точки 2 -сферы.

Эта структура пучка волокон обозначается

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},}$

это означает, что расслоенное пространство S ¹ (окружность) вложено в полное пространство S ³ ( 3 -сферу), а p  :  S ³ → S ² (отображение Хопфа) проецирует S ³ на базовое пространство S ² (обычную 2 -сферу). Расслоение Хопфа, как и любое расслоение, обладает важным свойством, что локально оно является пространством произведения . Однако оно не является тривиальным расслоением, т. е. S ³ не является глобально произведением S ² и S ¹ , хотя локально оно неотличимо от него.

Это имеет много последствий: например, существование этого расслоения показывает, что высшие гомотопические группы сфер не являются тривиальными в общем случае. Это также дает базовый пример главного расслоения , отождествляя волокно с группой окружности .

Стереографическая проекция расслоения Хопфа индуцирует замечательную структуру на R ³ , в которой все 3-мерное пространство, за исключением оси z, заполнено вложенными торами, сделанными из связывающих окружностей Вилларсо . Здесь каждое волокно проецируется на окружность в пространстве (одна из которых является прямой, мыслимой как «окружность через бесконечность»). Каждый тор является стереографической проекцией обратного образа окружности широты 2- сферы. (Топологически тор является произведением двух окружностей.) Эти торы проиллюстрированы на изображениях справа. Когда R ³ сжимается до границы шара, некоторая геометрическая структура теряется, хотя топологическая структура сохраняется (см. Топология и геометрия ). Петли гомеоморфны окружностям, хотя они не являются геометрическими окружностями .

Существует множество обобщений расслоения Хопфа. Единичная сфера в комплексном координатном пространстве C ^{n +1} естественным образом расслаивается над комплексным проективным пространством CP ⁿ с окружностями в качестве слоев, и существуют также вещественные , кватернионные , ^[2] и октонионные версии этих расслоений. В частности, расслоение Хопфа принадлежит к семейству из четырех расслоений, в которых полное пространство, базовое пространство и расслоенное пространство являются сферами:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.}$

По теореме Адамса такие расслоения могут возникать только в этих измерениях.

Для любого натурального числа n , n -мерная сфера, или n-сфера , может быть определена как множество точек в -мерном пространстве , которые находятся на фиксированном расстоянии от центральной точки . Для конкретности центральная точка может быть принята за начало координат , а расстояние точек на сфере от этого начала координат можно предположить равным единице длины. При таком соглашении n -сфера , , состоит из точек в с x ₁ ²  +  x ₂ ²  + ⋯+  x _{n + 1} ²  = 1. Например, 3 -сфера состоит из точек ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) в R ⁴ с x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ²  = 1.${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Расслоение Хопфа p : S ³ → S ² 3 - сферы над 2 -сферой можно определить несколькими способами.

Определим R ⁴ с помощью C ² и R ³ с помощью C × R (где C обозначает комплексные числа ), записав:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_ {3}+ix_{4})}$

и

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})}$.

Таким образом, S ³ отождествляется с подмножеством всех ( z ₀ , z ₁ ) в C ² таким образом, что | z ₀ | ² + | z ₁ | ²  = 1 , а S ² отождествляется с подмножеством всех ( z , x ) в C × R таким образом, что | z | ²  +  x ² = 1 . (Здесь для комплексного числа z  = x  + i y , | z | ²  = z  z ^∗  = x ²  +  y ² , где звездочка обозначает комплексно сопряженное число .) Тогда расслоение Хопфа p определяется как

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

Первый компонент является комплексным числом, тогда как второй компонент является действительным. Любая точка на 3-мерной сфере должна обладать свойством | z ₀ | ²  + | z ₁ | ²  = 1 . Если это так, то p ( z ₀ , z ₁ ) лежит на единичной 2-мерной сфере в C × R , как можно показать, сложив квадраты абсолютных значений комплексных и действительных компонент p

${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1}$

Более того, если две точки на 3-сфере отображаются в одну и ту же точку на 2-сфере, т. е. если p ( z ₀ , z ₁ ) = p ( w ₀ , w ₁ ) , то ( w ₀ , w ₁ ) должно быть равно ( λ  z ₀ , λ  z ₁ ) для некоторого комплексного числа λ с | λ | ²  = 1 . Обратное также верно; любые две точки на 3 -сфере, которые отличаются общим комплексным множителем λ, отображаются в одну и ту же точку на 2 -сфере. Эти выводы следуют из того, что комплексный множитель λ сокращается со своим комплексно-сопряженным λ ^∗ в обеих частях p : в комплексной 2 z ₀ z ₁ ^∗ компоненте и в действительной компоненте | z ₀ | ²  − | z ₁ | ² .

