формула Даламбера
Математическое решение

В математике , и в частности в частных дифференциальных уравнениях (УЧП), формула Даламбера является общим решением одномерного волнового уравнения :

ты т т − с 2 ты х х = 0 , ты ( х , 0 ) = г ( х ) , ты т ( х , 0 ) = час ( х ) , {\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}

для − ∞ < х < ∞ , т > 0 {\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0}

Он назван в честь математика Жана Лерона Д'Аламбера , который вывел его в 1747 году как решение задачи о вибрирующей струне . [1]

Подробности

Характеристики PDE таковы (где знак указывает на два решения квадратного уравнения ) , поэтому мы можем использовать замену переменных (для положительного решения) и (для отрицательного решения), чтобы преобразовать PDE в . Общее решение этого PDE таково , где и являются функциями. Возвращаясь к координатам, х ± с т = с о н с т {\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} } ± {\displaystyle \pm} μ = х + с т {\displaystyle \mu =x+ct} η = х − с т {\displaystyle \eta =x-ct} ты μ η = 0 {\displaystyle u_{\mu \eta}=0} ты ( μ , η ) = Ф ( μ ) + Г ( η ) {\ displaystyle u (\ mu, \ eta) = F (\ mu) + G (\ eta)} Ф {\displaystyle F} Г {\displaystyle G} С 1 {\displaystyle С^{1}} х , т {\displaystyle x,t}

ты ( х , т ) = Ф ( х + с т ) + Г ( х − с т ) {\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}
ты {\displaystyle u} если и есть .​ С 2 {\displaystyle С^{2}} Ф {\displaystyle F} Г {\displaystyle G} С 2 {\displaystyle С^{2}}

Это решение можно интерпретировать как две волны с постоянной скоростью, движущиеся в противоположных направлениях вдоль оси x. ты {\displaystyle u} с {\displaystyle с}

Теперь рассмотрим это решение с данными Коши . ты ( х , 0 ) = г ( х ) , ты т ( х , 0 ) = час ( х ) {\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)}

Используя получаем . ты ( х , 0 ) = г ( х ) {\displaystyle u(x,0)=g(x)} Ф ( х ) + Г ( х ) = г ( х ) {\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)}

Используя получаем . ты т ( х , 0 ) = час ( х ) {\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)} с Ф ′ ( х ) − с Г ′ ( х ) = час ( х ) {\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)}

Мы можем интегрировать последнее уравнение, чтобы получить с Ф ( х ) − с Г ( х ) = ∫ − ∞ х час ( ξ ) г ξ + с 1 . {\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.}

Теперь мы можем решить эту систему уравнений и получить Ф ( х ) = − 1 2 с ( − с г ( х ) − ( ∫ − ∞ х час ( ξ ) г ξ + с 1 ) ) {\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)} Г ( х ) = − 1 2 с ( − с г ( х ) + ( ∫ − ∞ х час ( ξ ) г ξ + с 1 ) ) . {\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).}

Теперь, используя u ( x , t ) = F ( x + c t ) + G ( x − c t ) {\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}

Формула Даламбера становится: [2] u ( x , t ) = 1 2 [ g ( x − c t ) + g ( x + c t ) ] + 1 2 c ∫ x − c t x + c t h ( ξ ) d ξ . {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}

Обобщение для неоднородных канонических гиперболических дифференциальных уравнений

Общий вид неоднородного канонического дифференциального уравнения гиперболического типа имеет вид: для . u t t − c 2 u x x = f ( x , t ) , u ( x , 0 ) = g ( x ) , u t ( x , 0 ) = h ( x ) , {\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),} − ∞ < x < ∞ , t > 0 , f ∈ C 2 ( R 2 , R ) {\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )}

Все дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами могут быть преобразованы в соответствующие им канонические формы . Это уравнение является одним из трех случаев: эллиптическое уравнение в частных производных , параболическое уравнение в частных производных и гиперболическое уравнение в частных производных .

Единственное различие между однородным и неоднородным (частным) дифференциальным уравнением заключается в том, что в однородной форме мы допускаем присутствие только 0 в правой части ( ), тогда как неоднородная форма является гораздо более общей, поскольку может быть любой функцией, если она непрерывна и может быть непрерывно дифференцирована дважды. f ( x , t ) = 0 {\displaystyle f(x,t)=0} f ( x , t ) {\displaystyle f(x,t)}

Решение приведенного выше уравнения дается формулой: u ( x , t ) = 1 2 ( g ( x + c t ) + g ( x − c t ) ) + 1 2 c ∫ x − c t x + c t h ( s ) d s + 1 2 c ∫ 0 t ∫ x − c ( t − τ ) x + c ( t − τ ) f ( s , τ ) d s d τ . {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr )}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(s)\,ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )\,ds\,d\tau .}

Если , то первая часть исчезает, если , то вторая часть исчезает, а если , то третья часть исчезает из решения, поскольку интегрирование 0-функции между любыми двумя границами всегда приводит к 0. g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} h ( x ) = 0 {\displaystyle h(x)=0} f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Даламбер (1747) «Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration» (Исследования кривой, которую образует натянутый шнур [струна] [когда] приводится в вибрацию), Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, страницы 214–219. См. Также: Д'Аламбер (1747) «Suite des recherches sur la Courbe que forme une corde tenduë mise en vibration» (Дальнейшие исследования кривой, которую образует натянутая струна, [когда] приводится в состояние вибрации), Histoire de l'académie royale. des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, страницы 220–249. См. также: Д'Аламбер (1750) «Дополнение к памяти sur la Courbe que forme une corde Tenduë Mise En Vibration», Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, страницы 355–360.
  2. ^ Пинчовер, Иегуда; Рубинштейн, Якоб (2013). Введение в уравнения с частными производными (8-е издание). Cambridge University Press. С. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.
  • Пример решения неоднородного волнового уравнения с сайта www.exampleproblems.com, архив 2011-01-19 на Wayback Machine

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html [ постоянная мертвая ссылка ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=D%27Alembert%27s_formula&oldid=1195265214"