Формат с плавающей точкой одинарной точности

32-битный формат компьютерного числа

Формат чисел с плавающей точкой одинарной точности (иногда называемый FP32 или float32 ) — это компьютерный числовой формат , обычно занимающий 32 бита в памяти компьютера ; он представляет широкий динамический диапазон числовых значений с использованием плавающей запятой .

Переменная с плавающей точкой может представлять более широкий диапазон чисел, чем переменная с фиксированной точкой той же разрядности за счет точности. Знаковая 32-битная целая переменная имеет максимальное значение 2 ³¹ − 1 = 2 147 483 647, тогда как 32-битная переменная с плавающей точкой IEEE 754 с основанием 2 имеет максимальное значение (2 − 2 ⁻²³ ) × 2 ¹²⁷ ≈ 3,4028235 × 10 ³⁸ . Все целые числа с семью или менее десятичными цифрами и любые 2 ⁿ для целого числа −149 ≤ n ≤ 127 могут быть точно преобразованы в значение с плавающей точкой одинарной точности IEEE 754.

В стандарте IEEE 754 32-битный формат с основанием 2 официально называется binary32 ; в IEEE 754-1985 он назывался single . IEEE 754 определяет дополнительные типы с плавающей точкой, такие как 64-битные представления с основанием 2 двойной точности и, в последнее время, представления с основанием 10.

Одним из первых языков программирования, предоставляющих типы данных с плавающей точкой одинарной и двойной точности, был Fortran . До широкого принятия IEEE 754-1985 представление и свойства типов данных с плавающей точкой зависели от производителя и модели компьютера, а также от решений, принимаемых разработчиками языков программирования. Например, тип данных с одинарной точностью GW-BASIC представлял собой 32-битный формат с плавающей точкой MBF.

Одинарная точность называется REAL в Fortran ; ^[1] SINGLE-FLOAT в Common Lisp ; ^[2] float в C , C++ , C# и Java ; ^[3] Float в Haskell ^[4] и Swift ; ^[5] и Single в Object Pascal ( Delphi ), Visual Basic и MATLAB . Однако float в Python , Ruby , PHP и OCaml и single в версиях Octave до 3.2 относятся к числам с двойной точностью . В большинстве реализаций PostScript и некоторых встроенных системах единственной поддерживаемой точностью является single.

Стандарт IEEE 754: двоичный32

Стандарт IEEE 754 определяет binary32 как имеющий:

Знаковый бит : 1 бит
Ширина экспоненты : 8 бит
Точность значащей части : 24 бита (23 явно сохранены)

Это дает точность от 6 до 9 значащих десятичных цифр . Если десятичная строка с максимум 6 значащими цифрами преобразуется в формат одинарной точности IEEE 754, давая обычное число , а затем преобразуется обратно в десятичную строку с тем же количеством цифр, конечный результат должен соответствовать исходной строке. Если число одинарной точности IEEE 754 преобразуется в десятичную строку с минимум 9 значащими цифрами, а затем преобразуется обратно в представление одинарной точности, конечный результат должен соответствовать исходному числу. ^[6]

Бит знака определяет знак числа, который также является знаком мантиссы. Поле экспоненты представляет собой 8-битное целое число без знака от 0 до 255 в смещенной форме : значение 127 представляет фактическую экспоненту, равную нулю. Экспоненты находятся в диапазоне от −126 до +127 (таким образом, от 1 до 254 в поле экспоненты), поскольку смещенные значения экспоненты 0 (все нули) и 255 (все единицы) зарезервированы для специальных чисел ( субнормальные числа , нули со знаком , бесконечности и NaN ).

Истинная мантисса обычных чисел включает 23 дробных бита справа от двоичной точки и неявный ведущий бит (слева от двоичной точки) со значением 1. Субнормальные числа и нули (являющиеся числами с плавающей точкой, меньшими по величине, чем наименьшее положительное нормальное число) представлены смещенным значением экспоненты 0, что дает неявному ведущему биту значение 0. Таким образом, в формате памяти появляются только 23 дробных бита мантиссы , но общая точность составляет 24 бита (эквивалентно log ₁₀ (2 ²⁴ ) ≈ 7,225 десятичных цифр).

