Родовая связь

В математической логике отношение предка (часто сокращаемое до «предкового» ) бинарного отношения R является его транзитивным замыканием , однако определяемым по-другому, см. ниже.

Родовые отношения впервые появляются в Begriffsschrift Фреге . Позднее Фреге использовал их в своих Grundgesetze как часть своего определения конечных кардиналов . Таким образом , родовые отношения были ключевой частью его поиска логического основания арифметики.

Пронумерованные ниже предложения взяты из его Begriffsschrift и переработаны в современной нотации.

Свойство P называется R - наследственным , если всякий раз, когда x есть P и выполняется xRy, то y также есть P :

${\displaystyle (Px\land xRy)\rightarrow Py}$

Индивидуум b называется R - предком a , что обозначается как aR * ^b , если b обладает каждым R -наследственным свойством, присущим всем объектам x, таким что aRx :

${\displaystyle \mathbf {76:} \ \vdash aR^{*}b\leftrightarrow \forall F[\forall x(aRx\to Fx)\land \forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)\to Fb]}$

Родовое отношение является транзитивным :

${\displaystyle \mathbf {98:} \ \vdash (aR^{*}b\land bR^{*}c)\rightarrow aR^{*}c}$

Пусть обозначение I ( R ) обозначает, что R является функциональным (Фреге называет такие отношения «многие-один»):

${\displaystyle \mathbf {115:} \ \vdash I(R)\leftrightarrow \forall x\forall y\forall z[(xRy\land xRz)\rightarrow y=z]}$

Если R функционален , то предком R является то , что в настоящее время называется связанным ^{[ необходимо разъяснение ]} :

${\displaystyle \mathbf {133:} \ \vdash (I(R)\land aR^{*}b\land aR^{*}c)\rightarrow (bR^{*}c\lor b=c\lor cR^{*}b)}$

Отношение предка равно транзитивному замыканию . Действительно, является транзитивным (см. 98 выше), содержит (действительно, если aRb , то, конечно, b имеет каждое R -наследственное свойство, которое имеют все объекты x, такие что aRx , поскольку b является одним из них), и, наконец, содержится в (действительно, предположим ; возьмем свойство , чтобы быть ; тогда две посылки, и , очевидно, выполнены; следовательно, , что означает , по нашему выбору ). См. также книгу Булоса ниже, стр. 8.${\displaystyle R^{*}}$ ${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle aR^{*}b}$${\displaystyle Fx}$${\displaystyle aR^{+}x}$${\displaystyle \forall x(aRx\to Fx)}$${\displaystyle \forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)}$${\displaystyle Фб}$${\displaystyle aR^{+}b}$${\displaystyle F}$

В этом разделе не указаны источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . ( Декабрь 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В «Principia Mathematica» и в «Математической логике» Куайна (1951)неоднократно использовались родовые принципы.

Однако отношение предков не может быть определено в логике первого порядка . Спорным является вопрос о том, является ли логика второго порядка со стандартной семантикой действительно «логикой». Куайн, как известно, утверждал, что это на самом деле «теория множеств в овечьей шкуре». В своих книгах, излагающих формальные системы, связанные с ПМ и способные моделировать значительные части математики, а именно — и в порядке публикации — «Система логистики», «Математическая логика» и «Теория множеств и ее логика», окончательная точка зрения Куайна относительно надлежащего разделения между логическими и экстралогическими системами, по-видимому, заключается в том, что как только аксиомы, которые допускают возникновение явлений неполноты, добавляются к системе, система перестает быть чисто логической. ^{[ требуется цитата ] [ оригинальное исследование? ]}

• Begriffsschrift
• Готтлоб Фреге
• Транзитивное закрытие

• Джордж Булос , 1998. Логика, логика и логика . Издательство Гарвардского университета.
• Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней . Princeton Univ. Press.
• Уиллард Ван Орман Куайн , 1951 (1940). Математическая логика . Издательство Гарвардского университета. ISBN  0-674-55451-5 .

• Стэнфордская энциклопедия философии : «Логика, теорема и основы арифметики Фреге» — Эдвард Н. Залта . Раздел 4.2.