Дихотомия Сильвера

В дескриптивной теории множеств , разделе математики , дихотомия Сильвера (также известная как теорема Сильвера ) ^[1] представляет собой утверждение об отношениях эквивалентности , названное в честь Джека Сильвера . ^{[2] [3]}

Отношение называется коаналитическим, если его дополнение является аналитическим множеством. Дихотомия Сильвера — это утверждение о классах эквивалентности коаналитического отношения эквивалентности, утверждающее, что любое коаналитическое отношение эквивалентности либо имеет счетное число классов эквивалентности, либо существует совершенный набор вещественных чисел, каждое из которых несравнимо друг с другом. ^[4] В последнем случае должно быть континуум классов эквивалентности отношения. ^[2]

Первое опубликованное доказательство дихотомии Сильвера было сделано Джеком Сильвером в 1980 году, чтобы ответить на вопрос, поставленный Харви Фридманом . ^[5] Одно из приложений дихотомии Сильвера, появляющееся в рекурсивной теории множеств, заключается в том, что поскольку равенство, ограниченное множеством, является коаналитическим, не существует такого отношения эквивалентности Бореля, что , где обозначает отношение эквивалентности Бореля. Некоторые более поздние результаты, мотивированные дихотомией Сильвера, основали новую область, известную как инвариантная дескриптивная теория множеств, которая изучает определимые отношения эквивалентности. Дихотомия Сильвера также допускает несколько более слабых рекурсивных версий, которые сравнивались по силе с подсистемами арифметики второго порядка из обратной математики , ^[2] в то время как сама дихотомия Сильвера доказуемо эквивалентна над . ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (=\upharpoonright \aleph _{0})\leq _{B}R\leq _{B}(=\upharpoonright 2^{\aleph _{0}})}$${\displaystyle \leq _{B}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$