Биты расположены следующим образом:

Действительное значение, принимаемое заданными 32-битными двоичными данными32 с заданным знаком , смещенной экспонентой e (8-битное целое число без знака) и 23-битной дробью , равно

(-1)^{b_{31}}\times 2^{(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}-127}\times (1.b_{22}b_{21}\dots b_{0})_{2}

,

что дает

{\text{value}}=(-1)^{\text{sign}}\times 2^{(E-127)}\times \left(1+\sum _{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}\right).

В этом примере:

${\text{sign}}=b_{31}=0$ ,
$(-1)^{\text{sign}}=(-1)^{0}=+1\in \{-1,+1\}$ ,
$E=(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}=\sum _{i=0}^{7}b_{23+i}2^{+i}=124\in \{1,\ldots ,(2^{8}-1)-1\}=\{1,\ldots ,254\}$ ,
$2^{(E-127)}=2^{124-127}=2^{-3}\in \{2^{-126},\ldots ,2^{127}\}$ ,
$1.b_{22}b_{21}...b_{0}=1+\sum _{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}=1+1\cdot 2^{-2}=1.25\in \{1,1+2^{-23},\ldots ,2-2^{-23}\}\subset [1;2-2^{-23}]\subset [1;2)$ .

таким образом:

${\text{value}}=(+1)\times 2^{-3}\times 1.25=+0.15625$ .

Примечание:

$1+2^{-23}\approx 1.000\,000\,119$ ,
$2-2^{-23}\approx 1.999\,999\,881$ ,
$2^{-126}\approx 1.175\,494\,35\times 10^{-38}$ ,
$2^{+127}\approx 1.701\,411\,83\times 10^{+38}$ .

Кодирование экспоненты

Двоичная экспонента с плавающей точкой одинарной точности кодируется с использованием двоичного представления смещения , при этом нулевое смещение равно 127; в стандарте IEEE 754 это также известно как смещение экспоненты.

E _мин = 01 _H −7F _H = −126
E _макс = FE _H −7F _H = 127
Смещение показателя = 7F _H = 127

Таким образом, чтобы получить истинную экспоненту, определенную смещением-двоичным представлением, смещение 127 необходимо вычесть из сохраненной экспоненты.

Сохраненные показатели 00 _H и FF _H интерпретируются особым образом.

Экспонента	дробь = 0	дробь ≠ 0	Уравнение
00 _Н = 00000000 ₂	±ноль	субнормальное число	$(-1)^{\text{sign}}\times 2^{-126}\times 0.{\text{fraction}}$
01 _Н , ..., ФЕ _Н = 00000001 ₂ , ..., 11111110 ₂	нормальное значение		$(-1)^{\text{sign}}\times 2^{{\text{exponent}}-127}\times 1.{\text{fraction}}$
ФФ _Н = 11111111 ₂	± бесконечность	NaN (тихий, сигнальный)

Минимальное положительное нормальное значение равно , а минимальное положительное (субнормальное) значение равно . $2^{-126}\approx 1.18\times 10^{-38}$ $2^{-149}\approx 1.4\times 10^{-45}$

Преобразование десятичного числа в двоичное32

В общем случае, строгое преобразование (включая округление) действительного числа в эквивалентный ему двоичный формат binary32 можно найти в самом стандарте IEEE 754.

Здесь мы можем показать, как преобразовать действительное число с основанием 10 в двоичный формат IEEE 75432, используя следующую схему:

Рассмотрим действительное число с целой и дробной частью, например 12,375.
Преобразовать и нормализовать целую часть в двоичную
Преобразуйте дробную часть, используя следующую технику, как показано здесь.
Сложите два результата и скорректируйте их, чтобы получить правильное окончательное преобразование.

Преобразование дробной части: Рассмотрим 0,375, дробную часть числа 12,375. Чтобы преобразовать его в двоичную дробь, умножьте дробь на 2, возьмите целую часть и повторите с новой дробью на 2, пока не будет найдена дробь, равная нулю, или пока не будет достигнут предел точности, который составляет 23 цифры дроби для формата IEEE 754 binary32.