Так как множество комплексных чисел λ с | λ | ²  = 1 образует единичную окружность в комплексной плоскости, то для каждой точки m в S ² прообраз p ⁻¹ ( m ) является окружностью, т. е. p ⁻¹ m  ≅  S ¹ . Таким образом, 3 - сфера реализуется как несвязное объединение этих круговых волокон.

Прямая параметризация 3 -сферы с использованием карты Хопфа выглядит следующим образом. ^[3]

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

или в евклидовом R ⁴

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

Где η изменяется в диапазоне от 0 до π /2 , ξ ₁ изменяется в диапазоне от 0 до 2 π , а ξ ₂ может принимать любое значение от 0 до 4 π . Каждое значение η , за исключением 0 и π /2 , которые задают окружности, задает отдельный плоский тор в 3 -сфере, и один круговой обход ( от 0 до 4 π ) либо ξ ₁ , либо ξ ₂ заставляет вас сделать один полный круг по обоим концам тора.

Отображение приведенной выше параметризации на 2 -сферу выглядит следующим образом, с точками на окружностях, параметризованными ξ ₂ .

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

Геометрическую интерпретацию расслоения можно получить с помощью комплексной проективной прямой , CP ¹ , которая определяется как множество всех комплексных одномерных подпространств C 2 ^. Эквивалентно, CP ¹ является фактором C ² \{0} по отношению эквивалентности , которое отождествляет ( z ₀ , z ₁ ) с ( λ z ₀ , λ z ₁ ) для любого ненулевого комплексного числа λ . На любой комплексной прямой в C ² есть окружность единичной нормы, и поэтому ограничение отображения фактора ^на точки единичной нормы является расслоением S 3 над CP ¹ .

CP ¹ диффеоморфна 2- сфере: действительно, ее можно отождествить со сферой Римана C _∞ = C ∪ {∞} , которая является одноточечной компактификацией C(полученной путем добавления точки на бесконечности ). Формула, приведенная для p выше, определяет явный диффеоморфизм между комплексной проективной прямой и обычной 2 -сферой в 3 -мерном пространстве. В качестве альтернативы, точка ( z ₀ , z ₁ ) может быть отображена в отношение z ₁ / z ₀ в сфере Римана C _∞ .

Расслоение Хопфа определяет расслоение с проекцией расслоения p . Это означает, что оно имеет «локальную структуру произведения» в том смысле, что каждая точка 2 -сферы имеет некоторую окрестность U , обратный образ которой в 3 -сфере можно отождествить с произведением U и окружности : p ⁻¹ ( U ) ≅  U × S ¹ . Такое расслоение называется локально тривиальным .

Для расслоения Хопфа достаточно удалить одну точку m из S ² и соответствующую окружность p ⁻¹ ( m ) из S ³ ; таким образом, можно взять U = S ² \{ m } , и любая точка в S ² имеет окрестность такого вида.

Другая геометрическая интерпретация расслоения Хопфа может быть получена путем рассмотрения вращений 2- мерной сферы в обычном 3 -мерном пространстве. Группа вращений SO(3) имеет двойное покрытие , группу спинов Spin(3) , диффеоморфную 3 -мерной сфере . Группа спинов действует транзитивно на S ² вращениями. Стабилизатор точки изоморфен группе окружности ; ее элементы являются углами поворота, оставляющими данную точку неподвижной, все они разделяют ось, соединяющую эту точку с центром сферы. Легко следует, что 3- мерная сфера является главным расслоением окружностей над 2- мерной сферой, и это расслоение Хопфа.

Чтобы сделать это более явным, существует два подхода: группу Spin(3) можно отождествить либо с группой Sp(1) единичных кватернионов , либо со специальной унитарной группой SU(2) .

В первом подходе вектор ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) в R ⁴ интерпретируется как кватернион q ∈ H путем записи

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

Затем 3 - сфера отождествляется с версорами , кватернионами единичной нормы, теми q ∈ H , для которых | q | ² = 1 , где | q | ² = qq ^∗ , что равно x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² для q , как указано выше.

