Сплит-бикватернион

В математике сплит -бикватернион — это гиперкомплексное число вида

${\displaystyle q=w+x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k},}$

где w , x , y , и z являются расщепленными комплексными числами и i, j, и k умножаются как в группе кватернионов . Поскольку каждый коэффициент w , x , y , z охватывает два действительных измерения , расщепленный бикватернион является элементом восьмимерного векторного пространства . Учитывая, что он несет умножение, это векторное пространство является алгеброй над действительным полем или алгеброй над кольцом , где расщепленные комплексные числа образуют кольцо. Эта алгебра была введена Уильямом Кингдоном Клиффордом в статье 1873 года для Лондонского математического общества . С тех пор она неоднократно отмечалась в математической литературе, по-разному как отклонение в терминологии, иллюстрация тензорного произведения алгебр и как иллюстрация прямой суммы алгебр . Расщепленные бикватернионы были идентифицированы алгебраистами различными способами; см. § Синонимы ниже.

Сплит-бикватернион является кольцом, изоморфным алгебре Клиффорда Cl _0,3 ( R ). Это геометрическая алгебра, порожденная тремя ортогональными мнимыми единичными базисными направлениями, { e ₁ , e ₂ , e ₃ } по правилу комбинирования

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}-1&i=j,\\-e_{j}e_{i}&i\neq j\end{cases}}}$

давая алгебру, натянутую на 8 базисных элементов {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ } , с ( e ₁ e ₂ ) ² = ( e ₂ e ₃ ) ² = ( e ₃ e ₁ ) ² = −1 и ω ² = ( e ₁ e ₂ e ₃ ) ² = +1. Подалгебра, натянутая на 4 элемента {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ } , является телом кватернионов Гамильтона , H = Cl _0,2 ( R ) . Таким образом, можно видеть, что

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} \otimes \mathbf {D} }$

где D = Cl _1,0 ( R ) — алгебра, натянутая на {1, ω} , алгебра расщепленно -комплексных чисел . Эквивалентно,

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$

Расщепленные бикватернионы образуют ассоциативное кольцо , как это ясно из рассмотрения умножений в его базисе {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Когда ω присоединяется к группе кватернионов, получается группа из 16 элементов

( {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, × ).

Поскольку элементы {1, i, j, k} группы кватернионов можно взять за основу пространства расщепленных бикватернионов, его можно сравнить с векторным пространством . Но расщепленные комплексные числа образуют кольцо, а не поле, поэтому векторное пространство не подходит. Скорее, пространство расщепленных бикватернионов образует свободный модуль . Этот стандартный термин теории колец выражает сходство с векторным пространством, и эта структура Клиффорда в 1873 году является примером. расщепленные бикватернионы образуют алгебру над кольцом , но не групповое кольцо .

Прямая сумма деления кольца кватернионов с самим собой обозначается . Произведение двух элементов и находится в этой алгебре прямой суммы .${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$${\displaystyle (a\oplus b)}$${\displaystyle (c\oplus d)}$${\displaystyle ac\oplus bd}$

Предложение: Алгебра расщепленных бикватернионов изоморфна${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$

доказательство: Каждый расщепленный бикватернион имеет выражение q = w + z ω, где w и z — кватернионы, а ω ² = +1. Теперь, если p = u + v ω — другой расщепленный бикватернион, их произведение равно

${\displaystyle pq=uw+vz+(uz+vw)\omega .}$

Отображение изоморфизма из расщепленных бикватернионов в задается формулой${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$

${\displaystyle p\mapsto (u+v)\oplus (uv),\quad q\mapsto (w+z)\oplus (wz).}$

В , произведение этих изображений, согласно алгебраическому произведению, указанному выше, равно${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$

${\ displaystyle (u + v) (w + z) \ oplus (uv) (wz).}$

Этот элемент также является образом pq при отображении в Таким образом, произведения согласуются, отображение является гомоморфизмом; а поскольку оно биективно , оно является изоморфизмом.${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$

Хотя расщепленные бикватернионы образуют восьмимерное пространство, подобно бикватернионам Гамильтона, на основании Предложения очевидно, что эта алгебра распадается на прямую сумму двух копий действительных кватернионов.

Сплит-бикватернионы не следует путать с (обычными) бикватернионами, ранее введенными Уильямом Роуэном Гамильтоном . Бикватернионы Гамильтона являются элементами алгебры

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C})=\mathbf {H} \otimes \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \mathbf {C} .}$

Следующие термины и соединения относятся к алгебре расщепленных бикватернионов:

• Эллиптические бикватернионы – Клиффорд 1873, Руни 2007
• Бикватернион Клиффорда - Жоли 1905 г., ван дер Варден 1985 г.
• дикватернионы – Розенфельд 1997
• ${\displaystyle \mathbf {D} \otimes \mathbf {H} }$где D = расщепленные комплексные числа – Бурбаки 2013, Розенфельд 1997
• ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$, прямая сумма двух кватернионных алгебр – ван дер Варден 1985

• Сплит-октонионы