0.375\times 2=0.750=0+0.750\Rightarrow b_{-1}=0

, целая часть представляет собой двоичную дробную цифру. Умножьте 0,750 на 2, чтобы продолжить

0.750\times 2=1.500=1+0.500\Rightarrow b_{-2}=1

0.500\times 2=1.000=1+0.000\Rightarrow b_{-3}=1

, дробь = 0,011, завершить

Мы видим, что может быть точно представлено в двоичном виде как . Не все десятичные дроби могут быть представлены в виде конечной двоичной дроби. Например, десятичная дробь 0,1 не может быть представлена в двоичном виде точно, только приблизительно. Поэтому: $(0.375)_{10}$ $(0.011)_{2}$

(12.375)_{10}=(12)_{10}+(0.375)_{10}=(1100)_{2}+(0.011)_{2}=(1100.011)_{2}

Поскольку формат IEEE 754 binary32 требует представления действительных значений в формате (см. Нормализованное число , Денормализованное число ), 1100.011 сдвигается вправо на 3 цифры, чтобы стать $(1.x_{1}x_{2}...x_{23})_{2}\times 2^{e}$ $(1.100011)_{2}\times 2^{3}$

Наконец мы видим, что: $(12.375)_{10}=(1.100011)_{2}\times 2^{3}$

Из чего мы делаем вывод:

Показатель степени равен 3 (и в смещенной форме он, следовательно, равен ) $(127+3)_{10}=(130)_{10}=(1000\ 0010)_{2}$
Дробь равна 100011 (смотря вправо от двоичной точки)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное двоичное представление формата IEEE 754 для числа 12,375:

(12.375)_{10}=(0\ 10000010\ 10001100000000000000000)_{2}=(41460000)_{16}

Примечание: рассмотрите возможность преобразования 68.123 в формат IEEE 754 binary32: используя описанную выше процедуру, вы ожидаете получить число с последними 4 битами, равными 1001. Однако из-за поведения округления по умолчанию в формате IEEE 754 вы получите число с последними 4 битами, равными 1010. $({\text{42883EF9}})_{16}$ $({\text{42883EFA}})_{16}$

Пример 1: Рассмотрим десятичную дробь 1. Мы видим, что: $(1)_{10}=(1.0)_{2}\times 2^{0}$

Из чего мы делаем вывод:

Показатель степени равен 0 (и в смещенной форме он, следовательно, равен $(127+0)_{10}=(127)_{10}=(0111\ 1111)_{2}$
Дробь равна 0 (смотрим вправо от двоичной точки в 1.0 - все ) $0=000...0$

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное двоичное представление формата IEEE 754 для действительного числа 1:

(1)_{10}=(0\ 01111111\ 00000000000000000000000)_{2}=({\text{3F800000}})_{16}

Пример 2: Рассмотрим значение 0,25. Мы видим, что: $(0.25)_{10}=(1.0)_{2}\times 2^{-2}$

Из чего мы делаем вывод:

Показатель степени равен −2 (а в смещенной форме он равен ) $(127+(-2))_{10}=(125)_{10}=(0111\ 1101)_{2}$
Дробь равна 0 (если смотреть вправо от двоичной точки в 1.0, то там все нули)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное двоичное представление формата IEEE 754 для действительного числа 0,25:

(0.25)_{10}=(0\ 01111101\ 00000000000000000000000)_{2}=({\text{3E800000}})_{16}

Пример 3: Рассмотрим значение 0,375. Мы увидели, что $0.375={(0.011)_{2}}={(1.1)_{2}}\times 2^{-2}$

Следовательно, определив представление 0,375, мы можем действовать, как указано выше: ${(1.1)_{2}}\times 2^{-2}$

Показатель степени равен −2 (а в смещенной форме он равен ) $(127+(-2))_{10}=(125)_{10}=(0111\ 1101)_{2}$
Дробь равна 1 (смотря вправо от двоичной точки в 1.1, мы видим единицу ) $1=x_{1}$

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное двоичное представление формата IEEE 754 для действительного числа 0,375:

(0.375)_{10}=(0\ 01111101\ 10000000000000000000000)_{2}=({\text{3EC00000}})_{16}

Преобразование двоичного32 в десятичное

Если значение binary32, в данном примере 41C80000 , представлено в шестнадцатеричном формате, мы сначала преобразуем его в двоичный формат:

{\text{41C8 0000}}_{16}=0100\ 0001\ 1100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}

затем мы разбиваем его на три части: знаковый бит, показатель степени и мантисса.

