Второй полярный момент площади
Величина сопротивления крутильной деформации

Второй полярный момент площади , также известный (неправильно, в разговорной речи) как «полярный момент инерции» или даже «момент инерции», — это величина, используемая для описания сопротивления крутильной деформации ( прогибу ) в объектах (или сегментах объекта) с неизменным поперечным сечением и без существенной деформации или деформации вне плоскости. [1] Он является составной частью второго момента площади , связанной с теоремой о перпендикулярной оси . В то время как плоский второй момент площади описывает сопротивление объекта прогибу ( изгибу ) при воздействии силы, приложенной к плоскости, параллельной центральной оси, полярный второй момент площади описывает сопротивление объекта прогибу при воздействии момента, приложенного в плоскости, перпендикулярной центральной оси объекта (т. е. параллельной поперечному сечению). Подобно расчетам плоского второго момента площади ( , , и ), полярный второй момент площади часто обозначается как . Хотя в ряде учебников по инженерии и академических публикаций он также обозначается как или , следует уделять этому обозначению особое внимание, чтобы его не путали с постоянной кручения , , используемой для нецилиндрических объектов. я х {\displaystyle I_{x}} я у {\displaystyle I_{y}} я х у {\displaystyle I_{xy}} я з {\displaystyle I_{z}} Дж. {\displaystyle J} Дж. з {\displaystyle J_{z}} Дж. т {\displaystyle J_{t}}

Проще говоря, полярный момент площади — это сопротивление вала или балки деформации кручением, как функция его формы. Жесткость исходит только из площади поперечного сечения объекта и не зависит от его материального состава или модуля сдвига . Чем больше величина второго полярного момента площади, тем больше крутильная жесткость объекта.

Определение

Схема, показывающая, как вычисляется второй полярный момент площади для произвольной формы вокруг оси . Где — радиальное расстояние до элемента . О {\displaystyle О} ρ {\displaystyle \ро} г А {\displaystyle дА}

Уравнение, описывающее полярный момент площади, представляет собой кратный интеграл по площади поперечного сечения объекта. А {\displaystyle А}

Дж. = ∬ А г 2 г А {\displaystyle J=\iint _{A}r^{2}\,dA} где - расстояние до элемента . г {\displaystyle r} г А {\displaystyle дА}

Подставим компоненты и , используя теорему Пифагора : х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} Дж. = ∬ А ( х 2 + у 2 ) г х г у {\displaystyle J=\iint _{A}\left(x^{2}+y^{2}\right)dx\,dy} Дж. = ∬ А х 2 г х г у + ∬ А у 2 г х г у {\displaystyle J=\iint _{A}x^{2}\,dx\,dy+\iint _{A}y^{2}\,dx\,dy}

Учитывая плоские вторые моменты уравнений площади, где: я х = ∬ А у 2 г х г у {\displaystyle I_{x}=\iint _{A}y^{2}dx\,dy} я у = ∬ А х 2 г х г у {\displaystyle I_{y}=\iint _{A}x^{2}dx\,dy}

Показано, что полярный момент площади можно описать как сумму и плоскостных моментов площади, причем х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} я х {\displaystyle I_{x}} я у {\displaystyle I_{y}} ∴ Дж. = я з = я х + я у {\displaystyle \therefore J=I_{z}=I_{x}+I_{y}}

Это также показано в теореме о перпендикулярной оси . [2] Для объектов, имеющих вращательную симметрию , [3] таких как цилиндр или полая трубка, уравнение можно упростить до: или Дж. = 2 я х {\displaystyle J=2I_{x}} Дж. = 2 я у {\displaystyle J=2I_{y}}

Для круглого сечения с радиусом : R {\displaystyle R} I z = ∫ 0 2 π ∫ 0 R r 2 ( r d r d ϕ ) = π R 4 2 {\displaystyle I_{z}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}r^{2}(r\,dr\,d\phi )={\frac {\pi R^{4}}{2}}}

Единица

Единицей измерения в системе СИ для полярного момента инерции , как и для плоского момента инерции , является метр в четвертой степени ( м 4 ) и дюйм в четвертой степени ( дюйм 4 ) в традиционных единицах измерения США и имперских единицах измерения .

Ограничения

Полярный второй момент площади может быть недостаточным для использования при анализе балок и валов с некруглыми поперечными сечениями из-за их тенденции к деформации при скручивании, вызывающей деформации вне плоскости. В таких случаях следует заменить константу кручения , где включена соответствующая константа деформации для компенсации эффекта деформации. В рамках этого существуют статьи, в которых проводится различие между полярным вторым моментом площади , , и крутильной константой , , которая больше не используется для описания полярного второго момента площади. [4] I z {\displaystyle I_{z}} J t {\displaystyle J_{t}} J {\displaystyle J}

В объектах со значительными поперечными изменениями (вдоль оси приложенного крутящего момента), которые невозможно проанализировать по сегментам, может потребоваться более сложный подход. См. 3-D эластичность .

