Деформация (физика)

Деформация
Деформация тонкого прямого стержня в замкнутую петлю. Длина стержня остается практически неизменной в процессе деформации, что свидетельствует о малой деформации. В данном конкретном случае изгиба смещения, связанные с жесткими перемещениями и поворотами материальных элементов в стержне, намного больше смещений, связанных с деформацией.
В основных единицах СИ	м
Измерение	${\displaystyle {\mathsf {L}}}$

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье–Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский  · неньютоновский ) Плавучесть  · Смешивание  · Давление Жидкости Адгезия Капиллярное действие Хроматография Когезия (химия) Поверхностное натяжение Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Шарля Комбинированный газовый закон Закон Фика Закон Гей-Люссака Закон Грэма плазма
Реология Вязкоупругость Реометрия Реометр Умные жидкости Электрореологический Магнитореологический Ферромагнитные жидкости
Ученые Бернулли Бойл Коши Чарльз Эйлер Фик Гей-Люссак Грэм Гук Ньютон Навье Нолл Паскаль Стокса Трусделл
в т е

В физике и механике сплошных сред деформация — это изменение формы или размера объекта. Она имеет размерность длины с единицей СИ метр (м ) . Она количественно определяется как остаточное смещение частиц в нежестком теле от начальной конфигурации до конечной конфигурации, исключая среднее перемещение и вращение тела (его жесткое преобразование ). ^[1] Конфигурация — это набор, содержащий положения всех частиц тела.

Деформация может возникнуть из-за внешних нагрузок , ^[2] внутренней активности (например, сокращения мышц ), сил тела (таких как гравитация или электромагнитные силы ) или изменений температуры, влажности или химических реакций и т. д.

В непрерывном теле поле деформации возникает из-за поля напряжений , вызванного приложенными силами или некоторыми изменениями в состоянии тела. Связь между напряжением и деформацией (относительной деформацией) выражается материальными уравнениями , например, законом Гука для линейно-упругих материалов.

Деформации, которые прекращают свое существование после снятия поля напряжений, называются упругими деформациями . В этом случае континуум полностью восстанавливает свою первоначальную конфигурацию. С другой стороны, необратимые деформации могут оставаться, и они существуют даже после снятия напряжений. Одним из типов необратимых деформаций является пластическая деформация , которая происходит в материальных телах после того, как напряжения достигают определенного порогового значения, известного как предел упругости или предел текучести , и является результатом скольжения или механизмов дислокации на атомном уровне. Другим типом необратимых деформаций является вязкая деформация , которая является необратимой частью вязкоупругой деформации. В случае упругих деформаций функция отклика, связывающая деформацию с деформирующим напряжением, является тензором податливости материала.

Деформация — это изменение метрических свойств непрерывного тела, то есть кривая, нарисованная в исходном положении тела, изменяет свою длину при перемещении на кривую в конечном положении. Если ни одна из кривых не изменяет длину, говорят, что произошло перемещение жесткого тела .

Удобно определить опорную конфигурацию или начальное геометрическое состояние тела континуума, от которого отсчитываются все последующие конфигурации. Опорная конфигурация не обязательно должна быть той, которую тело фактически когда-либо займет. Часто конфигурация в момент t = 0 считается опорной конфигурацией, κ ₀ ( B ) . Конфигурация в текущий момент времени t является текущей конфигурацией .

Для анализа деформации эталонная конфигурация определяется как недеформированная конфигурация , а текущая конфигурация как деформированная конфигурация . Кроме того, при анализе деформации время не учитывается, поэтому последовательность конфигураций между недеформированной и деформированной конфигурациями не представляет интереса.

Компоненты X _i вектора положения X частицы в исходной конфигурации, взятые относительно исходной системы координат, называются материальными или исходными координатами . С другой стороны, компоненты x _i вектора положения x частицы в деформированной конфигурации, взятые относительно пространственной системы координат отсчета, называются пространственными координатами .

Существует два метода анализа деформации континуума. Одно описание делается в терминах материальных или референтных координат, оно называется материальным описанием или лагранжевым описанием . Второе описание деформации делается в терминах пространственных координат, оно называется пространственным описанием или эйлеровым описанием .

При деформации сплошного тела имеет место непрерывность в том смысле, что:

• Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любой последующий момент времени.
• Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любой последующий момент времени, и материя внутри замкнутой поверхности всегда будет оставаться внутри.

Аффинная деформация — это деформация, которая может быть полностью описана аффинным преобразованием . Такое преобразование состоит из линейного преобразования (такого как вращение, сдвиг, растяжение и сжатие) и трансляции жесткого тела. Аффинные деформации также называются однородными деформациями . ^[3]

Таким образом, аффинная деформация имеет вид , где x — положение точки в деформированной конфигурации, X — положение в опорной конфигурации, t — параметр, подобный времени, F — линейный трансформатор, а c — трансляция. В матричной форме, где компоненты находятся относительно ортонормированного базиса,$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

Вышеуказанная деформация становится неаффинной или неоднородной, если F = F ( X , t ) или c = c ( X , t ) .