С другой стороны, вектор ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) в R ³ можно интерпретировать как чистый кватернион

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Тогда, как хорошо известно со времен Кэли (1845), отображение

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

является вращением в R ³ : действительно, это явно изометрия , так как | qpq ^∗ | ² = qpq ^∗ qp ^∗ q ^∗ = qpp ^∗ q ^∗ = | p | ² , и нетрудно проверить, что она сохраняет ориентацию.

Фактически, это отождествляет группу версоров с группой вращений R ³ , по модулю того факта, что версоры q и − q определяют одно и то же вращение. Как отмечено выше, вращения действуют транзитивно на S ² , и множество версоров q , которые фиксируют заданный правый версор p, имеет вид q = u + v p , где u и v — действительные числа с u ² + v ² = 1 . Это подгруппа окружности. Для конкретности можно взять p = k , и тогда расслоение Хопфа можно определить как отображение, отправляющее версор ω в ω k ω ^∗ . Все кватернионы ωq , где q — один из кругов версоров, которые фиксируют k , отображаются в одно и то же (что оказывается одним из двух вращений на 180° , поворачивающих k в то же место, что и ω ).

Другой способ взглянуть на это расслоение заключается в том, что каждый версор ω перемещает плоскость, натянутую на {1, k } , в новую плоскость, натянутую на { ω , ωk } . Любой кватернион ωq , где q — один из кругов версоров, фиксирующих k , будет иметь тот же эффект. Мы помещаем все это в одно волокно, и волокна могут быть отображены один к одному на 2 -сферу поворотов на 180° , которая является диапазоном ωkω ^* .

Этот подход связан с прямым построением путем отождествления кватерниона q = x ₁ + i x ₂ + j x ₃ + k x ₄ с матрицей 2×2 :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Это отождествляет группу версоров с SU(2) , а мнимые кватернионы — с косоэрмитовыми матрицами 2×2 (изоморфными C × R ).

Вращение, вызванное единичным кватернионом q = w + i x + j y + k z, явно задается ортогональной матрицей

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.}$

Здесь мы находим явную действительную формулу для проекции пучка, отмечая, что фиксированный единичный вектор вдоль оси z , (0,0,1) , поворачивается к другому единичному вектору,

${\displaystyle {\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!}$

которая является непрерывной функцией ( w , x , y , z ) . То есть, изображение q ^— это точка на 2 -сфере, куда он посылает единичный вектор вдоль оси z . Волокно для данной точки на S2 состоит из всех тех единичных кватернионов, которые посылают туда единичный вектор.

^{Мы также} можем написать явную формулу для волокна над точкой ( a , b , c ) в S2 . Умножение единичных кватернионов производит композицию вращений, и

${\displaystyle q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta }$

есть поворот на 2 θ вокруг оси z . При изменении θ это выметает большую окружность S ³ , нашего прототипического волокна. Пока базовая точка ( a , b , c ) не является антиподом (0, 0, −1) , кватернион

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)}$

отправит (0, 0, 1) в ( a , b , c ) . Таким образом, волокно ( a , b , c ) задается кватернионами вида q _{( a , b , c )} q _θ , которые являются точками S ³

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!}$

Поскольку умножение на q _{( a , b , c )} действует как поворот пространства кватернионов, волокно представляет собой не просто топологическую окружность, а геометрическую окружность.

Окончательное волокно для (0, 0, −1) можно получить, определив q _(0,0,−1) равным i , что даст

${\displaystyle {\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},}$

что завершает расслоение. Но обратите внимание, что это взаимно-однозначное отображение между S ³ и S ² × S ¹ не является непрерывным на этой окружности, отражая тот факт, что S ³ топологически не эквивалентно S ² × S ¹ .

Таким образом, простой способ визуализации расслоения Хопфа заключается в следующем. Любая точка на 3-мерной сфере эквивалентна кватерниону , который, в свою очередь, эквивалентен определенному повороту декартовой системы координат в трех измерениях. Набор всех возможных кватернионов создает набор всех возможных поворотов, который перемещает кончик одного единичного вектора такой системы координат (скажем, вектора z ) во все возможные точки на единичной 2- мерной сфере. Однако фиксация кончика вектора z не определяет поворот полностью; возможен дальнейший поворот вокруг оси z . Таким образом, 3- мерная сфера отображается на 2 -мерную сферу, плюс один поворот.