Приложение

Хотя полярный второй момент площади чаще всего используется для расчета углового смещения объекта, подверженного моменту ( крутящему моменту ), приложенному параллельно поперечному сечению, указанное значение жесткости не имеет никакого отношения к сопротивлению кручению, оказываемому объекту как функции его составных материалов. Жесткость, обеспечиваемая материалом объекта, является характеристикой его модуля сдвига , . Объединяя эти две характеристики с длиной вала, , можно рассчитать угловое отклонение вала, , из-за приложенного крутящего момента, : G {\displaystyle G} L {\displaystyle L} θ {\displaystyle \theta } T {\displaystyle T} θ = T L J G {\displaystyle \theta ={\frac {TL}{JG}}}

Как показано, чем больше модуль сдвига материала и полярный второй момент площади (т.е. больше площадь поперечного сечения), тем выше сопротивление изгибу при кручении.

Полярный второй момент площади появляется в формулах, описывающих крутильное напряжение и угловое смещение.

Напряжения кручения: где — напряжение сдвига кручения, — приложенный крутящий момент, — расстояние от центральной оси, — полярный второй момент площади. τ = T r J z {\displaystyle \tau ={\frac {T\,r}{J_{z}}}} τ {\displaystyle \tau } T {\displaystyle T} r {\displaystyle r} J z {\displaystyle J_{z}}

Примечание: В круглом валу напряжение сдвига максимально на поверхности вала.

Пример расчета

Ротор современной паровой турбины .

Расчет радиуса вала паровой турбины для турбоагрегата:

Предположения:

  • Мощность, передаваемая по шахте, составляет 1000 МВт , что типично для крупной атомной электростанции . 
  • Предел текучести стали, используемой для изготовления вала ( τтеч ) , составляет: 250  ×  10 6  Н/м 2 .
  • Частота электричества составляет 50 Гц ; это типичная частота в Европе. В Северной Америке частота составляет 60 Гц. Это предполагает, что существует соотношение 1:1 между скоростью вращения турбины и частотой сети.  

Угловую частоту можно рассчитать по следующей формуле: ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f}

Крутящий момент, передаваемый валом, связан с мощностью следующим уравнением: P = T ω {\displaystyle P=T\omega }

Таким образом, угловая частота составляет 314,16 рад / с , а крутящий момент — 3,1831 × 10 6 Н·м .    

Максимальный крутящий момент составляет: T max = τ max J z r {\displaystyle T_{\max }={\frac {\tau _{\max }J_{z}}{r}}}

После подстановки полярного второго момента площади получается следующее выражение: r = 2 T max π τ max 3 {\displaystyle r={\sqrt[{3}]{\frac {2T_{\max }}{\pi \tau _{\max }}}}}

Радиус r = 0,200 м = 200 мм, или диаметр 400 мм. Если добавить коэффициент запаса прочности 5 и пересчитать радиус с допустимым напряжением, равным τ доп = τ выход /5 , то в результате получим радиус 0,343 м , или диаметр 690 мм, приблизительный размер вала турбоагрегата на атомной электростанции.     

Сравнение полярных вторых моментов площади и моментов инерции (вторых моментов массы)

Полый цилиндр

Полярный второй момент площади: I z = π ( D 4 − d 4 ) 32 {\displaystyle I_{z}={\frac {\pi \left(D^{4}-d^{4}\right)}{32}}}

Момент инерции: I c = I z ρ l = π ρ l ( D 4 − d 4 ) 32 {\displaystyle I_{c}=I_{z}\rho l={\frac {\pi \rho l\left(D^{4}-d^{4}\right)}{32}}}

Сплошной цилиндр

Полярный второй момент площади I z = π D 4 32 {\displaystyle I_{z}={\frac {\pi D^{4}}{32}}}

Момент инерции , где: I c = I z ρ l = π ρ l D 4 32 {\displaystyle I_{c}=I_{z}\rho l={\frac {\pi \rho lD^{4}}{32}}}

  • d {\displaystyle d} внутренний диаметр в метрах (м)
  • D {\displaystyle D} внешний диаметр в метрах (м)
  • I c {\displaystyle I_{c}} момент инерции в кг·м 2
  • I z {\displaystyle I_{z}} - полярный инерционный момент площади в метрах в четвертой степени (м 4 )
  • l {\displaystyle l} длина цилиндра в метрах (м)
  • ρ {\displaystyle \rho } удельная масса в кг/м 3

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Угурал AC, Фенстер SK. Advanced Strength and Applied Elasticity. 3-е изд. Prentice-Hall Inc. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси. 1995. ISBN  0-13-137589-X .
  2. ^ "Момент инерции; Определение с примерами". www.efunda.com .
  3. ^ Обрегон, Хоакин (2012). Механическая симметрия. Дом автора. ISBN 978-1-4772-3372-6.
  4. ^ Гальтор. «В чем разница между полярным вторым моментом площади («полярным моментом инерции»), IPIP, и крутильной постоянной, JTJT поперечного сечения?».
  • Кручение валов - engineeringtoolbox.com
  • Упругие свойства и модуль Юнга для некоторых материалов - engineeringtoolbox.com
  • База данных свойств материалов - matweb.com
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Second_polar_moment_of_area&oldid=1271513536"