Движение твердого тела — это особая аффинная деформация, которая не включает в себя сдвиг, расширение или сжатие. Матрица преобразования F является собственно ортогональной , чтобы допускать вращения, но не отражения .

Движение твердого тела можно описать следующим образом : В матричной форме:$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Смещение тела имеет две составляющие: смещение твердого тела и деформацию. Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы или размера. Деформация подразумевает изменение формы и/или размера тела от начальной или недеформированной конфигурации κ ₀ ( B ) до текущей или деформированной конфигурации κ _t ( B ) (рисунок 1).

Если после смещения континуума происходит относительное смещение между частицами, то произошла деформация. С другой стороны, если после смещения континуума относительное смещение между частицами в текущей конфигурации равно нулю, то деформации нет и говорят, что произошло смещение твердого тела.

Вектор, соединяющий положения частицы P в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения u ( X , t ) = u _i e _i в лагранжевом описании или U ( x , t ) = U _J E _J в эйлеровом описании.

Поле смещения — это векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещения. В общем случае поле смещения выражается в терминах материальных координат как или в терминах пространственных координат как где α _Ji — направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами E _J и e _i соответственно. Таким образом , и связь между u _i и U _J тогда задается как$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$$${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

Зная, что тогда$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к b = 0 , а направляющие косинусы становятся дельта-символами Кронекера :$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

Таким образом, мы имеем или в терминах пространственных координат как$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}$$

Частное дифференцирование вектора смещения по материальным координатам дает тензор градиента смещения материала ∇ _X u . Таким образом, имеем: или где F — тензор градиента деформации .$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

Аналогично, частная дифференциация вектора смещения по пространственным координатам дает тензор градиента пространственного смещения ∇ _x U. Таким образом, мы имеем, или$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}}$$

Однородные (или аффинные) деформации полезны для объяснения поведения материалов. Некоторые однородные деформации, представляющие интерес,

• равномерное расширение
• чистое расширение
• равнодвухосное растяжение
• простой сдвиг
• чистый сдвиг

Линейные или продольные деформации длинных объектов, таких как балки и волокна, называются удлинением или укорочением ; производными величинами являются относительное удлинение и коэффициент растяжения .

Плоские деформации также представляют интерес, особенно в экспериментальном контексте.

Объемная деформация представляет собой равномерное масштабирование вследствие изотропного сжатия ; относительная объемная деформация называется объемной деформацией .

Плоская деформация, также называемая плоской деформацией , — это деформация, при которой деформация ограничена одной из плоскостей в исходной конфигурации. Если деформация ограничена плоскостью, описываемой базисными векторами e ₁ , e ₂ , градиент деформации имеет вид В матричной форме, Из теоремы о полярном разложении градиент деформации, с точностью до изменения координат, может быть разложен на растяжение и поворот. Поскольку вся деформация находится в плоскости, мы можем записать ^[3] где θ — угол поворота, а λ ₁ , λ ₂ — главные растяжения .$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Если деформация изохорическая (сохраняющая объем), то det( F ) = 1 и мы имеем Альтернативно,$${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1}$$$${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1}$$

Простая деформация сдвига определяется как изохорная плоская деформация, в которой существует набор линейных элементов с заданной опорной ориентацией, которые не меняют длину и ориентацию во время деформации. ^[3]

Если e ₁ — фиксированная опорная ориентация, в которой линейные элементы не деформируются во время деформации, то λ ₁ = 1 и F · e ₁ = e _1. Следовательно, Поскольку деформация изохорная, Определим Тогда градиент деформации при простом сдвиге можно выразить как Теперь, поскольку мы также можем записать градиент деформации как$${\displaystyle F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0}$$$${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1}$$$${\displaystyle \gamma :=F_{12}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$

• Деформация длинных элементов, таких как балки или стойки, под действием изгибающих сил называется прогибом .
• Теория балок Эйлера–Бернулли
• Деформация (инженерная)
• Теория конечных деформаций
• Теория бесконечно малых деформаций
• Муаровый узор
• Модуль сдвига
• Напряжение сдвига
• Прочность на сдвиг
• Деформация (механика)
• Напряжение (механика)
• Меры по снятию стресса

• Базант, Зденек П.; Чедолин, Луиджи (2010). Неустойчивости трехмерного континуума и эффекты тензора конечной деформации, глава 11 в «Устойчивости конструкций», 3-е изд. Сингапур, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing. ISBN 978-9814317030.
• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошной среды: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Континуальные методы физического моделирования. Германия: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Йирасек, М.; Базант, З.П. (2002). Неупругий анализ конструкций. Лондон и Нью-Йорк: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
• Лубарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, CW (1994). Реология: принципы, измерения и приложения . VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Механика сплошной среды. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Механика сплошной среды для инженеров (2-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Пластичность: Трактат о конечной деформации гетерогенных неупругих материалов. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
• Прагер, Уильям (1961). Введение в механику сплошных сред. Бостон: Ginn and Co. ISBN 0486438090.