Вращение можно представить с помощью углов Эйлера θ , φ и ψ . Отображение Хопфа отображает вращение в точку на 2-сфере, заданную θ и φ, а связанная окружность параметризуется ψ. Обратите внимание, что когда θ = π, углы Эйлера φ и ψ не определены по отдельности, поэтому у нас нет взаимно-однозначного отображения (или взаимно-двух отображений) между 3-тором ( θ , φ , ψ ) и S ³ .

Если расслоение Хопфа рассматривать как векторное поле в 3-мерном пространстве, то существует решение (сжимаемых, невязких) уравнений Навье–Стокса динамики жидкости, в которых жидкость течет вдоль окружностей проекции расслоения Хопфа в 3-мерном пространстве. Величину скоростей, плотности и давления можно выбрать в каждой точке для удовлетворения уравнений. Все эти величины падают до нуля при удалении от центра. Если a — расстояние до внутреннего кольца, то поля скоростей, давления и плотности задаются как:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

для произвольных констант A и B. Аналогичные модели полей обнаруживаются как солитонные решения магнитогидродинамики : ^[4]

Конструкция Хопфа, рассматриваемая как расслоение p : S ³ → CP ¹ , допускает несколько обобщений, которые также часто называют расслоениями Хопфа. Во-первых, можно заменить проективную прямую n -мерным проективным пространством . Во-вторых, можно заменить комплексные числа любой (вещественной) алгеброй с делением , включая (для n = 1) октонионы .

Действительная версия расслоения Хопфа получается, если рассматривать окружность S ¹ как подмножество R ² обычным образом и отождествлять антиподальные точки. Это дает расслоение S ¹ → RP ¹ над действительной проективной прямой со слоем S ⁰ = {1, −1}. Так же, как CP ¹ диффеоморфен сфере, RP ¹ диффеоморфен окружности.

В более общем случае n -сфера S ⁿ расслаивается над вещественным проективным пространством RP ⁿ со слоем S ⁰ .

Конструкция Хопфа дает расслоения окружностей p  : S ^{2 n +1} → CP ⁿ над комплексным проективным пространством . Это на самом деле ограничение тавтологического линейного расслоения над CP ⁿ на единичную сферу в C ^{n +1} .

Аналогично, можно рассматривать S ^{4 n+3} как лежащее в H ⁿ⁺¹ ( кватернионное n -пространство) и выносить за скобки с помощью умножения единичного кватерниона (= S ³ ), чтобы получить кватернионное проективное пространство HP ⁿ . В частности, поскольку S ⁴ = HP ¹ , существует расслоение S ⁷ → S ⁴ со слоем S ³ .

Аналогичная конструкция с октонионами даёт расслоение S ¹⁵ → S ⁸ со слоем S ⁷ . Но сфера S ³¹ не расслаивается над S ¹⁶ со слоем S ¹⁵ . Можно рассматривать S ⁸ как октонионную проективную прямую OP ¹ . Хотя можно также определить октонионную проективную плоскость OP ² , сфера S ²³ не расслаивается над OP ² со слоем S ⁷ . ^{[5] [6]}

Иногда термин «расслоение Хопфа» ограничивается расслоениями между сферами, полученными выше, которые являются

• S ¹ → S ¹ с волокном S ⁰
• S ³ → S ² с волокном S ¹
• S ⁷ → S ⁴ с волокном S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ с волокном S ⁷

Как следствие теоремы Адамса , расслоения со сферами в качестве общего пространства, базового пространства и волокна могут встречаться только в этих измерениях. Расслоения с похожими свойствами, но отличающиеся от расслоений Хопфа, использовались Джоном Милнором для построения экзотических сфер .

Расслоение Хопфа имеет много следствий, некоторые чисто привлекательные, другие более глубокие. Например, стереографическая проекция S ³ → R ³ индуцирует замечательную структуру в R ³ , которая, в свою очередь, проливает свет на топологию расслоения (Lyons 2003). Стереографическая проекция сохраняет окружности и отображает волокна Хопфа в геометрически совершенные окружности в R ^{3 ,} которые заполняют пространство. Здесь есть одно исключение: окружность Хопфа, содержащая точку проекции, отображается в прямую линию в R ³ — «окружность через бесконечность».

