Сферическое среднее

В математике сферическое среднее значение функции вокруг точки — это среднее значение всех значений этой функции на сфере заданного радиуса с центром в этой точке.

Рассмотрим открытое множество U в евклидовом пространстве R ⁿ и непрерывную функцию u, определенную на U с действительными или комплексными значениями. Пусть x — точка в U , а r  > 0 — такое, что замкнутый шар B ( x ,  r ) с центром x и радиусом r содержится в U . Сферическое среднее по сфере радиуса r с центром в точке x определяется как

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}(r)}}\int \limits _{\partial B(x,r)}\!u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$

где ∂ B ( x ,  r ) — ( n  − 1)-сфера , образующая границу B ( x ,  r ), d S обозначает интегрирование по сферической мере , а ω _{n −1} ( r ) — «площадь поверхности» этой ( n  − 1)-сферы.

Эквивалентно, сферическое среднее значение определяется как

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int \limits _{\|y\|=1}\!u(x+ry)\,\mathrm {d} S(y)}$

где ω _{n −1} — площадь ( n  − 1)-сферы радиусом 1.

Сферическое среднее часто обозначается как

${\displaystyle \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$

Сферическое среднее также определяется для римановых многообразий естественным образом.

• Из непрерывности следует, что функция непрерывна, и что ее предел при есть${\displaystyle u}$$${\displaystyle r\to \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$$${\displaystyle r\to 0}$${\displaystyle и(х).}$
• Сферические средние могут быть использованы для решения задачи Коши для волнового уравнения в нечетном пространственном измерении. Результат, известный как формула Кирхгофа, выводится путем использования сферических средних для сведения волнового уравнения в (для нечетного ) к волновому уравнению в , а затем с использованием формулы Даламбера . Само выражение представлено в статье о волновом уравнении .${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=c^{2}\,\Delta u}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Если — открытое множество в и — функция ^класса C2 , определенная на , то является гармоничным тогда и только тогда, когда для всех в и всех таких, что замкнутый шар содержится в одном, имеет Этот результат можно использовать для доказательства принципа максимума для гармонических функций.${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B(x,r)}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle u(x)=\int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$$

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0772-9.

• Сабельфельд, К.К.; Шалимова, И.А. (1997). Сферические средние для уравнений в частных производных . VSP. ISBN 978-90-6764-211-8.
• Сунады, Тошикадзу (1981). «Сферические средние и геодезические цепи в римановом многообразии». Trans. Am. Math. Soc . 267 (2): 483– 501. doi : 10.1090/S0002-9947-1981-0626485-6 .

• Сферическое среднее в PlanetMath .