Теорема о душе

В математике теорема о душе — это теорема римановой геометрии , которая в значительной степени сводит изучение полных многообразий неотрицательной секционной кривизны к изучению компактного случая. Джефф Чигер и Детлеф Громолл доказали теорему в 1972 году, обобщив результат 1969 года Громолла и Вольфганга Мейера. Связанная с ней гипотеза о душе , сформулированная Чигером и Громоллом в то время, была доказана двадцать лет спустя Григорием Перельманом .

Теорема о душе Чигера и Громолла гласит: ^[1]

Если ( M , g ) -- полное связное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной , то существует замкнутое вполне выпуклое , вполне геодезическое вложенное подмногообразие , нормальное расслоение которого диффеоморфно M .

Такое подмногообразие называется душой ( M , g ) . По уравнению Гаусса и полной геодезичности, индуцированная риманова метрика на душе автоматически имеет неотрицательную секционную кривизну. Громолл и Мейер ранее изучали случай положительной секционной кривизны, где они показали, что душа задается одной точкой, и, следовательно, что M диффеоморфно евклидову пространству . ^[2]

Очень простые примеры, как показано ниже, показывают, что душа не определяется однозначно ( M , g ) в общем случае. Однако Владимир Шарафутдинов построил 1-липшицеву ретракцию от M к любой из ее душ, тем самым показав, что любые две души изометричны . Это отображение известно как ретракция Шарафутдинова . ^[3]

Чигер и Громолл также поставили обратный вопрос о том, существует ли полная риманова метрика неотрицательной секционной кривизны на общем пространстве любого векторного расслоения над замкнутым многообразием положительной секционной кривизны. ^[4] Сейчас известно, что ответ отрицательный, хотя теория существования до конца не изучена. ^[5]

Примеры.

• Как непосредственно видно из определения, каждое компактное многообразие является своей собственной душой. По этой причине теорема часто формулируется только для некомпактных многообразий.
• В качестве очень простого примера возьмем M как евклидово пространство R ⁿ . Секционная кривизна везде равна 0 , и любая точка M может служить душой M .
• Теперь возьмем параболоид M = {( x , y , z ) : z = x ² + y ² }, где метрика g является обычным евклидовым расстоянием, полученным в результате вложения параболоида в евклидово пространство R ³ . Здесь секционная кривизна положительна всюду, хотя и не постоянна. Начало координат (0, 0, 0) является душой M . Не каждая точка x из M является душой M , поскольку могут существовать геодезические петли, основанные на x , в этом случае не будет полностью выпуклой. ^[6]${\displaystyle \{x\}}$
• Можно также рассмотреть бесконечный цилиндр M = {( x , y , z ) : x ² + y ² = 1 }, снова с индуцированной евклидовой метрикой. Секционная кривизна везде равна 0. Любая «горизонтальная» окружность {( x , y , z ) : x ² + y ² = 1 } с фиксированным z является душой M . Негоризонтальные поперечные сечения цилиндра не являются душами, поскольку они не являются ни полностью выпуклыми, ни полностью геодезическими. ^[7]

Как упоминалось выше, Громолл и Мейер доказали, что если g имеет положительную секционную кривизну, то душа является точкой. Чигер и Громолл предположили, что это будет справедливо даже если g имеет неотрицательную секционную кривизну, причем положительность требуется только для всех секционных кривизн в одной точке. ^[8] Эта гипотеза о душе была доказана Григорием Перельманом , который установил более весомый факт, что ретракция Шарафутдинова является римановой субмерсией и даже субметрией . ^[5]

Источники.