Прогрессивная функция

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Progressive function" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2024) (Learn how and when to remove this message)

В математике прогрессивная функция ƒ ∈  L  2 ⁽ R ) — это функция, преобразование Фурье которой поддерживается только положительными частотами: ^[1]

${\displaystyle \mathop {\rm {supp}} {\hat {f}}\subseteq \mathbb {R} _{+}.}$

Она называется суперрегрессивной тогда и только тогда, когда обращенная во времени функция f (− t ) является прогрессивной, или, что эквивалентно, если

${\displaystyle \mathop {\rm {supp}} {\hat {f}}\subseteq \mathbb {R} _{-}.}$

Комплексно сопряженная функция прогрессивной функции является регрессивной, и наоборот.

Пространство прогрессивных функций иногда обозначается , что известно как пространство Харди верхней полуплоскости. Это потому, что прогрессивная функция имеет формулу обращения Фурье${\displaystyle H_{+}^{2}(R)}$

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi ist}{\hat {f}}(s)\,ds}$

и, следовательно, продолжается до голоморфной функции на верхней полуплоскости ${\displaystyle \{t+iu:t,u\in R,u\geq 0\}}$

по формуле

${\displaystyle f(t+iu)=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi is(t+iu)}{\hat {f}}(s)\,ds=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi ist}e^{-2\pi su}{\hat {f}}(s)\,ds.}$

Наоборот, всякая голоморфная функция на верхней полуплоскости, которая равномерно квадратично интегрируема на каждой горизонтальной прямой, возникнет таким образом.

Регрессивные функции аналогичным образом связаны с пространством Харди на нижней полуплоскости .${\displaystyle \{t+iu:t,u\in R,u\leq 0\}}$

В данной статье использованы материалы из прогрессивной функции PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .