Шестая сила

В арифметике и алгебре шестая степень числа n — это результат умножения шести вхождений n . Итак :

n ⁶ = n × n × n × n × n .​​

Шестую степень можно получить, умножив число на его пятую степень , умножив квадрат числа на его четвертую степень , возведя квадрат в куб или возведя куб в квадрат.

Последовательность шестых степеней целых чисел :

0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... (последовательность A001014 в OEIS )

К ним относятся значимые десятичные числа ¹⁰⁶ ( миллион ), ¹⁰⁰⁶ ( короткий триллион и длинный миллиард), 10006 ⁽ квинтиллион и длинный триллион ) и так далее.

Шестые степени целых чисел можно охарактеризовать как числа, которые одновременно являются квадратами и кубами. ^[1] Таким образом, они аналогичны двум другим классам фигурных чисел : квадратно-треугольным числам , которые одновременно являются квадратными и треугольными, и решениям задачи о пушечном ядре , которые одновременно являются квадратными и квадратно-пирамидальными.

Из-за своей связи с квадратами и кубами шестые степени играют важную роль в изучении кривых Морделла , которые представляют собой эллиптические кривые вида

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k.}$

Когда делится на шестую степень, это уравнение можно сократить, разделив на эту степень, чтобы получить более простое уравнение того же вида. Известный результат в теории чисел , доказанный Рудольфом Фютером и Луисом Дж. Морделлом , гласит, что когда — целое число, не делящееся на шестую степень (кроме исключительных случаев и ), это уравнение либо не имеет рациональных решений с обоими и ненулевыми, либо их бесконечно много. ^[2]${\displaystyle к}$${\displaystyle к}$${\displaystyle к=1}$${\displaystyle к=-432}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

В архаичной нотации Роберта Рекорда шестая степень числа называлась «zenzicube», что означает квадрат куба. Аналогично, нотация шестых степеней, используемая в индийской математике XII века Бхаскарой II, также называлась либо квадратом куба, либо кубом квадрата. ^[3]

Существует множество известных примеров шестых степеней, которые можно выразить как сумму семи других шестых степеней, но пока не известно ни одного примера шестой степени, которую можно выразить как сумму всего лишь шести шестых степеней. ^[4] Это делает ее уникальной среди степеней с показателем k = 1, 2, ... , 8, каждая из которых может быть выражена как сумма k других k -ных степеней, а некоторые из них (в нарушение гипотезы Эйлера о сумме степеней ) могут быть выражены как сумма еще меньшего количества k -ных степеней.

В связи с проблемой Варинга каждое достаточно большое целое число может быть представлено в виде суммы не более 24 шестых степеней целых чисел. ^[5]

Существует бесконечно много различных нетривиальных решений диофантова уравнения ^[6]

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=d^{6}+e^{6}+f^{6}.}$

Не доказано, верно ли уравнение

${\displaystyle а^{6}+b^{6}=c^{6}+d^{6}}$

имеет нетривиальное решение ^[7], но гипотеза Ландера, Паркина и Селфриджа подразумевает, что это не так.

• ${\displaystyle n^{6}-1}$делится на 7, если n не делится на 7.

• Секстическое уравнение
• Восьмая степень
• Седьмая сила
• Пятая степень (алгебра)
• Четвертая сила
• Куб (алгебра)
• Квадрат (алгебра)

• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — 6-я степень». MathWorld .