Знаковый бит: $0_{2}$
Показатель степени: $1000\ 0011_{2}=83_{16}=131_{10}$
Значащая часть: $100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}=480000_{16}$

Затем мы добавляем неявный 24-й бит к значащей части:

Значащая часть: $\mathbf {1} 100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}={\text{C80000}}_{16}$

и декодируем значение показателя степени, вычитая 127:

Исходный показатель степени: $83_{16}=131_{10}$
Расшифрованная экспонента: $131-127=4$

Каждый из 24 битов мантиссы (включая неявный 24-й бит), с 23-го по 0-й бит, представляет собой значение, начинающееся с 1 и уменьшающееся вдвое для каждого бита, как показано ниже:

бит 23 = 1бит 22 = 0,5бит 21 = 0,25бит 20 = 0,125бит 19 = 0,0625бит 18 = 0,03125бит 17 = 0,015625..бит 6 = 0,00000762939453125бит 5 = 0,000003814697265625бит 4 = 0,0000019073486328125бит 3 = 0,00000095367431640625бит 2 = 0,000000476837158203125бит 1 = 0,0000002384185791015625бит 0 = 0,00000011920928955078125

Мантисса в этом примере имеет три установленных бита: бит 23, бит 22 и бит 19. Теперь мы можем декодировать мантису, сложив значения, представленные этими битами.

Расшифрованная мантисса: $1+0.5+0.0625=1.5625={\text{C80000}}/2^{23}$

Затем нам нужно умножить на основание 2 в степени показателя, чтобы получить окончательный результат:

1.5625\times 2^{4}=25

Таким образом

{\text{41C8 0000}}=25

Это эквивалентно:

n=(-1)^{s}\times (1+m*2^{-23})\times 2^{x-127}

где $s$ — знаковый бит, $x$ — показатель степени, а $m$ — мантисса.

Ограничения точности десятичных значений (от 1 до 16777216)

Десятичные числа от 1 до 2: фиксированный интервал 2 ⁻²³ (1+2 ⁻²³ — следующее по величине число с плавающей точкой после 1)
Десятичные дроби от 2 до 4: фиксированный интервал 2 ⁻²²
Десятичные дроби от 4 до 8: фиксированный интервал 2 ⁻²¹
...
Десятичные дроби от 2 ⁿ до 2 ⁿ⁺¹ : фиксированный интервал 2 ^n-23
...
Десятичные дроби между 2 ²² =4194304 и 2 ²³ =8388608: фиксированный интервал 2 ⁻¹ =0,5
Десятичные дроби между 2 ²³ =8388608 и 2 ²⁴ =16777216: фиксированный интервал 2 ⁰ =1

Ограничения точности целочисленных значений

Целые числа от 0 до 16777216 могут быть представлены точно (также применимо к отрицательным целым числам от −16777216 до 0)
Целые числа от 2 ²⁴ =16777216 до 2 ²⁵ =33554432 округляются до кратного 2 (четного числа)
Целые числа от 2 ²⁵ до 2 ²⁶ округляются до кратного 4.
...
Целые числа от 2 ⁿ до 2 ⁿ⁺¹ округляются до кратного 2 ^n-23
...
Целые числа от 2 ¹²⁷ до 2 ¹²⁸ округляются до кратного 2 ^104.
Целые числа, большие или равные 2 ^128, округляются до «бесконечности».

Известные случаи одинарной точности

Эти примеры даны в битовом представлении , в шестнадцатеричном и двоичном , значения с плавающей точкой. Это включает знак, (смещенную) экспоненту и мантиссу.

0 00000000 00000000000000000000001 ₂ = 0000 0001 ₁₆ = 2 ⁻¹²⁶ × 2 ⁻²³ = 2 ⁻¹⁴⁹ ≈ 1,4012984643 × 10 ⁻⁴⁵ (наименьшее положительное субнормальное число)

0 00000000 11111111111111111111111111 ₂ = 007f ffff ₁₆ = 2 ⁻¹²⁶ × (1 − 2 ⁻²³ ) ≈ 1,1754942107 ×10 ⁻³⁸ (наибольшее субнормальное число)

0 00000001 00000000000000000000000 ₂ = 0080 0000 ₁₆ = 2 ⁻¹²⁶ ≈ 1,1754943508 × 10 ⁻³⁸ (наименьшее положительное нормальное число)

