Преинтуитивизм

В философии математики пре-интуиционисты — это название, данное Л.Э. Брауэром нескольким влиятельным математикам, которые разделяли схожие взгляды на природу математики. Термин был введен Брауэром в его лекциях 1951 года в Кембридже , где он описал различия между своей философией интуиционизма и ее предшественниками: ^[1]

Совершенно иной ориентации [от «старой формалистской школы» Дедекинда , Кантора , Пеано , Цермело и Кутюра и т. д.] придерживалась доинтуиционистская школа, в основном возглавляемая Пуанкаре , Борелем и Лебегом . Эти мыслители, по-видимому, придерживались измененной наблюдательной точки зрения для введения натуральных чисел , для принципа полной индукции [...] Для них, даже для таких теорем, которые были выведены с помощью классической логики, они постулировали существование и точность, независимые от языка и логики, и считали их непротиворечивость несомненной, даже без логического доказательства. Однако для континуума они, по-видимому, не искали источника, строго внешнего по отношению к языку и логике.

В этом разделе есть несколько проблем. Помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) В этом разделе не указаны какие-либо источники . Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Pre-intuitionism" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2024) (Learn how and when to remove this message) This section may be confusing or unclear to readers. In particular, it is unclear what is Poincaré's opinion, what is Brouwer's interpretation of Poincaré's thoughts and what is editor's interpretation.. Please help clarify the section. There might be a discussion about this on the talk page. (June 2024) (Learn how and when to remove this message) This section possibly contains original research. In particular, the second paragraphis seems a wrong interpretation of what precedes; this may also be interpreted as meaning that the definition of mathematical objects does not need to rely to some exernal reality, and that Peano's axioms form a definition of natural numbers. Please improve it by verifying the claims made and adding inline citations. Statements consisting only of original research should be removed. (June 2024) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

Доинтуиционисты, как их определил Л. Э. Дж. Брауэр , отличались от формалистской точки зрения несколькими способами, ^[1] особенно в отношении введения натуральных чисел или того, как натуральные числа определяются/обозначаются. Для Пуанкаре определение математической сущности — это построение самой сущности, а не выражение лежащей в ее основе сущности или существования.

Это значит, что ни один математический объект не существует без его конструирования человеком, как в уме, так и на языке.

Такое понимание определения позволило Пуанкаре спорить с Бертраном Расселом по поводу аксиоматической теории натуральных чисел Джузеппе Пеано .

Пятая аксиома Пеано гласит:

• Допустим, ноль имеет свойство P ;
• И если каждое натуральное число, меньшее числа x, обладает свойством P, то x также обладает свойством P.
• Следовательно , каждое натуральное число обладает свойством P.

This is the principle of complete induction, which establishes the property of induction as necessary to the system. Since Peano's axiom is as infinite as the natural numbers, it is difficult to prove that the property of P does belong to any x and also x + 1. What one can do is say that, if after some number n of trials that show a property P conserved in x and x + 1, then we may infer that it will still hold to be true after n + 1 trials. But this is itself induction. And hence the argument begs the question.

From this Poincaré argues that if we fail to establish the consistency of Peano's axioms for natural numbers without falling into circularity, then the principle of complete induction is not provable by general logic.

Thus arithmetic and mathematics in general is not analytic but synthetic. Logicism thus rebuked and Intuition is held up. What Poincaré and the Pre-Intuitionists shared was the perception of a difference between logic and mathematics that is not a matter of language alone, but of knowledge itself.

It was for this assertion, among others, that Poincaré was considered to be similar to the intuitionists. For Brouwer though, the Pre-Intuitionists failed to go as far as necessary in divesting mathematics from metaphysics, for they still used principium tertii exclusi (the "law of excluded middle").

The principle of the excluded middle does lead to some strange situations. For instance, statements about the future such as "There will be a naval battle tomorrow" do not seem to be either true or false, yet. So there is some question whether statements must be either true or false in some situations. To an intuitionist this seems to rank the law of excluded middle as just as unrigorous as Peano's vicious circle.

Yet to the Pre-Intuitionists this is mixing apples and oranges. For them mathematics was one thing (a muddled invention of the human mind, i.e., synthetic), and logic was another (analytic).

Приведенные выше примеры включают только работы Пуанкаре , и все же Брауэр назвал других математиков также преинтуиционистами; Бореля и Лебега . Другие математики, такие как Герман Вейль (который в конечном итоге разочаровался в интуиционизме, посчитав, что он накладывает чрезмерные ограничения на математический прогресс) и Леопольд Кронекер также сыграли свою роль, хотя Брауэр не цитирует их в своей окончательной речи.

На самом деле Кронекер, возможно, является самым известным из преинтуиционистов благодаря своей уникальной и часто цитируемой фразе: «Бог создал натуральные числа; все остальное — дело рук человека».

Кронекер идет почти в противоположном направлении от Пуанкаре, веря в натуральные числа, но не в закон исключенного третьего. Он был первым математиком, который выразил сомнение в неконструктивных доказательствах существования , которые утверждают, что нечто должно существовать, потому что можно показать, что «невозможно», чтобы оно не существовало.

• Конвенционализм

• Логические извилины – краткая статья Яна Сратхофа о различных нападках Брауэра на аргументы преинтуиционистов о принципе исключенного третьего.
• Доказательство и интуиция – статья о многочисленных разновидностях знания в их отношении к интуиционистам и логикам.
• Кембриджские лекции Брауэра по интуиционизму – в которых Брауэр рассуждает о доинтуиционистской школе и рассматривает ее многочисленные недостатки.