Пересечение сферы и цилиндра

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Sphere–cylinder intersection" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2022) (Learn how and when to remove this message)

В теории аналитической геометрии для реального трехмерного пространства кривая, образованная пересечением сферы и цилиндра, может быть окружностью , точкой , пустым множеством или особым типом кривой.

Для анализа этой ситуации предположим ( без потери общности ), что ось цилиндра совпадает с осью z ; точки на цилиндре (с радиусом ) удовлетворяют${\displaystyle r}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$

Мы также предполагаем, что сфера с радиусом имеет центр в точке на положительной оси x, в точке . Ее точки удовлетворяют${\displaystyle R}$${\displaystyle (a,0,0)}$

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.}$

Пересечение — это совокупность точек, удовлетворяющих обоим уравнениям.

Если , сфера целиком лежит внутри цилиндра. Пересечение — пустое множество.${\displaystyle a+R<r}$

Если сфера меньше цилиндра ( ) и , сфера лежит внутри цилиндра за исключением одной точки. Пересечение — единственная точка .${\displaystyle R<r}$${\displaystyle a+R=r}$${\displaystyle (r,0,0)}$

Если центр сферы лежит на оси цилиндра, . В этом случае пересечение состоит из двух окружностей радиуса . Эти окружности лежат в плоскостях${\displaystyle a=0}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle z=\pm {\sqrt {R^{2}-r^{2}}};}$

Если , то пересечение представляет собой одну окружность на плоскости .${\displaystyle r=R}$${\displaystyle z=0}$

Вычитание двух уравнений, приведенных выше, дает

${\displaystyle z^{2}+(r^{2}-R^{2}+a^{2})=2ax.}$

Так как является квадратичной функцией , то проекция пересечения на плоскость xz является сечением ортогональной параболы; это только сечение из-за того, что . Вершина параболы лежит в точке , где${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle -r<x<r}$${\displaystyle (-b,0,0)}$

${\displaystyle b={\frac {R^{2}-r^{2}-a^{2}}{2a}}.}$

Если , то условие разрезает параболу на два сегмента. В этом случае пересечение сферы и цилиндра состоит из двух замкнутых кривых, являющихся зеркальными отображениями друг друга. Их проекции на плоскость xy представляют собой окружности радиуса .${\displaystyle R>r+a}$${\displaystyle x<r}$${\displaystyle r}$

Каждая часть пересечения может быть параметризована углом :${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle (x,y,z)=\left(r\cos \phi ,r\sin \phi ,\pm {\sqrt {2a(b+r\cos \phi )}}\right).}$

Кривые содержат следующие экстремальные точки:

${\displaystyle \left(-r,0,\pm {\sqrt {R^{2}-(r+a)^{2}}}\right);\quad \left(0,\pm r,\pm {\sqrt {R^{2}-(r-a)(r+a)}}\right);\quad \left(+r,0,\pm {\sqrt {R^{2}-(r-a)^{2}}}\right).}$

Если , пересечение сферы и цилиндра состоит из одной замкнутой кривой. Его можно описать тем же уравнением параметров, что и в предыдущем разделе, но угол должен быть ограничен , где .${\displaystyle R<r+a}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle -\phi _{0}<\phi <+\phi _{0}}$${\displaystyle \cos \phi _{0}=-b/r}$

Кривая содержит следующие экстремальные точки:

${\displaystyle \left(-b,\pm {\sqrt {r^{2}-b^{2}}},0\right);\quad \left(0,\pm r,\pm {\sqrt {R^{2}-(r-a)(r+a)}}\right);\quad \left(+r,0,\pm {\sqrt {R^{2}-(r-a)^{2}}}\right).}$

В случае цилиндр и сфера касаются друг друга в точке . Пересечение напоминает восьмерку: это замкнутая кривая, которая пересекает сама себя. Приведенная выше параметризация становится${\displaystyle R=r+a}$${\displaystyle (r,0,0)}$

${\displaystyle (x,y,z)=\left(r\cos \phi ,r\sin \phi ,2{\sqrt {ar}}\cos {\frac {\phi }{2}}\right),}$

где сейчас проходит два полных оборота.${\displaystyle \phi }$

В частном случае пересечение известно как кривая Вивиани . Его параметрическое представление:${\displaystyle a=r,R=2r}$

${\displaystyle (x,y,z)=\left(r\cos \phi ,r\sin \phi ,R\cos {\frac {\phi }{2}}\right).}$

Объем пересечения двух тел, иногда называемый объемом Вивиани, равен ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle V=2\int \int _{(x-a)^{2}+y^{2}\leq r^{2},x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy=\left({\frac {2\pi }{3}}-{\frac {8}{9}}\right)R^{3}.}$

• кривая Вивиани
• Грефе, Ева-Мария; Корш, Ханс Дж.; Стржис, Мартин П. (2014). «Димеры Бозе-Хаббарда, окна Вивиани и динамика маятника». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 47 (8): 085304. arXiv : 1308.3569 . Бибкод : 2014JPhA...47h5304G. дои : 10.1088/1751-8113/47/8/085304. S2CID  55754306.