Последовательности (книга)
Математическая монография

Х. Халберстам и К.Ф. Рот:Последовательности
Х. Халберстам и К.Ф. Рот: Последовательности, 2-е изд., Springer, Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин, 1983.
АвторХ. Халберстам и К.Ф. Рот
ИздательClarendon Press, 1-е издание; Springer, Нью-Йорк, 2-е издание.
Опубликовано на английском языке
1966 г., 1-е издание; 1983 г., 2-е издание.
ISBN9781461382294 2-е издание.
OCLC877577079 1-е издание; 7330436683 2-е издание.

Sequences — математическая монография о целочисленных последовательностях . Она была написана Хайни Халберстамом и Клаусом Ротом , опубликована в 1966 году издательством Clarendon Press и переиздана в 1983 году с небольшими исправлениями издательством Springer-Verlag . [1] [2] Хотя планировалось, что она станет частью двухтомного издания, [3] [4] второй том так и не был опубликован.

Темы

Книга состоит из пяти глав, [3] каждая из которых в значительной степени самостоятельна [4] [5] и свободно организована вокруг различных методов, используемых для решения задач в этой области, [4] с приложением по справочному материалу по теории чисел, необходимому для чтения книги. [3] Вместо того, чтобы заниматься конкретными последовательностями, такими как простые числа или квадратные числа , ее темой является математическая теория последовательностей в целом. [6] [7]

В первой главе рассматривается естественная плотность последовательностей и связанные с ней концепции, такие как плотность Шнирельмана . В ней доказываются теоремы о плотности сумм последовательностей, включая теорему Манна о том, что плотность Шнирельмана суммы равна по крайней мере сумме плотностей Шнирельмана, и теорема Кнезера о структуре последовательностей, нижняя асимптотическая плотность которых субаддитивна. В ней изучаются существенные компоненты , последовательности, которые при добавлении к другой последовательности плотности Шнирельмана между нулем и единицей увеличивают свою плотность, доказывается, что аддитивные базы являются существенными компонентами, и приводятся примеры существенных компонентов, которые не являются аддитивными базами. [3] [6] [7] [8]

Вторая глава касается числа представлений целых чисел в виде сумм заданного числа элементов из заданной последовательности и включает теорему Эрдёша–Фукса, согласно которой это число представлений не может быть близко к линейной функции . Третья глава продолжает изучение числа представлений с использованием вероятностного метода ; она включает теорему о том, что существует аддитивный базис второго порядка, число представлений которого логарифмично, позднее усиленную до всех порядков в теореме Эрдёша–Тетали . [3] [6] [7] [8]

После главы о теории решета и большом решете (к сожалению, в ней отсутствуют существенные разработки, которые произошли вскоре после публикации книги), [6] [7] последняя глава касается примитивных последовательностей целых чисел, последовательностей, подобных простым числам , в которых ни один элемент не делится на другой. Она включает теорему Беренда о том, что такая последовательность должна иметь нулевую логарифмическую плотность, и, казалось бы, противоречивую конструкцию Абрама Самойловича Безиковича примитивных последовательностей с натуральной плотностью, близкой к 1/2. В ней также обсуждаются последовательности, которые содержат все целые кратные своих членов, теорема Дэвенпорта–Эрдёша, согласно которой нижняя натуральная и логарифмическая плотность существуют и равны для таких последовательностей, и связанная с ней конструкция Безиковича последовательности кратных, которая не имеет натуральной плотности. [3] [6] [7]

Аудитория и прием

Эта книга предназначена для других математиков и студентов-математиков; она не подходит для широкой аудитории. [4] Однако рецензент Дж. В. С. Касселс предполагает, что она может быть доступна для студентов старших курсов по математике. [6]

Рецензент EM Wright отмечает «точную ученость», «наиболее читабельное изложение» и «увлекательные темы» книги. [5] Рецензент Марвин Кнопп описывает книгу как «мастерскую» и как первую книгу, в которой дается обзор аддитивной комбинаторики. [4] Аналогичным образом, хотя Касселс отмечает существование материала по аддитивной комбинаторике в книгах Additive Zahlentheorie (Ostmann, 1956) и Addition Theorems (Mann, 1965), он называет это «первым связным отчетом» в этой области, [6] а рецензент Гарольд Старк отмечает, что большая часть материала, охватываемого книгой, «уникальна по форме книги». [7] Кнопп также хвалит книгу за то, что во многих случаях она исправляет ошибки или недостатки в первоисточниках, которые она исследует. [4] Рецензент Гарольд Старк пишет, что книга «должна стать стандартным справочником в этой области на долгие годы». [7]

Ссылки

  1. ^ Халберстам, Х.; Рот, К.Ф. (1966). Последовательности. Оксфорд: Clarendon Press. OCLC  877577079.
  2. ^ Halberstam, H.; Roth, KF (1983). Sequences (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4613-8227-0. ISBN 9781461382294. OCLC  7330436683.
  3. ^ abcdef Кубилиус, Дж ., "Обзор последовательностей ", Mathematical Reviews , MR  0210679
  4. ^ abcdef Кнопп, Марвин И. (январь 1967), «Вопросы и методы в теории чисел», Science , 155 (3761): 442–443, Bibcode : 1967Sci...155..442H, doi : 10.1126/science.155.3761.442, JSTOR  1720189, S2CID  241017491
  5. ^ ab Wright, EM (1968), "Обзор последовательностей ", Журнал Лондонского математического общества , s1-43 (1): 157, doi :10.1112/jlms/s1-43.1.157a
  6. ^ abcdefg Касселс, JWS (февраль 1968), «Обзор последовательностей », The Mathematical Gazette , 52 (379): 85–86, doi :10.2307/3614509, JSTOR  3614509, S2CID  126260926
  7. ^ abcdefg Старк, HM (1971), «Обзор последовательностей», Бюллетень Американского математического общества , 77 (6): 943–957, doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12812-4
  8. ^ ab Briggs, WE, "Обзор последовательностей ", zbMATH , Zbl  0141.04405
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Sequences_(книга)&oldid=1231303038"