0 11111110 1111111111111111111111111 ₂ = 7f7f ffff ₁₆ = 2 ¹²⁷ × (2 − 2 ⁻²³ ) ≈ 3,4028234664 × 10 ³⁸ (наибольшее нормальное число)

0 01111110 1111111111111111111111111 ₂ = 3f7f ffff ₁₆ = 1 − 2 ⁻²⁴ ≈ 0,999999940395355225 (наибольшее число меньше единицы)

0 01111111 0000000000000000000000000 ₂ = 3f80 0000 ₁₆ = 1 (один)

0 01111111 00000000000000000000001 ₂ = 3f80 0001 ₁₆ = 1 + 2 ⁻²³ ≈ 1,00000011920928955 (наименьшее число больше единицы)

1 10000000 00000000000000000000000 ₂ = с000 0000 ₁₆ = −20 00000000 00000000000000000000000 ₂ = 0000 0000 ₁₆ = 01 00000000 00000000000000000000000 ₂ = 8000 0000 ₁₆ = −0 0 11111111 0000000000000000000000000 ₂ = 7f80 0000 ₁₆ = бесконечность1 11111111 0000000000000000000000000 ₂ = ff80 0000 ₁₆ = −бесконечность 0 10000000 10010010000111111011011 ₂ = 4049 0fdb ₁₆ ≈ 3,14159274101257324 ≈ π (пи)0 0 01111101 01010101010101010101011 ₂ = 3eaa aaab ₁₆ ≈ 0,333333343267440796 ≈ 1/3 x 11111111 1000000000000000000000001 ₂ = ffc0 0001 ₁₆ = qNaN (на процессорах x86 и ARM)x 11111111 0000000000000000000000001 ₂ = ff80 0001 ₁₆ = sNaN (на процессорах x86 и ARM)

По умолчанию 1/3 округляет вверх, а не вниз, как двойная точность , из-за четного числа бит в значащей части. Биты 1/3 за точкой округления — это 1010...те, которые больше 1/2 единицы в последнем разряде .

Кодировки qNaN и sNaN не определены в IEEE 754 и реализованы по-разному на разных процессорах. Процессоры семейства x86 и ARM используют старший бит поля мантиссы для указания тихого NaN . Процессоры PA-RISC используют бит для указания сигнального NaN .

Оптимизации

Формат с плавающей точкой допускает различные оптимизации, возникающие из-за простого создания аппроксимации логарифма по основанию 2 из целочисленного представления необработанного битового шаблона. Целочисленная арифметика и сдвиг битов могут дать аппроксимацию обратного квадратного корня ( быстрый обратный квадратный корень ), обычно требуемую в компьютерной графике .

Смотрите также

IEEE 754
ISO/IEC 10967 , арифметика, не зависящая от языка
Примитивный тип данных
Численная стабильность
Научная нотация

Ссылки

^ "REAL Statement". scc.ustc.edu.cn . Архивировано из оригинала 2021-02-24 . Получено 2013-02-28 .
^ "CLHS: Тип SHORT-FLOAT, SINGLE-FLOAT, DOUBLE-FLOAT..." www.lispworks.com .
^ "Примитивные типы данных". Документация Java .
^ "6 предопределенных типов и классов". haskell.org . 20 июля 2010 г.
^ "Float". Документация разработчика Apple .
↑ Уильям Кахан (1 октября 1997 г.). «Конспект лекций о состоянии стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей точкой» (PDF) . стр. 4. Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2012 г.

Внешние ссылки

Редактор битовых шаблонов с плавающей точкой в реальном времени
Онлайн калькулятор
Онлайн-конвертер чисел IEEE 754 с одинарной точностью
Исходный код C для преобразования между двойной, одинарной и половинной точностью IEEE

[1] "REAL Statement". scc.ustc.edu.cn . Архивировано из оригинала 2021-02-24 . Получено 2013-02-28 .

[2] "CLHS: Тип SHORT-FLOAT, SINGLE-FLOAT, DOUBLE-FLOAT..." www.lispworks.com .

[3] "Примитивные типы данных". Документация Java .

[4] "6 предопределенных типов и классов". haskell.org . 20 июля 2010 г.

[5] "Float". Документация разработчика Apple .

[whyieee-6] Уильям Кахан (1 октября 1997 г.). «Конспект лекций о состоянии стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей точкой» (PDF) . стр. 4. Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2012 г.