Волокна над кругом широты на S ² образуют тор в S ³ (топологически тор является произведением двух кругов), и они проецируются на вложенные торы в R ^{3 ,} которые также заполняют пространство. Отдельные волокна отображаются на связывающие круги Вилларсо на этих торах, за исключением круга, проходящего через точку проекции, и круга, проходящего через противоположную точку : первый отображается на прямую линию, последний на единичный круг, перпендикулярный этой линии и центрированный на ней, который можно рассматривать как вырожденный тор, чей малый радиус уменьшился до нуля. Любое другое изображение волокна также охватывает линию, и поэтому, по симметрии, каждый круг связан с каждым кругом, как в R ³ , так и в S ³ . Два таких связывающих круга образуют зацепление Хопфа в R ³

Хопф доказал, что отображение Хопфа имеет инвариант Хопфа 1, и, следовательно, не является нуль-гомотопным . Фактически, оно порождает гомотопическую группу π ₃ ( S ² ) и имеет бесконечный порядок.

В квантовой механике сфера Римана известна как сфера Блоха , а расслоение Хопфа описывает топологическую структуру квантово-механической двухуровневой системы или кубита . Аналогично топология пары запутанных двухуровневых систем задается расслоением Хопфа

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.}$

(Mosseri & Dandoloff 2001). Более того, расслоение Хопфа эквивалентно структуре расслоения монополя Дирака . ^[7]

Расслоение Хопфа также нашло применение в робототехнике , где оно использовалось для генерации однородных выборок на SO(3) для вероятностного алгоритма дорожной карты в планировании движения. ^[8] Оно также нашло применение в автоматическом управлении квадрокоптерами . ^{[9] [10]}

• Кейли, Артур (1845), «О некоторых результатах, касающихся кватернионов» (PDF) , Philosophical Magazine , 26 (171): 141–145, doi :10.1080/14786444508562684; перепечатано как статья 20 в Cayley, Arthur (1889), The collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, т. (1841–1853), Cambridge University Press , стр. 123–126
• Хопф, Хайнц (1931), «Über die Abbildungen der drei Dimensionen Sphäre auf die Kugelfläche» , Mathematische Annalen , 104 (1), Берлин: Springer : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962, ISSN  0025-5831, S2CID  1235338 91
• Хопф, Хайнц (1935), «Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension», Fundamenta Mathematicae , 25 , Варшава: Польский акад. Sci.: 427–440, doi : 10.4064/fm-25-1-427-440 , ISSN  0016-2736.
• Lyons, David W. (апрель 2003 г.), «Элементарное введение в расслоение Хопфа» (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, arXiv : 2212.01642 , doi : 10.2307/3219300, ISSN  0025-570X, JSTOR  3219300
• Моссери, Р.; Дандолофф, Р. (2001), «Геометрия запутанных состояний, сфер Блоха и расслоений Хопфа», Журнал физики A: математические и теоретические , 34 (47): 10243–10252, arXiv : quant-ph/0108137 , Bibcode : 2001JPhA...3410243M, doi : 10.1088/0305-4470/34/47/324, S2CID  119462869.
• Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон, PMS 14, Princeton University Press (опубликовано в 1999 году), ISBN 978-0-691-00548-5
• Urbantke, HK (2003), «Расслоение Хопфа — семь раз в физике», Журнал геометрии и физики , 46 (2): 125–150, Bibcode : 2003JGP....46..125U, doi : 10.1016/S0393-0440(02)00121-3
• Zamboj, Michal (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Journal of Computational Design and Engineering . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.
• Банчофф, Томас (1988). «Геометрия отображения Хопфа и торов Пинколла заданного конформного типа». В Tangora, Мартин (ред.). Компьютеры в алгебре . Нью-Йорк и Базель: Марсель Деккер. стр. 57–62.

• «Расслоение Хопфа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Роуленд, Тодд. "Расслоение Хопфа". MathWorld .
• Главы 7 и 8 курса «Математика измерений» иллюстрируют расслоение Хопфа с помощью анимированной компьютерной графики.
• Элементарное введение в расслоение Хопфа Дэвида В. Лайонса ( PDF )
• Анимация на YouTube, демонстрирующая динамическое отображение точек на 2-сфере в окружности на 3-сфере, созданная профессором Найлсом Джонсоном.
• Анимация на YouTube построения 120-ячеечного многоугольника, созданная Джаном Марко Тодеско, демонстрирует расслоение Хопфа 120-ячеечного многоугольника.
• Видео одного 30-ячеечного кольца из 600 ячеек с http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
• Интерактивная визуализация отображения точек на 2-сфере на окружности на 3-сфере