Тест Шапиро-Франчиа

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Тест Шапиро–Франсиа» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Тест Шапиро–Франсиа — статистический тест на нормальность популяции, основанный на выборочных данных. Он был введен SS Shapiro и RS Francia в 1972 году как упрощение теста Шапиро–Уилка . ^[1]

Пусть будет -th упорядоченным значением из нашей выборки размера-. Например, если выборка состоит из значений , , так как это второе наименьшее значение. Пусть будет средним значением статистики th порядка при создании независимых выборок из нормального распределения . Например, , что означает, что второе наименьшее значение в выборке из четырех выборок из нормального распределения обычно примерно на 0,297 стандартных отклонений ниже среднего. ^[2] Сформируйте коэффициент корреляции Пирсона между и :${\displaystyle x_{(i)}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\{5.6,-1.2,7.8,3.4\right\}}$${\displaystyle x_{(2)}=3,4}$${\displaystyle m_{i:n}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m_{2:4}\approx -0,297}$${\displaystyle x}$${\displaystyle м}$

${\displaystyle W'={\frac {\operatorname {cov} (x,m)}{\sigma _{x}\sigma _{m}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{(i)}-{\bar {x}})(m_{i}-{\bar {m}})}{\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{(i)}-{\bar {x}})^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}(m_{i}-{\bar {m}})^{2}\right)}}}}$

При нулевой гипотезе о том, что данные получены из нормального распределения , эта корреляция будет сильной, поэтому значения будут группироваться чуть ниже 1, при этом пик будет становиться уже и ближе к 1 по мере увеличения. Если данные сильно отклоняются от нормального распределения, будет меньше. ^[1]${\displaystyle W'}$${\displaystyle n}$${\displaystyle W'}$

Этот тест представляет собой формализацию старой практики построения графика Q–Q для сравнения двух распределений, при этом играют роль точек квантиля выборочного распределения, а играют роль соответствующих точек квантиля нормального распределения .${\displaystyle x}$${\displaystyle м}$

По сравнению со статистикой теста Шапиро–Уилка , статистику теста Шапиро–Франчиа вычислить проще, поскольку для этого не требуется формировать и инвертировать матрицу ковариаций между порядковыми статистиками.${\displaystyle W}$${\displaystyle W'}$

Не существует известного аналитического выражения в замкнутой форме для значений, требуемых тестом. Однако существует несколько приближений, которые подходят для большинства практических целей. ^[2]${\displaystyle m_{i:n}}$

Точная форма нулевого распределения известна только для . ^{[1] Моделирование} Монте-Карло показало, что преобразованная статистика распределена почти нормально, со значениями среднего и стандартного отклонения, которые медленно изменяются в легко параметризуемой форме. ^[3]${\displaystyle W'}$${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \ln(1-W')}$${\displaystyle n}$

Сравнительные исследования пришли к выводу, что тесты корреляции порядковой статистики, такие как Шапиро–Франчиа и Шапиро–Уилка, являются одними из самых мощных из установленных статистических тестов на нормальность . ^[4] Можно было бы предположить, что ковариационно-скорректированное взвешивание различных порядковых статистик, используемых в тесте Шапиро–Уилка, должно сделать его немного лучше, но на практике варианты Шапиро–Уилка и Шапиро–Франчиа примерно одинаково хороши. Фактически, вариант Шапиро–Франчиа на самом деле демонстрирует большую мощность для различения некоторых альтернативных гипотез. ^[5]