Проблема спектральной концентрации
Три ведущие последовательности Слепиана для T = 1000 и 2WT = 6. Обратите внимание, что каждая последовательность более высокого порядка имеет дополнительное нулевое пересечение.

Задача спектральной концентрации в анализе Фурье заключается в нахождении временной последовательности заданной длины, дискретное преобразование Фурье которой максимально локализовано на заданном частотном интервале, измеряемом спектральной концентрацией.

Спектральная концентрация

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) U ( f ) конечного ряда определяется как ж т {\displaystyle w_{т}} т = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , Т {\displaystyle t=1,2,3,4,...,T}

У ( ф ) = ∑ т = 1 Т ж т е − 2 π я ф т . {\displaystyle U(f)=\sum _{t=1}^{T}w_{t}e^{-2\pi ift}.}

В дальнейшем интервал дискретизации будет принят за Δ t = 1, а следовательно, частотный интервал — за f ∈ [- ⁠1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ]. U ( f ) — периодическая функция с периодом 1.

Для заданной частоты W такой, что 0< W < ⁠1/2⁠ , спектральная концентрация U ( f ) на интервале [- W , W ] определяется как отношение мощности U ( f ), содержащейся в полосе частот [- W , W ], к мощности U ( f ), содержащейся во всей полосе частот [- ⁠ λ ( Т , Вт ) {\displaystyle \лямбда (Т,W)} 1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ]. То есть,

λ ( Т , Вт ) = ∫ − Вт Вт ‖ У ( ф ) ‖ 2 г ф ∫ − 1 / 2 1 / 2 ‖ У ( ф ) ‖ 2 г ф . {\displaystyle \lambda (T,W)={\frac {\int _{-W}^{W}{\|U(f)\|}^{2}\,df}{\int _{-1/2}^{1/2}{\|U(f)\|}^{2}\,df}}.}

Можно показать, что U ( f ) имеет только изолированные нули и, следовательно (см. [1]). Таким образом, спектральная концентрация строго меньше единицы, и не существует конечной последовательности, для которой DTFT можно ограничить полосой [- W , W ] и заставить ее исчезнуть за пределами этой полосы. 0 < λ ( Т , Вт ) < 1 {\displaystyle 0<\lambda (T,W)<1} ж т {\displaystyle w_{т}}

Постановка проблемы

Среди всех последовательностей для заданных T и W есть ли последовательность, для которой спектральная концентрация максимальна? Другими словами, есть ли последовательность, для которой энергия боковых лепестков вне полосы частот [- W , W ] минимальна? { ж т } {\displaystyle \lbrace w_ {t} \rbrace }

Ответ - да; такая последовательность действительно существует и может быть найдена путем оптимизации . Таким образом, максимизируется мощность λ ( Т , Вт ) {\displaystyle \лямбда (Т,W)}

∫ − Вт Вт ‖ У ( ф ) ‖ 2 г ф {\displaystyle \int _{-W}^{W}{\|U(f)\|}^{2}\,df}

при условии, что общая мощность фиксирована, скажем

∫ − 1 / 2 1 / 2 ‖ У ( ф ) ‖ 2 г ф = 1 , {\displaystyle \int _{-1/2}^{1/2}{\|U(f)\|}^{2}\,df=1,}

приводит к следующему уравнению, которому удовлетворяет оптимальная последовательность : ж т {\displaystyle w_{т}}

∑ т ′ = 1 Т грех ⁡ 2 π Вт ( т − т ′ ) π ( т − т ′ ) ж т ′ = λ ж т . {\displaystyle \sum _{t'=1}^{T}{\frac {\sin 2\pi W(tt')}{\pi (tt')}}w_{t'}=\lambda w_{t}.}

Это уравнение собственных значений для симметричной матрицы, заданной как

М т , т ′ = грех ⁡ 2 π Вт ( т − т ′ ) π ( т − т ′ ) . {\displaystyle M_{t,t'}={\frac {\sin 2\pi W(tt')}{\pi (tt')}}.}

Можно показать, что эта матрица положительно определена , поэтому все собственные значения этой матрицы лежат между 0 и 1. Наибольшее собственное значение приведенного выше уравнения соответствует наибольшей возможной спектральной концентрации; соответствующий собственный вектор является требуемой оптимальной последовательностью . Эта последовательность называется последовательностью Слепяна 0- го порядка (также известной как дискретная вытянутая сфероидальная последовательность, или DPSS), которая представляет собой уникальный конус с максимально подавленными боковыми лепестками. ж т {\displaystyle w_{т}}

Оказывается, что число доминирующих собственных значений матрицы M , близких к 1, соответствует числу N=2WT, называемому числом Шеннона. Если собственные значения расположены в порядке убывания (т. е. ), то собственный вектор, соответствующий , называется последовательностью Слепяна n- го порядка (DPSS) (0≤ n ≤ N -1). Это сужение n -го порядка также обеспечивает наилучшее подавление боковых лепестков и попарно ортогонально последовательностям Слепяна предыдущих порядков . Эти последовательности Слепяна низшего порядка образуют основу для спектральной оценки методом многоспадания . λ {\displaystyle \лямбда} λ 1 > λ 2 > λ 3 > . . . > λ Н {\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}} λ н + 1 {\displaystyle \lambda _ {n+1}} ( 0 , 1 , 2 , 3.... , н − 1 ) {\displaystyle (0,1,2,3....,n-1)}

Не ограничиваясь временными рядами, проблема спектральной концентрации может быть переформулирована для применения в нескольких декартовых измерениях [1] и на поверхности сферы с использованием сферических гармоник [2] для приложений в геофизике и космологии [3] среди других.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Саймонс, Ф. Дж.; Ванг, Д. В. (2011). «Пространственно-спектральная концентрация в декартовой плоскости». Int. J. Geomath . 2 : 1– 36. arXiv : 1007.5226 . doi : 10.1007/s13137-011-0016-z..
  2. ^ Simons, FJ; Dahlen, FA; Wieczorek, MA (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». Обзор SIAM . 48 (3): 504–536 . arXiv : math/0408424 . Bibcode : 2006SIAMR..48..504S. doi : 10.1137/S0036144504445765.
  3. ^ Дален, ФА; Саймонс, ФДж (2008). «Оценка спектра на сфере в геофизике и космологии». Geophysical Journal International . 174 (3): 774– 807. arXiv : 0705.3083 . Bibcode : 2008GeoJI.174..774D. doi : 10.1111/j.1365-246X.2008.03854.x .
  • Партха Митра и Хемант Бокил. Наблюдаемая динамика мозга , Oxford University Press, США (2007), Ссылка на книгу
  • Дональд Б. Персиваль и Эндрю Т. Уолден. Спектральный анализ для физических приложений: многоконтурные и обычные одномерные методы , Cambridge University Press, Великобритания (2002).
  • Партха Митра и Б. Песаран, «Анализ данных динамической визуализации мозга». Биофизический журнал, том 76 (1999), 691-708, arxiv.org/abs/q-bio/0309028
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Проблема_спектральной_концентрации&oldid=1267694646"